Binomio a la n potencia

El triangulo de pascal solo funciona cuando los coeficientes de “x” y “y” son iguales a 1. Para otros coeficientes el triangulo no funciona.

Les dejo una imagen que grafica lo aprendido en esta clase:

Interesantísimo. Nunca me habían explicado como resolver productos notables con el triangulo de Pascal. Me los tenía que aprender de memoría para potencias cuadradas y cúbicas. ¡Excelente!

Consejo
¿Lecuerdan los arreglos, listas o mejor conocidos como vectores en programación?, ¿recuerdan que empiezan desde la posición 0 y terminan en la n - 1, es decir si tenían un arreglo o lista de 10 espacios, las posiciones eran 0, 1, 2, 3, …, 9. Ah bueno, el triángulo de Pascal es igual, el primer renglón empieza desde el 0, y ese número de renglón va a representar el exponente al que vamos a elevar nuestro binomio. ; - )

He estudiado en diferentes universidades (sin terminar…), y he hecho muchos cursos de Álgebra, y les puedo decir que en ninguno, me habían enseñado esta herramienta. Aprovéchenla y guárdenla muy bien en su memoria, les servirá para todo en Álgebra.

Excelente clase pero e entraron dos dudas.
La primera ¿Qué pasa cuando ambos términos son negativos? Algo como (-x - y)²
Pues tras algunas pruebas concluí que si la potencia es par todos los términos serán positivos y si es impar todos los términos serán negativos
La segunda ¿Cuándo usamos coeficientes diferentes a 1 también funciona?
Y mi conclusión fue que si, sólo que hay que tener cuidado de entender bien que significan los números del triangulo de pascal

Los números que vemos no son los coeficientes que vamos a poner en nuestro resultado de la operación, sino el número por el que vamos a multiplicar nuestro coeficiente tras haberlo elevado nuestros dos términos a la potencia correspondiente y multiplicado los términos que correspondan a la misma posición ¿Suena algo confuso no? Pues si lo es pero creo que si te lo explico en dos ejemplos te quedará más claro
Supongamos que queremos resolver este binomio (3x + 2y)²
La parte de la pirámide pascal que corresponde a la segunda potencia es 1 2 1,
Primero que nada hay que sacar los valores del primer binomio 3x, en la primera posición de nuestro resultado debemos elevarlo a la 2
(3x)² = (3x) (3x) (1) = 9x²
Luego para el segundo posición de nuestro resultado nos toca elevarlo a la potencia 1
(3x)⋀1 = 3x
Y para el ultimo termino debemos elevarlo a la 0 y multiplicarlo por 1 entonces
(3x)⋀0 (1) = 1
Nota Aquí no es 1x porque x es una variable de la que no se sabe el valor, pero sabemos que cualquier número elevado la potencia 0 es igual a 1 por lo tanto no importa si x vale 12, 38 o algún otro valor al elevarlo a la 0 nos da 1
Y hemos terminado con la parte de las x ahora solo nos falta la parte de nuestro segundo termino 2y
Lo que nuestro primer termino del resultado es:
(2y)² = (2y) (2y) = 4y²
El segundo
(2y)⋀1 = 2y
Y el tercero
(y)⋀0 = 1
Ahora podemos decir que terminamos de elevar a la potencia correspondiente a cada uno de nuestros terminos, ahora nos toca acomodarlos en orden los resultados del primer termino (3x) de izquierda a derecha y los del segundo (2y) de derecha a izquierda de esta manera y acomodar los valores de la piramide de pascal

Y multiplicar los que estén en la misma posición es decir
(9x²) (1) (1) = 9x²
(3x) (2y) (2) = 12xy
(1) (4y²) (1) = 4y²
Dándonos como resultado: 9x² + 12xy + 4y²

Ahora ese mismo procedimiento con el mismo binomio elevado a la 3 (3x + 2y)⋀3

Intente escribir esto para referencia, pero le tuve que tomar captura por que Platzi me lo reformateaba mal.

¿Qué pasa si tengo una expresión como la siguiente: (-x+y)`5
Es decir, si el signo negativo está en el primer termino de la expresión, de qué forma se manejan los signos con el triángulo de pascal ?

En este video se explica como usar el Triángulo de Pascal.
En esta página web pueden comprobar todo lo que quieran sobre cualquier operación, es muy buena =)
En este video pueden conocer algunos secretos del Triángulo de Pascal.

