Introducción al Curso

1

Modelos Matemáticos con Ecuaciones Diferenciales

Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales

2

Modelado de Crecimiento Poblacional con Ecuaciones Diferenciales

3

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias: Fundamentos y Aplicaciones

4

Ecuaciones Diferenciales: Orden y Linealidad

5

Resolución de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

6

Ecuaciones Diferenciales: Método Separación de Variables

7

Ecuaciones Diferenciales: Métodos de Separación de Variables

8

Método de Factorización para Ecuaciones Diferenciales

9

Método de Sustitución Lineal en Ecuaciones Diferenciales

10

Método de Sustitución Lineal en Ecuaciones Diferenciales

11

Ecuaciones Diferenciales Exactas: Método de Solución Paso a Paso

12

Ecuaciones Diferenciales Exactas: Solución Paso a Paso

13

Métodos para Identificar Funciones Homogéneas

14

Matemáticas: Resolución de Ecuaciones Diferenciales Homogéneas

15

Ecuaciones Diferenciales: Método de Separación de Variables

16

Ecuaciones Diferenciales: Coeficientes Lineales de Primer Orden

17

Solución de ecuaciones diferenciales lineales paso a paso

18

Estrategias para Identificar Factores Integrantes en Ecuaciones Diferenciales

19

Resolución de ecuaciones no exactas con factor integrante caso uno

20

Resolución de Ecuaciones Diferenciales Exactas con Factor Integrante

21

Resolvamos Ecuaciones Diferenciales Exactas

22

Resolución de Ecuaciones Diferenciales Lineales con Factor Integrante

23

Solución de Ecuaciones Diferenciales Lineales

24

Programación Estructurada en C: Funciones y Bucles

Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden

25

Soluciones lineales independientes en ecuaciones diferenciales

26

Ecuaciones Diferenciales Lineales de Coeficientes Constantes

27

Solución de ecuaciones diferenciales homogéneas de segundo orden

28

Ecuaciones Diferenciales: Soluciones con Raíces Complejas

29

Ecuaciones Diferenciales: Solución con Raíces Complejas

30

Ecuaciones Diferenciales: Método de Coeficientes Indeterminados

31

Ecuaciones Diferenciales: Método de Coeficientes Indeterminados

32

Método de Coeficientes Indeterminados para Ecuaciones No Homogéneas

33

Método de Variación de Parámetros para Ecuaciones Diferenciales

34

Método de variación de parámetros para EDOs no homogéneas

35

Análisis de algoritmos de ordenamiento

Modelos matemáticos

36

Modelos Matemáticos con Ecuaciones Diferenciales

37

Modelado Matemático del Crecimiento Poblacional

38

Soluciones a Ecuaciones Diferenciales de Crecimiento Poblacional

39

Ecuaciones Diferenciales para Predecir Crecimiento de Blockchain

40

Transferencia de Calor: Ley de Enfriamiento de Newton

41

Resolviendo ecuaciones diferenciales de la ley de enfriamiento de Newton

42

Resolución de Problemas con Ecuaciones Diferenciales

43

Ejercicios de interés compuesto continuo en finanzas

Transformada de laplace

44

Transformada de Laplace: Conceptos Fundamentales y Aplicaciones

45

Transformada de Laplace: Convertir Tiempo a Frecuencia

46

Transformada de Laplace de Funciones Exponenciales

47

Propiedades de la Transformada de Laplace: Constante, Linealidad, Traslación

48

Transformada Inversa de Laplace: Propiedades y Ejemplos Prácticos

49

Ejemplos prácticos de la transformada inversa de Laplace

50

Cálculo de la transformada de Laplace y su inversa

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Transformada de Laplace: Convertir Tiempo a Frecuencia

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Recursos

¿Qué es la transformada de Laplace y por qué es importante?

La transformada de Laplace es una poderosa herramienta matemática que convierte funciones dependientes del tiempo en funciones de una variable diferente, denominada 's'. Este cambio permite simplificar el trabajo con ecuaciones diferenciales, especialmente en áreas como los circuitos eléctricos, facilitando el análisis del comportamiento de los sistemas en el dominio de la frecuencia.

La clave de esta transformación radica en su capacidad para cambiar una función en el tiempo a una en el dominio de 's'. Esto se logra al aplicar una integral impropia que convierte un tipo de variable en otro.

