Ésta es la formula general de la transformada de Laplace aplicando la derivada:
Introducción al Curso
Introducción y presentación del curso
Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales
¿Para qué nos sirven las ecuaciones diferenciales?
¿Que es una ecuación diferencial?
Tipos de ecuaciones diferenciales
Conceptos básicos de cálculo
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
¿Que es una ecuación separable?
Ejemplo de ecuación separable
Procedimiento para saber si una ecuación es separable
Método de sustitución lineal
Ejemplo de sustitución lineal
Ecuaciones diferenciales exactas
Ejemplo de ecuaciones diferenciales exactas
Funciones homogéneas, cómo identificarlas
Ejemplo de funciones homogéneas
Ecuaciones con coeficientes lineales
Ejemplo de ecuaciones con coeficiente lineales
Resolución del desafío
¿Que es un factor integrante?
Factor integrante caso 1
Factor Integrante caso 2
Factor integrante caso 3
Ecuaciones diferenciales lineales
Ejemplo de ecuaciones diferenciales lineales
Ejercicios de ecuaciones diferenciales de primer orden
Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden
¿Qué es una solución linealmente independiente?
Ecuaciones lineales homogéneas
Ejemplo de ecuaciones lineales homogéneas
Ecuaciones lineales homogéneas con raíces complejas
Ejemplo de ecuaciones lineales homogéneas con raíces complejas
Ecuación diferencial no homogénea
Coeficientes indeterminados
Ejemplo de coeficientes indeterminados
Variación de parámetros
Ejemplo de variación de parámetros
Ejercicios de ecuaciones diferenciales de segundo orden
Modelos matemáticos
Creación de un modelo matemático
Crecimiento poblacional
Primer ejemplo de crecimiento poblacional
Segundo ejemplo de crecimiento poblacional
Ley de newton de enfriamiento
Ejemplo de la ley de newton de enfriamiento
Propagación de un virus y ejemplo
Ejercicios de modelos matemáticos
Transformada de laplace
Conceptos claves para entender la transformada de laplace
Introducción a la transformada de laplace
Introducción y transformada de una exponencial
Propiedades de la transformada de laplace
Transformada inversa
Ejemplo de transformada inversa
Ejercicios de transformada de laplace
You don't have access to this class
Keep learning! Join and start boosting your career
The Laplace transform is an invaluable mathematical tool for converting time-dependent functions into functions of a new variable, usually denoted as ( S ). This method is especially useful in solving differential equations, simplifying the analysis of systems in engineering and physics. Through various properties, we can further facilitate the work with the Laplace transform and its application in complex systems.
Throughout this discussion, we will explore four key properties of the Laplace transform that will allow us to tackle problems more efficiently and with less effort.
This property is simple but powerful. If we want to find the Laplace transform of a function multiplied by a constant, the constant can be separated from the calculation:
Example: to find the Laplace transform of ( 7 \cdot \sin(8t) ), we identify that ( 7 ) is the constant. According to the property, we only need to obtain the transform of ( \sin(8t) ) and then multiply the result by 7.
The transform of: [ \sin(kt) ] is: [ \frac{k}{s^2 + k^2} ].
Therefore, for ( \sin(8t) ): [ \frac{8}{s^2 + 64} ]
We multiply by 7, obtaining: [ \frac{56}{s^2 + 64} ]
The linearity property allows us to decompose the transform of a sum of functions into sums of the individual transforms, thus simplifying the calculation process:
Example: for ( 3t^2 - 9t ), we separate:
Using the transform table:
For ( t^2 ): [ \frac{2!}{s^3} = \frac{2}{s^3} ] Multiplied by 3, the result is: [ \frac{6}{s^3}} ]
For ( t ): [ \frac{1!}{s^2} = \frac{1}{s^2} ] Multiplied by 9, gives: [ \frac{9}{s^2} ].
Then, the transform of ( 3t^2 - 9t ): [ \frac{6}{s^3} - \frac{9}{s^2} ].
When we include an exponential term, such as ( e^{at} ), in the product with a function, the translation property allows us to adjust the variable ( s ) to ( s-a ).
Example: For ( e^{2t} \cdot \sin(3t) ):
With the property, we replace ( s ) by ( s-2 ): [ \frac{3}{(s-2)^2 + 9} ]
The derivative property applies to functions multiplied by ( t^n ). It allows us to express the transform in terms of the derivatives of the function.
Example: For ( t \cdot \cos(5t) ):
Derived according to: [ \text{Transform of } t^n \text{ is expressed as } (-1)^n \cdot f^{(n)}(s) ]
For ( t ), derivative: [ -left(\frac{d}{ds}left(\frac{s}{s^2 + 25}right)} ] ]
This operation is summarized using quotient rule: [ \frac{(s^2 + 25) \cdot 1 - 2s \cdot s}{(s^2 + 25)^2} ]
Results in: [ \frac{s^2 + 25 - 2s^2}{(s^2 + 25)^2} = \frac{25 - s^2}{(s^2 + 25)^2} ]
This handling of properties and strategic use of the Laplace transform table are fundamental to solving differential equations quickly and accurately. Don't stop here; practice will make you more adept at their application. As you progress, you will find that solving transforms of this style will become increasingly intuitive. Next time, we will delve deeper into the inverse Laplace transform and its properties. Keep learning and mastering these techniques!
Contributions 8
Questions 0
Ésta es la formula general de la transformada de Laplace aplicando la derivada:
El profesor explica muy bien y hace llevadero el curso
muy buena clase fiera
Pregunta, la formula para L[t^n] aplica para cualquier n\in R ? o solo los naturales ?
El mejor profesor de platzi
How easy are this examples. Great!
no entiendo de donde salio el 2.1 n! ?
En el minuto 9:49, al parecer hay un error, ya que en la derivada de una división, se realiza un resta en el numerador.
Want to see more contributions, questions and answers from the community?