Introducción al Curso

1

Introducción y presentación del curso

Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales

2

¿Para qué nos sirven las ecuaciones diferenciales?

3

¿Que es una ecuación diferencial?

4

Tipos de ecuaciones diferenciales

5

Conceptos básicos de cálculo

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

6

¿Que es una ecuación separable?

7

Ejemplo de ecuación separable

8

Procedimiento para saber si una ecuación es separable

9

Método de sustitución lineal

10

Ejemplo de sustitución lineal

11

Ecuaciones diferenciales exactas

12

Ejemplo de ecuaciones diferenciales exactas

13

Funciones homogéneas, cómo identificarlas

14

Ejemplo de funciones homogéneas

15

Ecuaciones con coeficientes lineales

16

Ejemplo de ecuaciones con coeficiente lineales

17

Resolución del desafío

18

¿Que es un factor integrante?

19

Factor integrante caso 1

20

Factor Integrante caso 2

21

Factor integrante caso 3

22

Ecuaciones diferenciales lineales

23

Ejemplo de ecuaciones diferenciales lineales

24

Ejercicios de ecuaciones diferenciales de primer orden

Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden

25

¿Qué es una solución linealmente independiente?

26

Ecuaciones lineales homogéneas

27

Ejemplo de ecuaciones lineales homogéneas

28

Ecuaciones lineales homogéneas con raíces complejas

29

Ejemplo de ecuaciones lineales homogéneas con raíces complejas

30

Ecuación diferencial no homogénea

31

Coeficientes indeterminados

32

Ejemplo de coeficientes indeterminados

33

Variación de parámetros

34

Ejemplo de variación de parámetros

35

Ejercicios de ecuaciones diferenciales de segundo orden

Modelos matemáticos

36

Creación de un modelo matemático

37

Crecimiento poblacional

38

Primer ejemplo de crecimiento poblacional

39

Segundo ejemplo de crecimiento poblacional

40

Ley de newton de enfriamiento

41

Ejemplo de la ley de newton de enfriamiento

42

Propagación de un virus y ejemplo

43

Ejercicios de modelos matemáticos

Transformada de laplace

44

Conceptos claves para entender la transformada de laplace

45

Introducción a la transformada de laplace

46

Introducción y transformada de una exponencial

47

Propiedades de la transformada de laplace

48

Transformada inversa

49

Ejemplo de transformada inversa

50

Ejercicios de transformada de laplace

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Propiedades de la transformada de laplace

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What is the Laplace transform?

The Laplace transform is an invaluable mathematical tool for converting time-dependent functions into functions of a new variable, usually denoted as ( S ). This method is especially useful in solving differential equations, simplifying the analysis of systems in engineering and physics. Through various properties, we can further facilitate the work with the Laplace transform and its application in complex systems.

What are the properties of the Laplace transform?

Throughout this discussion, we will explore four key properties of the Laplace transform that will allow us to tackle problems more efficiently and with less effort.

What is the product by a constant property?

This property is simple but powerful. If we want to find the Laplace transform of a function multiplied by a constant, the constant can be separated from the calculation:

Example: to find the Laplace transform of ( 7 \cdot \sin(8t) ), we identify that ( 7 ) is the constant. According to the property, we only need to obtain the transform of ( \sin(8t) ) and then multiply the result by 7.

The transform of: [ \sin(kt) ] is: [ \frac{k}{s^2 + k^2} ].

Therefore, for ( \sin(8t) ): [ \frac{8}{s^2 + 64} ]

We multiply by 7, obtaining: [ \frac{56}{s^2 + 64} ]

What does the linearity property establish?

The linearity property allows us to decompose the transform of a sum of functions into sums of the individual transforms, thus simplifying the calculation process:

Example: for ( 3t^2 - 9t ), we separate:

  1. ( 3 \dot \text{Transform of } t^2 )
  2. ( -9 \dot \text{Transform of } t )

Using the transform table:

  • For ( t^n ), the transform is: [ \frac{n!}{s^{n+1}} ]

For ( t^2 ): [ \frac{2!}{s^3} = \frac{2}{s^3} ] Multiplied by 3, the result is: [ \frac{6}{s^3}} ]

For ( t ): [ \frac{1!}{s^2} = \frac{1}{s^2} ] Multiplied by 9, gives: [ \frac{9}{s^2} ].

Then, the transform of ( 3t^2 - 9t ): [ \frac{6}{s^3} - \frac{9}{s^2} ].

What does the translation property consist of?

When we include an exponential term, such as ( e^{at} ), in the product with a function, the translation property allows us to adjust the variable ( s ) to ( s-a ).

Example: For ( e^{2t} \cdot \sin(3t) ):

  1. The transform of (\sin(3t)) is: [ \frac{3}{s^2 + 9} ]

With the property, we replace ( s ) by ( s-2 ): [ \frac{3}{(s-2)^2 + 9} ]

What does the property of the derivative tell us?

The derivative property applies to functions multiplied by ( t^n ). It allows us to express the transform in terms of the derivatives of the function.

Example: For ( t \cdot \cos(5t) ):

  1. The transform of ( \cos(5t) ): [ \frac{s}{s^2 + 25} ]

Derived according to: [ \text{Transform of } t^n \text{ is expressed as } (-1)^n \cdot f^{(n)}(s) ]

For ( t ), derivative: [ -left(\frac{d}{ds}left(\frac{s}{s^2 + 25}right)} ] ]

This operation is summarized using quotient rule: [ \frac{(s^2 + 25) \cdot 1 - 2s \cdot s}{(s^2 + 25)^2} ]

Results in: [ \frac{s^2 + 25 - 2s^2}{(s^2 + 25)^2} = \frac{25 - s^2}{(s^2 + 25)^2} ]

This handling of properties and strategic use of the Laplace transform table are fundamental to solving differential equations quickly and accurately. Don't stop here; practice will make you more adept at their application. As you progress, you will find that solving transforms of this style will become increasingly intuitive. Next time, we will delve deeper into the inverse Laplace transform and its properties. Keep learning and mastering these techniques!

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Ésta es la formula general de la transformada de Laplace aplicando la derivada:

El profesor explica muy bien y hace llevadero el curso

muy buena clase fiera

Pregunta, la formula para L[t^n] aplica para cualquier n\in R ? o solo los naturales ?

El mejor profesor de platzi

How easy are this examples. Great!

no entiendo de donde salio el 2.1 n! ?

En el minuto 9:49, al parecer hay un error, ya que en la derivada de una división, se realiza un resta en el numerador.