Geometría en el plano

¡Hijos de Euclides!

Euclides, conocido también como “el padre de la geometría”. De su legado cabe destacar su famosísimo tratado de geometría, titulado “Los elementos”, una de las obras científicas más importantes de todo el mundo.
“Los elementos” de Euclides presenta un conjunto de axiomas, que él llamó postulados. Se trata de los cinco postulados de Euclides, y el detalle de lo maravilloso es que, por primera vez, había argumentos lógicos que explicaban la razón de que algunos conceptos matemáticos funcionaban siempre, en cualquier situación.

Formas cónicas.

Parabola
y= (±)ax^2+bx+c

Círculo
(x1-p1)^2 + (y-p2)^2 =p2

Elipse
(x/a)^2 + (y/b)^2 =1

Hipérbola
(x/a)^2 - (y/b)^2 =1

Hay un error en la Ecuación contínua de la recta; esta es la ecuación correcta:

Px = P1
Py = P2

### 1. Rectas en el Plano **Definición:** Una recta en el plano es una línea que se extiende indefinidamente en ambas direcciones sin curvarse. Puede representarse con una ecuación lineal de la forma y=mx+by = mx + by=mx+b, donde mmm es la pendiente y bbb es la intersección con el eje y. **Propiedades:** * **Pendiente (mmm)**: Mide la inclinación de la recta. Si m>0m > 0m>0, la recta sube; si m<0m < 0m<0, la recta baja; si m=0m = 0m=0, la recta es horizontal. * **Intersección con el eje y (bbb)**: Es el punto donde la recta cruza el eje y. * **Intersección con el eje x**: Es el punto donde la recta cruza el eje x, dado por x=−b/mx = -b/mx=−b/m si m≠0m \neq 0m=0. **Ejemplo:** Para la recta y=2x+1y = 2x + 1y=2x+1: * La pendiente es m=2m = 2m=2. * La intersección con el eje y es b=1b = 1b=1. * La intersección con el eje x es x=−1/2x = -1/2x=−1/2. **Usos:** Las rectas se utilizan en diversas áreas como la física para representar trayectorias, en la economía para representar relaciones lineales entre variables, y en la ingeniería para diseñar estructuras y componentes. ### 2. Cónicas en el Plano **Definición:** Las cónicas son curvas obtenidas al cortar un cono con un plano. Los tipos principales de cónicas son la circunferencia, la elipse, la parábola y la hipérbola. #### a. Circunferencia **Ecuación General:** (x−h)2+(y−k)2=r2(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2(x−h)2+(y−k)2=r2, donde (h,k)(h, k)(h,k) es el centro y rrr es el radio. **Propiedades:** * Todos los puntos de la circunferencia están a una distancia rrr del centro (h,k)(h, k)(h,k). **Ejemplo:** Para la circunferencia (x−3)2+(y−4)2=9(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 9(x−3)2+(y−4)2=9: * El centro es (3,4)(3, 4)(3,4). * El radio es r=3r = 3r=3. **Usos:** Las circunferencias se usan en la ingeniería para diseñar ruedas, engranajes y arcos, y en la astronomía para modelar órbitas circulares. #### b. Elipse **Ecuación General:** (x−h)2a2+(y−k)2b2=1\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1a2(x−h)2​+b2(y−k)2​=1, donde (h,k)(h, k)(h,k) es el centro, aaa y bbb son los semiejes mayor y menor respectivamente. **Propiedades:** * La suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a los dos focos es constante. **Ejemplo:** Para la elipse (x−2)24+(y−1)29=1\frac{(x - 2)^2}{4} + \frac{(y - 1)^2}{9} = 14(x−2)2​+9(y−1)2​=1: * El centro es (2,1)(2, 1)(2,1). * Los semiejes son a=2a = 2a=2 y b=3b = 3b=3. **Usos:** Las elipses se utilizan en la astronomía para describir las órbitas planetarias, en la acústica para diseñar salas con propiedades acústicas específicas, y en la óptica para fabricar lentes elípticas. #### c. Parábola **Ecuación General:** y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + cy=ax2+bx+c o (y−k)=a(x−h)2(y - k) = a(x - h)^2(y−k)=a(x−h)2 para una parábola con vértice (h,k)(h, k)(h,k). **Propiedades:** * Todos los puntos de una parábola están a igual distancia de un punto fijo (foco) y una línea fija (directriz). **Ejemplo:** Para la parábola y=2x2+3x+1y = 2x^2 + 3x + 1y=2x2+3x+1: * La forma estándar puede encontrarse completando el cuadrado. **Usos:** Las parábolas se usan en la física para describir trayectorias de proyectiles, en la ingeniería para diseñar reflectores parabólicos y antenas, y en la óptica para fabricar espejos parabólicos. #### d. Hipérbola **Ecuación General:** (x−h)2a2−(y−k)2b2=1\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1a2(x−h)2​−b2(y−k)2​=1 o (y−k)2b2−(x−h)2a2=1\frac{(y - k)^2}{b^2} - \frac{(x - h)^2}{a^2} = 1b2(y−k)2​−a2(x−h)2​=1. **Propiedades:** * La diferencia de las distancias de cualquier punto de la hipérbola a los dos focos es constante. **Ejemplo:** Para la hipérbola (x−1)29−(y−2)24=1\frac{(x - 1)^2}{9} - \frac{(y - 2)^2}{4} = 19(x−1)2​−4(y−2)2​=1: * El centro es (1,2)(1, 2)(1,2). * Los semiejes son a=3a = 3a=3 y b=2b = 2b=2. **Usos:** Las hipérbolas se utilizan en la navegación para determinar posiciones utilizando señales de radio (hiperbolic navigation systems), en la física para describir trayectorias de partículas en campos electromagnéticos, y en la astronomía para describir órbitas hiperbólicas. ### Gráfica Ilustrativa Para ilustrar una parábola, consideremos la ecuación y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3y=x2−4x+3: 1. **Forma Estándar**: Completando el cuadrado, y=(x−2)2−1y = (x - 2)^2 - 1y=(x−2)2−1. 2. **Vértice**: El vértice es (2,−1)(2, -1)(2,−1). 3. **Dirección**: La parábola abre hacia arriba.