Ejercicios análisis de estructuras

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¡Es momento de que pongas en práctica lo que aprendiste!

Para el reticulado mostrado en la figura, sometido a una fuerza de 300N, obtener la fuerza en la barra BD.
Curso-fisica-mecanica-estatica-platzi.jpg

Solución:

Primero obtendremos las reacciones en los puntos A y E. En el punto A tenemos un apoyo doble, y en el punto E un apoyo simple.
Curso-fisica-mecanica-estatica-platzi1.jpg

∑Fx = 0
Ax = 0

∑Fy = 0
Ay + Ey-300N=0
Ay + Ey=300N

Calculamos los momentos respecto al punto A. Ya que las reacciones en el punto A coinciden con el eje de giro escogido, sus momentos son iguales a cero. Consideramos los momentos en sentido antihorario como positivos.

∑MA = 0
Ey12 m -300 N9 m=0
Ey*12 m=2700 Nm
Ey=225 N

Finalmente, obtenemos el valor de Ay usando la ecuación anterior.
Ay + Ey=300 N
Ay + 225 N=300 N
Ay=75 N

A. Método de los nudos

Podemos resolver el problema con cualquiera de los dos métodos aprendidos. Empezaremos por el método de los nudos. La geometría se visualiza en la siguiente imagen:

Curso-fisica-mecanica-estatica-platzi2.jpg

Con esto obtenemos los valores de α ≅ 53,13º y β≅75,96º
Curso-fisica-mecanica-estatica-platzi3.jpg

Nudo A:
∑Fx = 0
FACcos(α) + FABcos(β) = 0
FAC0,6 + FAB0,243 = 0
FAC = - FAB0,243/0,6
FAC = - FAB
0,405

∑Fy = 0
FACsen(α) + FABsen(β) +75N= 0
FAC0,8 + FAB0,97 +75N= 0

  • FAB0,4050,8 + FAB*0,97 +75N= 0
  • FAB0,324 + FAB0,97 +75N= 0
    FAB*0,646 +75N= 0
    FAB=-75N/0,646
    → FAB=-116,1N

El signo negativo significa que la fuerza FAB es una fuerza de compresión.

FAC = - FAB0,4
FAC = 116.1N
0,4
→FAC = 46,44N

Curso-fisica-mecanica-estatica-platzi4.jpg

Nudo B:

La fuerza FAB aparece ahora como una fuerza de compresión, mientras que las dos incógnitas como fuerzas de tensión. El valor de ૪ ≅ 53,13º.

∑Fx = 0
FBCcos(૪) + FABcos(β) + FBD= 0
FBC0,6 + 116.1N0,24 + FBD= 0
FBC*0,6 + 27,864N+ FBD= 0

∑Fy = 0
-FBCsen(૪) + FABsen(β) = 0
-FBC0,8 + 116,1N0,97 = 0
-FBC*0,8 + 112.617N = 0
FBC = 112.617N/0,8

→ FBC=140.771N

FBC0,6 + 27,864N+ FBD= 0
140.771N
0,6 + 27,864N+ FBD= 0
84.463N + 27,864N+ FBD= 0
112.327N+ FBD= 0

→ FBD=-112.327N

B. Método de las secciones

Obtendremos el valor de la fuerza interna de la barra BD utilizando el método de las secciones.

Curso-fisica-mecanica-estatica-platzi5.jpg

Hacemos un corte en la estructura, y así aparecen las fuerzas internas actuando en BD, BC y AC.