Ella dice que deja mas ejercicio y nunca los he visto

solo un comentario aporte aclaración,
elevar un numero a la 2da potencia no significa multiplicar dos veces
ni elevar a la 3ra potencia significa multiplicar 3 veces
.
cuando elevamos a la segunda potencia hay solo una multiplicación pero si, son dos factores, y cuando elevamos a la tercera hay 2 multiplicaciones pero si, hay 3 factores;
.
parece no muy importante pero en potencias mas grandes la diferencia puede ser brutal,

ioj899¿i8 8 y4c 4rdw3gu943 7dedei2edfuhinf23kfnk2f2f
f2jf82y392r2cnsn,ñavnnñf23’ iooowssssssssssssqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqdqw

Al tener un binomio de la siguiente forma:
(5x+2y)4
Como resuelvo al momento de elaborar mi triángulo de Pascal? Los número 1 del segundo renglon se cambian por los términos 5 y 2 , en este caso?

No puedo creer que esto no me lo enseñaran en el colegio ni en la universidad. Muy buen truco, y lo que más me llena de intriga, es a las personas que se les ocurrió este tipo de tips.

Todos los ejercicios los pones hasta la parte de material? porque no me aparece nunca activa la pestaña de archivos, pensé que habría ejercicios en cada clase…

Binomio al cubo:
El primero al cubo, mas el triple producto del primero al cuadrado por el segundo, mas triple producto del primero por el segundo al cuadrado, mas el segundo al cubo.

Genial el triangulo de Pascal!!! Había escuchado de él, quizás los vi incluso, pero nunca me enseñaron a usarlo. Super clara la explicación.

La potencia de los extremos es la potencia a la cual se eleva el binomio y luego decre en orden los exponentes y crece los del segundo término

Perfecto, entendí muy bien cómo funciona el triángulo de Pascal, pero faltó explicar para qué tipo de potencias funcionan, porque si quiero hacer el ejercicio (3x-4y)?^5, no funcionaría. Confirmar.

[Contexto del Triangulo de Pascal] dale me Gusta al aporte si reforsaste lo aprendido en esta clase (recursos memotecnicos)(https://es.wikipedia.org/wiki/Triángulo_de_Pascal)

Blaic Pascal Fue su inventor o descubridor, y sirve para obtener los coeficientes del desarrollo de la potencia en un binomio

Utilizando el triángulo de pascal con un binomio con un coeficiente diferente a 1.

Espero les sirva.

Cuanto me hubiera ahorrado con el Triangulo de Pascal.

Excelente!! No sabía de la existencia del Triángulo de Pascal, estoy seguro de que simplificará mi vida con las matemáticas.

perfecto, rcordando temas de cologio para la Universidad jajajaa

Piramide de Pascal en Excel

Para construirla de forma simple, se crea una columna solo con números 1 a la izquierda.
Luego a partir de la segunda fila, insertan la fórmula “Celda de arriba de tu fórmula + celda que está 1 espacio a la izquiera y 1 arriba de tu fórmula” Por ejemplo, si insertas la fórmula en la celda B2, debería quedar así “=B1+A1”. Luego copias la misma fórmula hacia abajo y los lados para que vaya sumando, como lo muestra esta imagen de referencia donde la primera columna tiene “1” y el resto son todas la misma fórmula:

Me acordé uffff cuando me intentaron explicar el Triángulo de pascal y todo era memorizar y no aprender. wow, definitivamente, muchas gracias.

El binomio de newton o triangulo de Pascal nos ayuda a encontrar el coeficiente de un binomio.

No sabia de la existencia del triangulo de pascal hasta ahora y la verdad es que si facilita la resolucion de los binomios gacias platzi.

Explicación profunda de los binomios al cuadrado para arriba:

Es un ejemplo del binomio al cubo. La formula esta dada por este proceso; es igual con el resto, como se ve en la primera parte, primero se pone el binomio elevado a la 1 y al lado el total menos 1 en este caso, 3-1 = 2
Se opera con distributiva y nos da la formula del binomio al cubo.

Otro Dato, si tenemos un binomio como (-x-y)^n, y n es par, todos los signos son positivos, mientras que si n es impar todos los signos son negativos. Por lo tanto la regla de signos quedaria:
(x+y)^n todos los signos + independiente de si n es par o impar
(x-y)^n signos intercalan empezando como +, -, +, etc.
lo mismo aplica para (y-x)^n
(-x-y)^n si n es par todos los signos +, y si n es impar todos los signos -

Al fin entiendo de donde salia los resultados de los binomios a la n potencia, entonces toca repasar y nunca olvidar el triangulo de pascal.

