Introducci贸n al Curso

1

Introducci贸n y presentaci贸n del curso

Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales

2

驴Para qu茅 nos sirven las ecuaciones diferenciales?

3

驴Que es una ecuaci贸n diferencial?

4

Tipos de ecuaciones diferenciales

5

Conceptos b谩sicos de c谩lculo

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

6

驴Que es una ecuaci贸n separable?

7

Ejemplo de ecuaci贸n separable

8

Procedimiento para saber si una ecuaci贸n es separable

9

M茅todo de sustituci贸n lineal

10

Ejemplo de sustituci贸n lineal

11

Ecuaciones diferenciales exactas

12

Ejemplo de ecuaciones diferenciales exactas

13

Funciones homog茅neas, c贸mo identificarlas

14

Ejemplo de funciones homog茅neas

15

Ecuaciones con coeficientes lineales

16

Ejemplo de ecuaciones con coeficiente lineales

17

Resoluci贸n del desaf铆o

18

驴Que es un factor integrante?

19

Factor integrante caso 1

20

Factor Integrante caso 2

21

Factor integrante caso 3

22

Ecuaciones diferenciales lineales

23

Ejemplo de ecuaciones diferenciales lineales

24

Ejercicios de ecuaciones diferenciales de primer orden

Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden

25

驴Qu茅 es una soluci贸n linealmente independiente?

26

Ecuaciones lineales homog茅neas

27

Ejemplo de ecuaciones lineales homog茅neas

28

Ecuaciones lineales homog茅neas con ra铆ces complejas

29

Ejemplo de ecuaciones lineales homog茅neas con ra铆ces complejas

30

Ecuaci贸n diferencial no homog茅nea

31

Coeficientes indeterminados

32

Ejemplo de coeficientes indeterminados

33

Variaci贸n de par谩metros

34

Ejemplo de variaci贸n de par谩metros

35

Ejercicios de ecuaciones diferenciales de segundo orden

Modelos matem谩ticos

36

Creaci贸n de un modelo matem谩tico

37

Crecimiento poblacional

38

Primer ejemplo de crecimiento poblacional

39

Segundo ejemplo de crecimiento poblacional

40

Ley de newton de enfriamiento

41

Ejemplo de la ley de newton de enfriamiento

42

Propagaci贸n de un virus y ejemplo

43

Ejercicios de modelos matem谩ticos

Transformada de laplace

44

Conceptos claves para entender la transformada de laplace

45

Introducci贸n a la transformada de laplace

46

Introducci贸n y transformada de una exponencial

47

Propiedades de la transformada de laplace

48

Transformada inversa

49

Ejemplo de transformada inversa

50

Ejercicios de transformada de laplace

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Ejemplo de ecuaciones lineales homog茅neas

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Resources

How to identify a second order homogeneous differential equation?

When dealing with differential equations, it is crucial to identify the type of equation we are working with. A second order differential equation is recognized by the presence of the second derivative of the unknown function, in this case symbolized as ( y'' ). In a second order homogeneous differential equation with constant coefficients, these coefficients do not depend on the variable ( x ), and the equation equals zero. The main focus of this class is to learn how to solve these equations to advance the study of more complex differential equations.

What is the characteristic equation and how is it derived?

Solving a homogeneous second order differential equation involves finding its general solution and for this, the characteristic equation is used. This is derived by assuming a solution of the form ( y = e^{rx} ), where ( r ) is the value we are looking for.

To derive the characteristic equation:

  1. We find the first and second derivatives of our assumed solution:

    • The first derivative: ( y' = re^{rx} )
    • Second derivative: ( y'' = r^2 e^{rx} )
  2. We substitute these derivatives into the original differential equation:

    • ( r^2 e^{rx} + 2r e^{rx} - e^{rx} = 0 )
  3. We factor the common term ( e^{rx} ):

    • ( e^{rx} (r^2 + 2r - 1) = 0 )
  4. Since ( e^{rx} ) is never zero, the characteristic equation is:

    • ( r^2 + 2r - 1 = 0 )

How to solve the quadratic equation to find ( r )?

The derived characteristic equation is a standard quadratic equation that we can solve using the quadratic formula:

[ r = \frac{-b \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

In our case, with:

  • ( a = 1 ),
  • ( b = 2 ),
  • ( c = -1 ),

The application of the formula leads us to:

[ r = \frac{-2 \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}}{2 \cdot 1} ]

Simplifies to:

[ r = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2} ]

Thus, the solutions for ( r ) are ( r_1 = -1 + \sqrt{2} ) and ( r_2 = -1 - \sqrt{2} ).

What are the linearly independent solutions and the general solution?

For a second order differential equation, such as this one, we obtain two linearly independent solutions. With our values of ( r ):

  • Solution 1: ( y_1 = e^{(-1 + \sqrt{2})x} )
  • Solution 2: ( y_2 = e^{(-1 - \sqrt{2})x} )

The general solution is a linear combination of these two solutions:

[ y = c_1 e^{(-1 + \sqrt{2})x} + c_2 e^{(-1 - \sqrt{2})x} ]

Where ( c_1 ) and ( c_2 ) are arbitrary constants, to be determined with specific initial conditions for particular problems. This general solution applies to all homogeneous second order differential equations with constant coefficients and provides the basis for more complex methods in the study of differential equations.

Contributions 6

Questions 1

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Tambien puedo agregar que una forma de resolver la ecuacion r^2 +2r -1 puede ser el m茅todo para completar cuadrados, pues tendr铆amos (r+1)^2 - 2 y despues tan solo nos quedar铆a factorizar tal diferencia de cuadrados y despues igual cada factor a cero.
Espero les ayude 馃槃!!

La soluci贸n general es una combinaci贸n lineal de las dos soluciones linealmente independientes.

En el minuto 8:45 la soluci贸n est谩 mal porque x multiplica tambi茅n a -1 pero el profesor escribi贸 que solo multiplica a ra铆z de 2, la verdadera soluci贸n es e^{(-1 卤 \sqrt{2})x}

Genial

No me peguen por favor.

Great!