∑Fx = 0
FBCcos(૪) + FACcos(α) + FBD= 0

∑Fy = 0
FACsen(α) - FBCsen(૪) +Ay= 0
FACsen(α) - FBCsen(૪) +75N= 0
FAC0,8 - FBC0,8 +75N= 0
FAC0,8 = FBC0,8 +75N
FAC = FBC +75N/0,8
(2) FAC = FBC +93,75N

∑MC = 0
-FBD4m - Ay6m= 0
-FBD4m - 75N6m= 0
-FBD*4m - 450Nm= 0
FBD = -450Nm/4m
→FBD = -112,5N

Comentarios finales: Los resultados obtenidos por ambos métodos, si bien no son exactamente iguales, son muy parecidos. Esto se debe a que en la resolución por el método de los nudos, utilizamos valores aproximados para los ángulos α,β y૪. Es por ello, que usé 3 decimales en los cálculos del método de los nudos. Mientras más decimales utilicemos, más aproximado a la solución real se llegará.
En el método de las secciones, el procedimiento fue bastante breve. Ya que nos pedían sólo la fuerza en la barra BD, haciendo uso del equilibrio de momentos, pudimos encontrar la solución. Esto fue gracias al uso del punto C, como un punto fuera de nuestro corte, donde ambas fuerzas coincidían, y por ello, el cálculo fue más ágil. Sin embargo, si hubiésemos hecho el cálculo de momentos respecto al punto A, el procedimiento sería:

∑MA = 0
-FBD12m -FBCsin(૪)3m-FBCcos(૪)12m= 0
-FBD
12m -FBC0,83m-FBC0,612m= 0-FBD12m -FBC2,4m-FBC7,2m= 0
-FBD
12m -FBC*9,6m= 0

A partir de aquí, tendríamos que despejar el valor de FBCen función de FBD:

-FBD12m =FBC9,6m
-FBD12m/9,6m =FBC
→FBC=-FBD
1,25

Luego, obtener el valor de en función de:

(2) FAC = FBC +93,75N
→FAC = -FBD*1,25 +93,75N

Y finalmente, reemplazar cada uno de estos valores en la ecuación (1):

FBCcos(૪) + FACcos(α) + FBD= 0
FBC0,6 + FAC0,6 + FBD= 0
-FBD1,250,6 +(-FBD1,25 +93,75N)0,6 + FBD= 0
-FBD
0,75 -FBD
1,250,6 +93,75N0,6 + FBD= 0
-FBD0,75 -FBD0,75 +56,25N + FBD= 0
-FBD1,5 +56,25N + FBD= 0
-FBD
0,5 +56,25N = 0
FBD =56,25N/0,5
FBD =112,5N

El procedimiento es bastante largo si no hacemos la sumatoria de momentos en el lugar correcto. La elección de un buen punto de análisis se obtiene con la práctica, pero darse un minuto para encontrar un punto donde concurren las líneas de acción de las fuerzas desconocidas es una buena estrategia.

Ejercicios de práctica

Curso-fisica-mecanica-estatica-platzii.jpg
Para el reticulado de la figura, encontrar las fuerzas internas de las barras BF y CG. Usar método de los nudos o método de las secciones.

Algunos consejos:

  • Empezar por el cálculo de las reacciones. Definir la geometría del problema (distancias y ángulos)
  • Si se utiliza el método de los nudos, empezar desde el nudo A, ya que tiene sólo dos barras concurrentes, luego moverse al nudo E, y así continuar.
  • Si se utiliza el método de las secciones, hacer un corte por donde pasen sólo 3 barras. Ya que contamos con sólo 3 ecuaciones linealmente independientes, sólo podemos obtener 3 incógnitas a la vez.

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Para el reticulado mostrado en la figura, sometido a una fuerza de 300N, obtener la fuerza en la barra BD.
Curso-fisica-mecanica-estatica-platzi.jpg

Solución:

Primero obtendremos las reacciones en los puntos A y E. En el punto A tenemos un apoyo doble, y en el punto E un apoyo simple.
Curso-fisica-mecanica-estatica-platzi1.jpg

∑Fx = 0
Ax = 0

∑Fy = 0
Ay + Ey-300N=0
Ay + Ey=300N

Calculamos los momentos respecto al punto A. Ya que las reacciones en el punto A coinciden con el eje de giro escogido, sus momentos son iguales a cero. Consideramos los momentos en sentido antihorario como positivos.