¿Cómo se calcula la transformada de Laplace?

El cálculo de la transformada de Laplace implica integrar una función específica desde 0 hasta infinito. A continuación, se presenta la ecuación básica:

\[
\mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt
\]

Donde:

  • (\mathcal{L}{f(t)}) representa la transformada de la función ( f(t) ).
  • ( e^{-st} ) es un factor exponencial que depende de 's', la nueva variable.
  • ( f(t) ) es la función original en el tiempo.
  • ( dt ) indica que la integración se realiza respecto al tiempo ( t ).

Ejemplo: La transformada de Laplace del número 1

Veamos cómo calcular la transformada de Laplace de la función constante ( f(t) = 1 ):

  1. Define la función: ( f(t) = 1 ).

  2. Aplica la integral: [ \int_{0}^{\infty} e^{-st} \cdot 1 , dt ]

  3. Realiza la integración utilizando la fórmula estándar para ( e^{-st} ): [ \int e^{-st} , dt = \frac{1}{-s} e^{-st} ]

  4. Evalúa los límites: Calcula el límite cuando ( t ) tiende a infinito y sustituye ( t = 0 ).

El resultado final de esta integral es: [ \mathcal{L}{1} = \frac{1}{s}, \quad \text{para } s > 0 ]

¿Cuáles son las propiedades de la transformada de Laplace?

La transformada de Laplace posee características importantes que facilitan su aplicación en problemas complejos:

  • Transforma ecuaciones diferenciales en algebraicas, simplificando su resolución.
  • Facilita el análisis en el dominio de la frecuencia, crucial en la ingeniería eléctrica y control de procesos.
  • Convergencia: La transformada es útil cuando las funciones originales convergen en el intervalo de interés.

¿Qué consideraciones son necesarias al evaluar límites?

Al calcular límites para transformadas de Laplace, es esencial verificar que las funciones converjan. Por ejemplo:

  • Si ( k < 0 ), el límite tiende a 0, garantizando convergencia.
  • Si ( k = 0 ) o ( k > 0 ), conviene descartar el caso debido a la divergencia o a la indeterminación de ( \frac{1}{0} ).

¿Cómo seguir aprendiendo sobre la transformada de Laplace?

Ahora que comprendes las bases de la transformada de Laplace, te animamos a explorar cómo se aplica a otras funciones, como las exponenciales. Continúa investigando y practicando, pues cada nuevo paso te brinda un mayor entendimiento y habilidad para enfrentar problemas matemáticos complejos. ¡Sigue adelante!

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Pierre-Simon Laplace (1749 – 1827)
Nació el 28 de Marzo de 1749 en Beaumont-en-Auge, Francia y murió el 5 de Marzo de 1827 en París, matemático francés.

Los principales aportes de Laplace se perciben en las matemáticas, en la astronomía; demostró la estabilidad del sistema solar, describió el movimiento de los centros de gravedad de los cuerpos del sistema solar, utilizó la mecánica para estudiar los planetas, se valió de la teoría de errores para estudiar la figura del globo terráqueo, presentó la teoría nebular. En el campo de la probabilidad: dio las bases para la regla Bayes, creó la ley de Laplace y aplicó la probabilidad a la mortalidad, la esperanza de vida, la duración de los matrimonios, a los sucesos legales, entre otros.

Por otro lado, creó la conocida ecuación de Laplace, estudiando la atracción gravitatoria de un esferoide sobre un objeto externo. También encontró varios métodos como la resolución de ecuaciones, de desarrollo de determinantes y de aproximación de integrales definidas, por último introdujo el uso de la función potencial, así como las funciones llamadas armónicos esféricos. En otros campos también su aporte es innegable como el de la física y la química.

Que es la trasformada de la place?
Es una integral impropia de varias variables y que esta definida. Cuando hablamos de la trasformada de laplace, es cuando ingresamos una función y obtenemos otra función.

Para los que estén usando LaTeX para tomar notas

\mathcal {L}\{f\}(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt.

Este tema es muy usado en analisis de estabilidad de sistemas, en particular, a mi me toco usarla en el diseño de controladores para sistemas Térmicos, Masa-Resorte-Amortiguador, Eléctricos, Electrónicos, e Hidráulicos.