Introducción al Curso

1

Introducción y presentación del curso

Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales

2

¿Para qué nos sirven las ecuaciones diferenciales?

3

¿Que es una ecuación diferencial?

4

Tipos de ecuaciones diferenciales

5

Conceptos básicos de cálculo

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

6

¿Que es una ecuación separable?

7

Ejemplo de ecuación separable

8

Procedimiento para saber si una ecuación es separable

9

Método de sustitución lineal

10

Ejemplo de sustitución lineal

11

Ecuaciones diferenciales exactas

12

Ejemplo de ecuaciones diferenciales exactas

13

Funciones homogéneas, cómo identificarlas

14

Ejemplo de funciones homogéneas

15

Ecuaciones con coeficientes lineales

16

Ejemplo de ecuaciones con coeficiente lineales

17

Resolución del desafío

18

¿Que es un factor integrante?

19

Factor integrante caso 1

20

Factor Integrante caso 2

21

Factor integrante caso 3

22

Ecuaciones diferenciales lineales

23

Ejemplo de ecuaciones diferenciales lineales

24

Ejercicios de ecuaciones diferenciales de primer orden

Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden

25

¿Qué es una solución linealmente independiente?

26

Ecuaciones lineales homogéneas

27

Ejemplo de ecuaciones lineales homogéneas

28

Ecuaciones lineales homogéneas con raíces complejas

29

Ejemplo de ecuaciones lineales homogéneas con raíces complejas

30

Ecuación diferencial no homogénea

31

Coeficientes indeterminados

32

Ejemplo de coeficientes indeterminados

33

Variación de parámetros

34

Ejemplo de variación de parámetros

35

Ejercicios de ecuaciones diferenciales de segundo orden

Modelos matemáticos

36

Creación de un modelo matemático

37

Crecimiento poblacional

38

Primer ejemplo de crecimiento poblacional

39

Segundo ejemplo de crecimiento poblacional

40

Ley de newton de enfriamiento

41

Ejemplo de la ley de newton de enfriamiento

42

Propagación de un virus y ejemplo

43

Ejercicios de modelos matemáticos

Transformada de laplace

44

Conceptos claves para entender la transformada de laplace

45

Introducción a la transformada de laplace

46

Introducción y transformada de una exponencial

47

Propiedades de la transformada de laplace

48

Transformada inversa

49

Ejemplo de transformada inversa

50

Ejercicios de transformada de laplace

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Crecimiento poblacional

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How to make a mathematical model of population growth or decline?

Understanding mathematical models is essential for analyzing real phenomena, such as population growth or decline. In this class, we will help you explore one of the most important and applied methods: the population growth or decline model. You will learn how to identify different rates of growth or decline and how to solve differential equations to predict how a population will evolve over time.

What is a population growth or decline model?

The population growth or decline model is based on analyzing a population over time, whether it is people, data or any other entity you wish to study. In this model, you must consider:

  • A population to analyze.
  • A time variable, which can be measured in seconds, years, etc.
  • A growth rate, such as the number of births or friends added in social networks.
  • A decay rate, such as the number of deaths or friends who decide to stop being friends.

The essence of the model is to discover how a population varies after a specific time interval.

How is this phenomenon mathematically modeled?

The mathematical model of population growth or decline is formulated starting with the initial quantities and rates of change. Here is a simple example for better understanding:

  1. Initial population: Imagine a community of 100 people.
  2. Growth rate: 20% annual increase.
  3. Mortality rate: 5% annual decrease.
  4. Time horizon: 5 years.

For a basic model, we calculate growth by multiplying the initial 100 people by 20% and then by the 5 years. In turn, the decrease is calculated by multiplying the 100 people by 5% for the 5 years. You can then combine these figures to model the population change.

How do you solve and fit such a model?

While a basic approach can provide an initial idea of the change, the optimal model uses smaller time intervals for greater accuracy. In mathematics, this is achieved through the derivative of the population with respect to time. In the example, the net growth constant and rates of change are considered, along with the derivative to achieve:

  1. Integral of the left-hand side: The integral of the natural logarithm.
  2. Right hand side integral: The growth constant multiplied by time plus a constant.

Finally, by applying exponentials to clear, we obtain a term that includes the initial population multiplied by a proportional constant and time, expressed as: ( P(t) = P_0 \cdot e^{kt} ).

This fitted model is crucial for interpreting how a population will grow or shrink over time, allowing you to predict changes over shorter periods and get a more accurate and useful analysis.

Next step: Practical applications.

You are now ready to apply this knowledge and concepts to real-world situations. From demographic studies to social network analysis, understanding these models will allow you to explore various scenarios and phenomena in everyday life. Get ready for our next class, where we will work with practical examples and consolidate these ideas in a more tangible context. The learning continues!

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Por fin! Una demostración interesante.
Así deberían ser las clases. Odio cuando dicen pero no demuestran nada. 😦

Wao! Esa parte de la demostración fue genial , fue muy interesante entender el paso a paso 😄!!

Wow, estás clases son muy buenas, todo cobra más sentido poco a poco 😄

Ese resultado también lo he visto bastante en modelos macroeconómicos. Excelente.

$$
p(t)=p(0)e^{Kt}
$$
p: Población

t: Tiempo

K: Constante de crecimiento / decrecimiento

p(t): Población en un tiempo determinado

p(0): Población inicial

Compañeros, adjunto un video donde se realiza un modelo matematico de la pandemia, a mi me gusto mucho y creo que sirve mucho para complementar las clases de Sergio, saludos !

https://www.youtube.com/watch?v=-PUT0hZiZEw

muy practico

Es importante mencionar que la constante que resulta de e elevado a la c es una constante estrictamente positiva, esto está definido por las propiedades de la función exponencial. Por tanto, la población inicial no debe ser cero ni negativa.