∑MA = 0
Ey12 m -300 N9 m=0
Ey*12 m=2700 Nm
Ey=225 N

Finalmente, obtenemos el valor de Ay usando la ecuación anterior.
Ay + Ey=300 N
Ay + 225 N=300 N
Ay=75 N

A. Método de los nudos

Podemos resolver el problema con cualquiera de los dos métodos aprendidos. Empezaremos por el método de los nudos. La geometría se visualiza en la siguiente imagen:

Curso-fisica-mecanica-estatica-platzi2.jpg
Con esto obtenemos los valores de α ≅ 53,13º y β≅75,96º
Curso-fisica-mecanica-estatica-platzi3.jpg

Nudo A:
∑Fx = 0
FACcos(α) + FABcos(β) = 0
FAC0,6 + FAB0,243 = 0
FAC = - FAB0,243/0,6
FAC = - FAB0,405

∑Fy = 0
FACsen(α) + FABsen(β) +75N= 0
FAC0,8 + FAB0,97 +75N= 0

FAB0,4050,8 + FAB0,97 +75N= 0
FAB0,324 + FAB0,97 +75N= 0
FAB
0,646 +75N= 0
FAB=-75N/0,646
→ FAB=-116,1N
El signo negativo significa que la fuerza FAB es una fuerza de compresión.

FAC = - FAB0,4
FAC = 116.1N0,4
→FAC = 46,44N

Curso-fisica-mecanica-estatica-platzi4.jpg
Nudo B:

La fuerza FAB aparece ahora como una fuerza de compresión, mientras que las dos incógnitas como fuerzas de tensión. El valor de ૪ ≅ 53,13º.

∑Fx = 0
FBCcos(૪) + FABcos(β) + FBD= 0
FBC0,6 + 116.1N0,24 + FBD= 0
FBC*0,6 + 27,864N+ FBD= 0

∑Fy = 0
-FBCsen(૪) + FABsen(β) = 0
-FBC0,8 + 116,1N0,97 = 0
-FBC*0,8 + 112.617N = 0
FBC = 112.617N/0,8

→ FBC=140.771N

FBC0,6 + 27,864N+ FBD= 0
140.771N0,6 + 27,864N+ FBD= 0
84.463N + 27,864N+ FBD= 0
112.327N+ FBD= 0

→ FBD=-112.327N

B. Método de las secciones

Obtendremos el valor de la fuerza interna de la barra BD utilizando el método de las secciones.

Curso-fisica-mecanica-estatica-platzi5.jpg
Hacemos un corte en la estructura, y así aparecen las fuerzas internas actuando en BD, BC y AC.

∑Fx = 0
FBCcos(૪) + FACcos(α) + FBD= 0

∑Fy = 0
FACsen(α) - FBCsen(૪) +Ay= 0
FACsen(α) - FBCsen(૪) +75N= 0
FAC0,8 - FBC0,8 +75N= 0
FAC0,8 = FBC0,8 +75N
FAC = FBC +75N/0,8
(2) FAC = FBC +93,75N

∑MC = 0
-FBD4m - Ay6m= 0
-FBD4m - 75N6m= 0
-FBD*4m - 450Nm= 0
FBD = -450Nm/4m
→FBD = -112,5N

Comentarios finales: Los resultados obtenidos por ambos métodos, si bien no son exactamente iguales, son muy parecidos. Esto se debe a que en la resolución por el método de los nudos, utilizamos valores aproximados para los ángulos α,β y૪. Es por ello, que usé 3 decimales en los cálculos del método de los nudos. Mientras más decimales utilicemos, más aproximado a la solución real se llegará.
En el método de las secciones, el procedimiento fue bastante breve. Ya que nos pedían sólo la fuerza en la barra BD, haciendo uso del equilibrio de momentos, pudimos encontrar la solución. Esto fue gracias al uso del punto C, como un punto fuera de nuestro corte, donde ambas fuerzas coincidían, y por ello, el cálculo fue más ágil. Sin embargo, si hubiésemos hecho el cálculo de momentos respecto al punto A, el procedimiento sería:

