Introducci贸n al Curso

1

Introducci贸n y presentaci贸n del curso

Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales

2

驴Para qu茅 nos sirven las ecuaciones diferenciales?

3

驴Que es una ecuaci贸n diferencial?

4

Tipos de ecuaciones diferenciales

5

Conceptos b谩sicos de c谩lculo

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

6

驴Que es una ecuaci贸n separable?

7

Ejemplo de ecuaci贸n separable

8

Procedimiento para saber si una ecuaci贸n es separable

9

M茅todo de sustituci贸n lineal

10

Ejemplo de sustituci贸n lineal

11

Ecuaciones diferenciales exactas

12

Ejemplo de ecuaciones diferenciales exactas

13

Funciones homog茅neas, c贸mo identificarlas

14

Ejemplo de funciones homog茅neas

15

Ecuaciones con coeficientes lineales

16

Ejemplo de ecuaciones con coeficiente lineales

17

Resoluci贸n del desaf铆o

18

驴Que es un factor integrante?

19

Factor integrante caso 1

20

Factor Integrante caso 2

21

Factor integrante caso 3

22

Ecuaciones diferenciales lineales

23

Ejemplo de ecuaciones diferenciales lineales

24

Ejercicios de ecuaciones diferenciales de primer orden

Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden

25

驴Qu茅 es una soluci贸n linealmente independiente?

26

Ecuaciones lineales homog茅neas

27

Ejemplo de ecuaciones lineales homog茅neas

28

Ecuaciones lineales homog茅neas con ra铆ces complejas

29

Ejemplo de ecuaciones lineales homog茅neas con ra铆ces complejas

30

Ecuaci贸n diferencial no homog茅nea

31

Coeficientes indeterminados

32

Ejemplo de coeficientes indeterminados

33

Variaci贸n de par谩metros

34

Ejemplo de variaci贸n de par谩metros

35

Ejercicios de ecuaciones diferenciales de segundo orden

Modelos matem谩ticos

36

Creaci贸n de un modelo matem谩tico

37

Crecimiento poblacional

38

Primer ejemplo de crecimiento poblacional

39

Segundo ejemplo de crecimiento poblacional

40

Ley de newton de enfriamiento

41

Ejemplo de la ley de newton de enfriamiento

42

Propagaci贸n de un virus y ejemplo

43

Ejercicios de modelos matem谩ticos

Transformada de laplace

44

Conceptos claves para entender la transformada de laplace

45

Introducci贸n a la transformada de laplace

46

Introducci贸n y transformada de una exponencial

47

Propiedades de la transformada de laplace

48

Transformada inversa

49

Ejemplo de transformada inversa

50

Ejercicios de transformada de laplace

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Propagaci贸n de un virus y ejemplo

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Resources

How can differential equations model the spread of a virus?

Differential equations are powerful tools in the analysis of complex phenomena such as the spread of a virus. Their ability to model these processes allows us to predict the evolution of dynamic situations and helps to implement preventive measures. This content details the method used to solve real problems, such as the spread of a virus in an animal population.

What approach do we take to define the problem?

To model the spread of a virus, several key variables are identified:

  • Total population (N): Number of animals at the start of the study.
  • Infected population (P): Number of infected animals at a given time.
  • Time (T): Period in days from the beginning of the observation.

In the problem considered, after four days, ten animals were infected. This serves as a basis for structuring our mathematical model.

How did we create the mathematical model?

We identified that the speed of spread of the virus, equivalent to the rate of change of the infected population ( P ), is proportional to both:

  • The current number of infected animals ( P ).
  • The elapsed time ( T ).

The initial differential equation is:

[ \frac{dP}{dT} = kP ]

where ( k ) is a proportionality constant representing the propagation velocity.

How do we solve the differential equation?

To solve the equation, we apply the method of separation of variables:

  1. We rewrite the equation as:

    [ \frac{dP}{P} = k , dT ]

  2. We integrate both sides:

    • The integral of (\frac{1}{P}) is ( \ln(P) ).
    • The integral of (kT) with respect to (T) is ( \frac{kT^2}{2} ).

    Therefore, we obtain:

    [ \ln(P) = \frac{kT^2}{2} + C ]

  3. We apply the exponential to solve for ( P ):

    [ P = e^{frac{kT^2}{2} + C} = e^{frac{kT^2}{2}} \cdot e^C ]

    Because ( e^C ) is constant, we simplify to ( P = Ce^{\{frac{kT^2}{2}} ).

How do we determine the constant ( C )?

Knowing that initially there was one infected animal (( P(0) = 1 )), the value of the constant ( C ) is determined:

[ 1 = Ce^0 ]

Which implies that ( C = 1 ).

How do we find the constant ( k )?

Knowing that after four days there are ten infected animals, this is substituted into the model:

[ 10 = e^{16k/2} = e^{8k} ]

We apply natural logarithm:

[ \ln(10) = 8k ]

That gives ( k = \frac{\ln(10)}{8} \approx 0.287 ).

How long does it take for the entire population to become infected?

For a total population of 1000 animals, we calculate the time ( T ) in which the entire population will be infected by substituting into the model:

[ 1000 = e^{0.287 \cdot T^2/2} ]

Applying natural logarithm and solving for ( T ):

[ T = \sqrt{0.287}{0.287}{0.287} \approx 6.92 ]

This indicates that at approximately 7 days the entire population would be infected.

The applications of this mathematical model are broad and allow us to foresee critical scenarios in public health, offering crucial tools to implement preventive measures and control the spread of contagious diseases. With knowledge, we can make better decisions and effective strategies, so keep exploring more examples in your projects!

Contributions 13

Questions 1

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Really is THE C VIRUS.

La actual realidad. Para que se ajuste mas este modelo a como el Covid 19 se propaga, debemos, creo tener en cuenta mas variables, como por ejemplo, las medidas de prevenci贸n que debemos optar, otra seria el nivel de exposici贸n a las fuentes de contagio. Con 茅sto har铆amos un poco mas real la velocidad de propagaci贸n de un virus en seres humanos, ya que en animales o seres inconscientes estas variables no son aplicables, por lo menos de manera aut贸noma. Excelente explicaci贸n. Sugiero que se debe mejorar la redacci贸n del planteamiento del problema y el uso de los recursos como el tablero.

este video toca un tema muy actual jajaja

Like si est谩s leyendo esto despu茅s de la pandemia.

CoronaVirus

Ahora entiendo la magnitud que tiene la propagacion de un virus
Coronavirus Rules!

Hola equipo platzi,

Tengo problemas para ver esta clase, al parecer est谩 buggeada,

Me ayudan para verla porfa

Corouna vairas

Muy bien, para dar una aproximaci贸n al contagio producido por el COVID-19

Coronavirus rules

@Coronavirus

2021 y aun el virus esta jejejej

este modelo servir铆a para predecir el covid-19?
solo me faltar铆an la variables y manos a la obra馃挭馃徏馃挭馃徏
muy interesante gracias profe Sergio