Introducción al Curso

1

Fundamentos y Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales

Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales

2

Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales

3

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias: Conceptos Básicos y Ejemplos

4

Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales: Orden y Linealidad

5

Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

6

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden: Método de Separación de Variables

7

Resolución de Ecuaciones Diferenciales Separable por Variables

8

Comprobación de Ecuaciones Diferenciales Separables

9

Método de Sustitución Lineal en Ecuaciones Diferenciales

10

Método de Sustitución Lineal en Ecuaciones Diferenciales

11

Ecuaciones Diferenciales Exactas: Condiciones y Solución Paso a Paso

12

Ecuaciones Diferenciales Exactas: Solución Paso a Paso

13

Funciones Homogéneas y Métodos de Verificación

14

Resolución de Ecuaciones Diferenciales Homogéneas

15

Resolución de Ecuaciones Diferenciales con Coeficientes Lineales

16

Resolución de Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden

17

Solución de Ecuaciones Diferenciales Separable paso a paso

18

Factor Integrante para Ecuaciones Diferenciales Exactas

19

Factor Integrante en Ecuaciones Diferenciales Exactas

20

Resolución de Ecuaciones Diferenciales con Factor Integrante Caso 2

21

Resolución de Ecuaciones Diferenciales con Factor Integrante

22

Identificación y Solución de Ecuaciones Diferenciales Lineales

23

Solución de Ecuaciones Diferenciales Lineales con Factor Integrante

24

Métodos de Solución de Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden

25

Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden: Soluciones Independientes

26

Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogéneas con Coeficientes Constantes

27

Ecuaciones Diferenciales Homogéneas de Segundo Orden

28

Ecuaciones Diferenciales: Soluciones con Raíces Complejas

29

Solución de Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden con Raíces Complejas

30

Método de Coeficientes Indeterminados en Ecuaciones Diferenciales

31

Solución de Ecuaciones Diferenciales No Homogéneas: Coeficientes Indeterminados

32

Método de Coeficientes Indeterminados en Ecuaciones Diferenciales

33

Método de Variación de Parámetros para Ecuaciones Diferenciales

34

Métodos para Resolver Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden

35

Resolución de ecuaciones con coeficientes indeterminados

Modelos matemáticos

36

Modelos Matemáticos con Ecuaciones Diferenciales

37

Modelos Matemáticos de Crecimiento Poblacional

38

Ecuaciones Diferenciales: Modelos de Crecimiento Poblacional

39

Modelos de Crecimiento Poblacional en Blockchain con Ecuaciones Diferenciales

40

Ley de Enfriamiento de Newton: Modelado y Solución de Ecuaciones Diferenciales

41

Cálculo de Temperatura Inicial usando Ley de Enfriamiento de Newton

42

Modelado de Propagación Viral con Ecuaciones Diferenciales

43

Cálculo de Interés Compuesto Continuo y Crecimiento Exponencial

Transformada de laplace

44

Integrales Parciales Definidas e Impropias: Fundamentos Esenciales

45

Transformada de Laplace: Concepto y Cálculo Básico

46

Transformada de Laplace de Funciones Exponenciales

47

Propiedades de la Transformada de Laplace

48

Transformada Inversa de Laplace: Propiedades y Uso de Tablas

49

Transformada Inversa de Laplace: Ejemplo Práctico

50

Transformada de Laplace: Cálculo y Ejercicios Prácticos

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Ley de Enfriamiento de Newton: Modelado y Solución de Ecuaciones Diferenciales

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Recursos

¿Qué es la ley de enfriamiento de Newton?

La transferencia de calor y el enfriamiento de objetos son aspectos fundamentales en muchos procesos físicos que se pueden modelar eficazmente a través de ecuaciones diferenciales. Un ejemplo clásico de aplicación de estas ecuaciones es el ejemplo de la pizza que cambia su temperatura con el tiempo. Este fenómeno es exactamente lo que explica la ley de enfriamiento de Newton. En esencia, la ley afirma que la velocidad a la que un objeto se enfría es proporcional a la diferencia de temperatura entre el objeto y su entorno.