∑MA = 0
-FBD12m -FBCsin(૪)3m-FBCcos(૪)12m= 0
-FBD12m -FBC0,83m-FBC0,612m= 0-FBD12m -FBC2,4m-FBC7,2m= 0
-FBD12m -FBC*9,6m= 0

A partir de aquí, tendríamos que despejar el valor de FBCen función de FBD:

-FBD12m =FBC9,6m
-FBD12m/9,6m =FBC
→FBC=-FBD1,25

Luego, obtener el valor de en función de:

(2) FAC = FBC +93,75N
→FAC = -FBD*1,25 +93,75N

Y finalmente, reemplazar cada uno de estos valores en la ecuación (1):

FBCcos(૪) + FACcos(α) + FBD= 0
FBC0,6 + FAC0,6 + FBD= 0
-FBD1,250,6 +(-FBD1,25 +93,75N)0,6 + FBD= 0
-FBD0,75 -FBD1,250,6 +93,75N0,6 + FBD= 0
-FBD0,75 -FBD0,75 +56,25N + FBD= 0
-FBD1,5 +56,25N + FBD= 0
-FBD0,5 +56,25N = 0
FBD =56,25N/0,5
FBD =112,5N

El procedimiento es bastante largo si no hacemos la sumatoria de momentos en el lugar correcto. La elección de un buen punto de análisis se obtiene con la práctica, pero darse un minuto para encontrar un punto donde concurren las líneas de acción de las fuerzas desconocidas es una buena estrategia.

Ejercicios de práctica

Curso-fisica-mecanica-estatica-platzii.jpg
Para el reticulado de la figura, encontrar las fuerzas internas de las barras BF y CG. Usar método de los nudos o método de las secciones.

Algunos consejos:

Empezar por el cálculo de las reacciones. Definir la geometría del problema (distancias y ángulos)
Si se utiliza el método de los nudos, empezar desde el nudo A, ya que tiene sólo dos barras concurrentes, luego moverse al nudo E, y así continuar.
Si se utiliza el método de las secciones, hacer un corte por donde pasen sólo 3 barras. Ya que contamos con sólo 3 ecuaciones linealmente independientes, sólo podemos obtener 3 incógnitas a la vez.

Una consulta
En el ejercicio de práctica, nos dan 4 distancias horizontales, cada una de 2m., pero en el reticulado, solo hay 3 secciones: AB, BC y CD.

Una consulta, estoy algo confundida con las reacciones,fuerzas y diagrama en el nudo A , me podrían ayudar por favor?

La verdad no sé por donde empezar pero allá vamos.

En el método de secciones encontré el siguiente error:
∑Fy = 0
FACsen(α) - FBCsen(૪) +Ay= 0
FACsen(α) - FBCsen(૪) + 75N= 0
FAC0,8 - FBC0,8 +75N= 0
Como pasa al otro lado pasa con el signo menos:
FAC0,8 = FBC0,8 -75N
FAC = FBC -75N/0,8
FAC = FBC -93,75N

En todo caso ya sé que paso se está tomando como viñeta él - del inicio, por tanto, el punto de viñeta es menos.
Entonces debería ser:
-FAB (0,405) 0,8 + FAB*0,97 +75N= 0
-FAB 0,324 + FAB 0,97 +75N= 0

En el ejercicio de Ejemplo, a pesar de que los cálculos están correctos al reemplazar el valor de FAC falta un signo menos que en los cálculos se lo toma en cuenta, en todo caso debió ser:

  • FAB (0,405) (0,8) + FAB*0,97 +75N= 0