Es muy importante, porque nos permite conocer los patrones que pueden presentarse en las matemáticas y sobre los que podemos obtener ventajas a la hora de hacer operaciones con mayor agilidad.

Hace tiempo que no veía esto, desde la secundaria creo… Me encanto la clase 😃 ahora ya no le temo a los binomios a la n potencia :3

para aclarar por que se intercalan los signos, se debe a que el exponencial es par o impar es decir que como el valor de “y” lleva signo negativo y como varia a medida de que “x” decrece y “y” aumenta cada vez que “y” sea impar su signo es negativo y si es par positivo

Les comparto mis apuntes, espero que les sirva de algo

Holaa aquí les dejo el triangulo de pascal para que lo anoten en sus cuadernos.

Me encantó aprender esta forma de resolver los binomios a la n potencia. ¡Ojalá me hubieran explicado este truco en la universidad!

Increíble, esto nunca me enseñaron en el colégio y pensé que eran cosas diferentes, gran clase!

Aquí un video para más secretos del Triangulo…
Link: https://www.youtube.com/watch?v=DPxIbJ-Rbf4

Habia escuchado del triangulo de pascal pero nunca habia hecho algun ejercicio y este me parecio ademas de sencillo divertido👏👏👏

maestra Marcela, mas claro que esto… difícilmente

Al fin le veo con tanto sentido al triángulo de pascal. XD

Muchas gracias por recordar mis años de secundaria!

El triángulo de pascal es una excelente herramienta. Gracias por ayudarme a recordarlo.

Wow!!!

Recomendado el siguiente video:
https://www.youtube.com/watch?v=DPxIbJ-Rbf4

Es impresionante que se resuelve el binomio a la potencia de ese modo y solo funciona si hay un valor de uno en y. Es interesante.

El Triángulo de Pascal es una matriz triangular de números en la que cada número es la suma de los dos números justo encima de él. Cada fila representa coeficientes binomiales, lo que lo hace útil para desarrollar binomios a la n potencia. Además, su aplicación se extiende a la probabilidad, combinatoria y matemáticas discretas, simplificando cálculos complejos.

Para calcular el desarrollo de (a + b)^3, podemos usar el Triángulo de Pascal: (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3. Los coeficientes 1, 3, 3 y 1 de la tercera fila del Triángulo de Pascal nos proporcionan los coeficientes adecuados para el desarrollo.

¿El triángulo de pascal solo funciona con binomios cuyos coeficientes equivalen a 1?

Así si se aprende con calma y con sencillez, no tenia ni la menor idea que era este triángulo. Gracias Profe!!!

Buena explicación

Gracias MarceMaticas💚
No recordaba bien este triangulito de Pascal, si lo conocía pero ya lo habia olvidado😁

He encontrado un video donde explican porque funciona esa formula
https://www.youtube.com/watch?v=YdOhSrz58cU

13. Binomio a la n potencia

Triángulo de pascal

Tengo 22 años y nunca en la vida me habían explicado esta manera de resolver un binomio. Gracias Platzi.

Que geniaa profe, con la sencillez que explica comprendo con una sola vez que mire la clase.

Es malisima explicando. Hagan otro curso de algebra plis, si no fuera por mis conocimientos previos de todos estos temas, no podría seguir el ritmo, o al menos de lo que trata de explicar.

Existe un metodo más practico para omitir el triángulo de Pascal.

x^5 - 5x^4y + 10x^3y^2 - 10x^2y^3 + 5xy^4 - y^5

Definición del binomio de Newton

El binomio de Newton es la fórmula que nos permite hallar las potencias de un binomio.

(a\pm b)^{n}=\binom{n}{0}a^{n} \pm\binom{n}{1}a^{n-1}b \pm\binom{n}{2}a^{n-2}b^{2} \pm \cdots \pm \binom{n}{n} b^{n}

Podemos observar que:

El número de términos es n+1.

Los coeficientes son números combinatorios que corresponden a la fila enésima del triángulo de Tartaglia (también conocido como triangulo de Pascal).

Pirámide de Pascal o Tartaglia

En el desarrollo del binomio, los exponentes de a van disminuyendo, de uno en uno, de n a cero; y los exponentes de b van aumentando, de uno en uno, de cero a n , de tal manera que la suma de los exponentes de a y de b en cada término es igual a n .

