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Introducción al Curso
Modelos Matemáticos con Ecuaciones Diferenciales
Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales
Modelado de Crecimiento Poblacional con Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias: Fundamentos y Aplicaciones
Ecuaciones Diferenciales: Orden y Linealidad
Resolución de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Ecuaciones Diferenciales: Método Separación de Variables
Ecuaciones Diferenciales: Métodos de Separación de Variables
Método de Factorización para Ecuaciones Diferenciales
Método de Sustitución Lineal en Ecuaciones Diferenciales
Método de Sustitución Lineal en Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones Diferenciales Exactas: Método de Solución Paso a Paso
Ecuaciones Diferenciales Exactas: Solución Paso a Paso
Métodos para Identificar Funciones Homogéneas
Matemáticas: Resolución de Ecuaciones Diferenciales Homogéneas
Ecuaciones Diferenciales: Método de Separación de Variables
Ecuaciones Diferenciales: Coeficientes Lineales de Primer Orden
Solución de ecuaciones diferenciales lineales paso a paso
Estrategias para Identificar Factores Integrantes en Ecuaciones Diferenciales
Resolución de ecuaciones no exactas con factor integrante caso uno
Resolución de Ecuaciones Diferenciales Exactas con Factor Integrante
Resolvamos Ecuaciones Diferenciales Exactas
Resolución de Ecuaciones Diferenciales Lineales con Factor Integrante
Solución de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Programación Estructurada en C: Funciones y Bucles
Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden
Soluciones lineales independientes en ecuaciones diferenciales
Ecuaciones Diferenciales Lineales de Coeficientes Constantes
Solución de ecuaciones diferenciales homogéneas de segundo orden
Ecuaciones Diferenciales: Soluciones con Raíces Complejas
Ecuaciones Diferenciales: Solución con Raíces Complejas
Ecuaciones Diferenciales: Método de Coeficientes Indeterminados
Ecuaciones Diferenciales: Método de Coeficientes Indeterminados
Método de Coeficientes Indeterminados para Ecuaciones No Homogéneas
Método de Variación de Parámetros para Ecuaciones Diferenciales
Método de variación de parámetros para EDOs no homogéneas
Análisis de algoritmos de ordenamiento
Modelos matemáticos
Modelos Matemáticos con Ecuaciones Diferenciales
Modelado Matemático del Crecimiento Poblacional
Soluciones a Ecuaciones Diferenciales de Crecimiento Poblacional
Ecuaciones Diferenciales para Predecir Crecimiento de Blockchain
Transferencia de Calor: Ley de Enfriamiento de Newton
Resolviendo ecuaciones diferenciales de la ley de enfriamiento de Newton
Resolución de Problemas con Ecuaciones Diferenciales
Ejercicios de interés compuesto continuo en finanzas
Transformada de laplace
Transformada de Laplace: Conceptos Fundamentales y Aplicaciones
Transformada de Laplace: Convertir Tiempo a Frecuencia
Transformada de Laplace de Funciones Exponenciales
Propiedades de la Transformada de Laplace: Constante, Linealidad, Traslación
Transformada Inversa de Laplace: Propiedades y Ejemplos Prácticos
Ejemplos prácticos de la transformada inversa de Laplace
Cálculo de la transformada de Laplace y su inversa
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La transformada de Laplace es una poderosa herramienta matemática que convierte funciones dependientes del tiempo en funciones de una variable diferente, denominada 's'. Este cambio permite simplificar el trabajo con ecuaciones diferenciales, especialmente en áreas como los circuitos eléctricos, facilitando el análisis del comportamiento de los sistemas en el dominio de la frecuencia.
La clave de esta transformación radica en su capacidad para cambiar una función en el tiempo a una en el dominio de 's'. Esto se logra al aplicar una integral impropia que convierte un tipo de variable en otro.
El cálculo de la transformada de Laplace implica integrar una función específica desde 0 hasta infinito. A continuación, se presenta la ecuación básica:
\[
\mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt
\]
Donde:
Veamos cómo calcular la transformada de Laplace de la función constante ( f(t) = 1 ):
Define la función: ( f(t) = 1 ).
Aplica la integral: [ \int_{0}^{\infty} e^{-st} \cdot 1 , dt ]
Realiza la integración utilizando la fórmula estándar para ( e^{-st} ): [ \int e^{-st} , dt = \frac{1}{-s} e^{-st} ]
Evalúa los límites: Calcula el límite cuando ( t ) tiende a infinito y sustituye ( t = 0 ).
El resultado final de esta integral es: [ \mathcal{L}{1} = \frac{1}{s}, \quad \text{para } s > 0 ]
La transformada de Laplace posee características importantes que facilitan su aplicación en problemas complejos:
Al calcular límites para transformadas de Laplace, es esencial verificar que las funciones converjan. Por ejemplo:
Ahora que comprendes las bases de la transformada de Laplace, te animamos a explorar cómo se aplica a otras funciones, como las exponenciales. Continúa investigando y practicando, pues cada nuevo paso te brinda un mayor entendimiento y habilidad para enfrentar problemas matemáticos complejos. ¡Sigue adelante!
Aportes 6
Preguntas 1
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Pierre-Simon Laplace (1749 – 1827)
Nació el 28 de Marzo de 1749 en Beaumont-en-Auge, Francia y murió el 5 de Marzo de 1827 en París, matemático francés.
Los principales aportes de Laplace se perciben en las matemáticas, en la astronomía; demostró la estabilidad del sistema solar, describió el movimiento de los centros de gravedad de los cuerpos del sistema solar, utilizó la mecánica para estudiar los planetas, se valió de la teoría de errores para estudiar la figura del globo terráqueo, presentó la teoría nebular. En el campo de la probabilidad: dio las bases para la regla Bayes, creó la ley de Laplace y aplicó la probabilidad a la mortalidad, la esperanza de vida, la duración de los matrimonios, a los sucesos legales, entre otros.
Por otro lado, creó la conocida ecuación de Laplace, estudiando la atracción gravitatoria de un esferoide sobre un objeto externo. También encontró varios métodos como la resolución de ecuaciones, de desarrollo de determinantes y de aproximación de integrales definidas, por último introdujo el uso de la función potencial, así como las funciones llamadas armónicos esféricos. En otros campos también su aporte es innegable como el de la física y la química.
Que es la trasformada de la place?
Es una integral impropia de varias variables y que esta definida. Cuando hablamos de la trasformada de laplace, es cuando ingresamos una función y obtenemos otra función.
Para los que estén usando LaTeX para tomar notas
\mathcal {L}\{f\}(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt.
Este tema es muy usado en analisis de estabilidad de sistemas, en particular, a mi me toco usarla en el diseño de controladores para sistemas Térmicos, Masa-Resorte-Amortiguador, Eléctricos, Electrónicos, e Hidráulicos.
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