¿Cuáles son las variables involucradas en el modelo?

Para entender este modelo diferencial, primero debemos evaluar las variables clave involucradas:

  • T: Temperatura del objeto, que variará con el tiempo.
  • t: Tiempo, que también debemos trabajar en una unidad constante como minutos, años, etc.
  • K: Un coeficiente que representa una constante de enfriamiento o calentamiento.
  • Tm: Temperatura del medio, es decir, la temperatura del entorno que rodea al objeto.

Este modelo establece que la temperatura de un objeto cambia de manera proporcional a la diferencia de temperatura entre el objeto y su entorno.

¿Cómo se deduce la ecuación diferencial?

La ecuación diferencial que relaciona estas variables, descubierta por Newton, expresa que la velocidad de cambio de temperatura es igual a la constante K multiplicada por la diferencia de temperaturas. La ecuación se puede manipular e integrar para encontrar una solución general, los pasos son los siguientes:

¿Cómo se reorganiza la ecuación?

  1. Inicialmente, se parte del hecho que la velocidad de cambio de la temperatura es proporcional a la diferencia entre la temperatura del objeto y la temperatura ambiente.
  2. Se opera algebraicamente para reorganizar la ecuación:
    • Mover (T - Tm) al otro lado.
    • Expresar la ecuación en términos de diferencias, como una división (\frac{T}{T - Tm}).

¿Cómo se integra la ecuación?

Tras reorganizar la ecuación, se procede a integrar ambos lados:

  • Al integrar ( \frac{1}{T - Tm} ), se obtiene el logaritmo natural (\ln(T - Tm)).
  • Del otro lado tenemos (K \cdot t).

Evaluar la integral definida

La integral se evalúa en los límites de integración respectivas lo que simplifica la expresión al usar propiedades del logaritmo. Resulta en:

  • ( \ln(T - Tm) - \ln(T_0 - Tm) = K \cdot t ).
  • Se simplifica la resta como la división de los argumentos de los logaritmos.

Finalmente, al despejar y aplicar la exponencial para eliminar el logaritmo natural, se obtiene la solución explícita de la ecuación diferencial.

¿Cómo interpretamos la solución obtenida?

La ecuación final nos da una forma clara de calcular la temperatura en un tiempo dado. Es puntual al relacionar las temperaturas inicial, ambiente y cualquier momento en el tiempo con la constante de enfriamiento/calor. Todo esto nos da la capacidad de aplicar la ley de enfriamiento de Newton en problemas del mundo real, ya sean experimentos de física o en análisis de datos térmicos.

¡Sigue adelante con tus estudios y aplica estas herramientas para resolver problemas prácticos y teóricos! Al entender y aplicar correctamente estas ecuaciones, podrás modelar y predecir fenómenos que dependen de la transferencia de calor y mucho más.

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Aquí una explicación de como se deduce la ecuación diferencial separable de la ley de enfriamiento de newton:
https://www.youtube.com/watch?v=M7IO8cA8J5M

T(t)=Tm + e^{Kt} (T(0)-Tm)

T: Temperatura

t: Tiempo

K: Constante de enfriamiento / calentamiento

Tm: Temperatura ambiente

T(t): Temperatura en un tiempo determinado

T(0): Temperatura Inicial

Que bien comprender cómo llegar a esas formulas 😄!!

Pienso que Platzi debería hacer un curso orientado al calculo integral. Últimamente han estado sacando cursos de calculo diferencial, pero borraron los que había de calculo integral 😦

a decir verdad me ayudo mucho este video, justamente andaba buscando una aplicacion de Ecuaciones aplicadas

Excelente explicación. Es importante entender como se plantearon los modelos antes de aplicarlos. Gracias.

Recuerdo que las ecuaciones de radioactividad química también tienen la misma forma.