En el caso que uno de los términos del binomio sea negativo, se alternan los signos positivos y negativos.

Ejemplos del binomio de Newton
1 Calcular (x+2y)^{5}

Usando la formula para el binomio de Newton tenemos que

$$(x+2y)^{5}=\binom{5}{0}x^{5}+\binom{5}{1}x^{4} \cdot 2y + \binom{5}{2}x^{3} \cdot (2y)^{2}+\binom{5}{3}x^{2}\cdot (2y)^{3}+\binom{5}{4}x \cdot (2y)^{4}+\binom{5}{5}(2y)^{5}=$$

$$=x^{5}+10x^{4}y+40x^{3}y^{2}+80x^{2}y^{3}+80xy^{4}+32y^{5}$$

2 Calcular (2-3y)^{4}

Usando la formula para el binomio de Newton tenemos que

$$(2-3y)^{4}=\binom{4}{0}2^{4}-\binom{4}{1}2^{3} \cdot 3y + \binom{4}{2}2^{2} \cdot (3y)^{2}-\binom{4}{3}2 \cdot (3y)^{3}+\binom{4}{4}3y^{4}=$$

$$=16-96y+216y^{2}-216y^{3}+81y^{4}$$

FUUUUUUUCK!!! ESO NUNCA LO VI EN LA ESCUELA JAJAJJAJA
EXCELENTE TIP

Ojalá me hubieran explicado estos conceptos de esta forma en la escuela.

De una u otra forma estoy aprendiendo, pero siento mucho desorden en este curso, a veces en jerarquia va entre polinomios y monomios y sus diferentes operaciones, no siendo tan organico el metodo en comparacion a otros cursos que he tomado.

Por ejemplo dice que va a dejar ejercicios pero no hay ninguno.

Esto no me lo enseñaron en la Uni… ¡interesante!. 👀📚


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Madre mía, que fácil siento esto, gracias enserio!!

El triangulo de pascal es una herramienta útil para el uso de estos binomios… Aquí les dejo un complemento del mismo ![]

Si les interesa, dejo una forma de desarrollar el triangulo en python, acorde al numero de filas (exponente) que se desea revisar.

numero_filas = int(input("Ingrese el numero de filas: "))
list = []
for n in range(numero_filas):
    list.append([])
    list[n].append(1)
    for m in range(1, n):
        list[n].append(list[n - 1][m - 1] + list[n - 1][m])
    if(numero_filas != 0):
        list[n].append(1)
for n in range(numero_filas):
    print(" " * (numero_filas - n), end = "", sep = "")
    for m in range(0, n + 1):
        print('{0:5}'.format(list[n][m]), end = "", sep = "")
    print()

Que buena guía el triangulo de Pascal

Mi menté explotó cuando explicaste sobre el triángulo de pascal JAJAJAJA antes de eso justamente estaba pensando “qué horrible pesadilla debe ser elevado a una potencia alta”, pero ahora quedé sorprendido con lo sencillo que se puede obtener

muy buena clase !!

Para los que llevarán los cursos de redes de comunicaciones.

El tríángulo de Pascal brinda además el resultado de elevar 2 a la n (sumando los coeficientes de cada renglón), como cuando hace falta para calcular máscaras de subredes, wilcard masks y cuando necesitamos encontrar, dada una dirección IPv4 de un host y su máscara a qué subred pertenece y los valores límite de la misma.

Super-sencillo y práctico!!

Esta clase estuvo bastante cargada de información, aquí les dejo mis notas estilo Cornell para que puedan guiarse un poco.

La siguiente imagen la obtuve del compañero @aatplatzi441

Lo explicado en la siguiente imagen fue basado en la explicación del compañero @danilo1905

(a+b)^n = a^n +a^n-1+a^n-2b^2 … +b^n

triangulo de pascal con javascrip

Con este método ahorras muchísimo tiempo!

Buena explicación.

Así es como funciona el triángulo de Pascal:

buen video gracias

odio al profesor de matematica que no me enseno esto pero a ti te amo

Triangulo de pascal

El triángulo de Pascal fue nuevo para mi, gracias por la clase!

a² = -a² 😮 ???
//////////////////////
a * a = -a * -a
a² = a²
//////////////////////
2 * 2 = -2 * -2
4 = 4
//////////////////////

No sabia que con el triangulo de Pascal se podían calcular los coeficientes de los binomios de n potencia. Genial.