Conceptos b谩sicos de 谩lgebra lineal y configuraci贸n del entorno de trabajo

1

Presentaci贸n del curso y la necesidad del 脕lgebra Lineal

2

Anaconda + Python, Creaci贸n de un entorno y actualizaci贸n de paquetes

3

Uso de Jupyter Notebook

4

Creando las bases, escalares, vectores y matrices. 驴Qu茅 es un tensor? 驴C贸mo se representa?

Realiza operaciones b谩sicas

5

Dimensi贸n de un escalar, vector, matriz o tensor

6

Transposici贸n, suma de matrices y escalares

7

Suma de matrices y vectores (broadcasting)

Operaciones con matrices

8

Producto interno entre una matriz y un vector

9

Producto interno entre dos matrices

10

Propiedades de las matrices: la multiplicaci贸n de matrices es asociativa y distributiva, no es conmutativa

11

Transposici贸n de un producto de matrices

12

C贸mo comprobar la soluci贸n de un sistema de ecuaciones lineal

13

Tipos especiales de matrices: Identidad, Inversa, Singulares

14

Aplicaci贸n de la inversa de una matriz para resolver un sistema de ecuaciones lineales

Sistema de ecuaciones lineales

15

Ejemplos de sistemas sin soluci贸n, con una soluci贸n y con infinitas soluciones

16

Graficar vectores

17

驴Qu茅 es una combinaci贸n l铆neal?

18

驴Qu茅 es un espacio y un subespacio?

19

Vectores linealmente independientes

20

Validar que una matriz tenga inversa

Normas

21

Qu茅 es una norma y para qu茅 se usa. Desigualdad Triangular

22

Tipos de normas: norma 0, norma 1, norma 2, norma infinito y norma L2 al cuadrado

23

El producto interno como funci贸n de una norma y su visualizaci贸n

Matrices y vectores especiales

24

La matriz diagonal y la matriz sim茅trica: sus propiedades

25

Vectores ortogonales, matrices ortogonales y sus propiedades

26

Matrices ortogonales y sus propiedades

Otras funciones de 谩lgebra lineal

27

El determinante y la traza

28

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Tipos especiales de matrices: Identidad, Inversa, Singulares

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Recursos

Aportes 31

Preguntas 4

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Se puede dar uno cuenta r谩pido si una matriz es singular o no(es decir, saber si tiene inversa),
si la determinante de la matriz es diferente de cero, tiene inversa
si la determinante de la matriz es cero, no tiene inversa

Matrices Especiales

  • Matriz identidad 鈫 Es el elemento neutro de la multiplicaci贸n de matrices. Es decir que cualquier matriz multiplicada por la matriz identidad resulta la misma matriz. Para generar una matriz identidad de nxn en python se usa np.eye(n)
  • Matriz inversa. Una matriz es inversa de otra cuando la multiplicaci贸n de las matrices resulta en una matriz identidad (elemento inverso de la multiplicaci贸n de matrices)
  • Matriz singular: Una matriz es singular cunado no tienen inversa. Todas las matrices que no son cuadradas son singulares

Cuando quieres generar una matriz identidad con enteros se utiliza el parametro dtype:

# matriz identidad
Identidad = np.eye(4, dtype = int)
print('\nIdentidad\n',Identidad)

Identidad
[[1 0 0 0]
[0 1 0 0]
[0 0 1 0]
[0 0 0 1]]

Matriz identidad = Como el 1 en matematicas, el elemento neutro
Matriz Inversa = Cumple lo siguiente: A*A^-1 = Id
Matriz Singular = No es Matriz Inversa

驴Porque es importante saber la matriz inversa?

Si tenemos:

A . x = b

donde:

  • A: Matriz formada por los valores que acompa帽a a las incognitas.
  • x: Matriz incognito.
  • b: Matriz formada por los valores que NO acompa帽an a las incognitas.

Sabiendo la inversa, podemos calcular los valores de x.

驴Como? Si la A est谩 como productor escalar con la x, pasa al otro lado como producto escalar de b pero como su inversa.

x = b . A^-1

驴Porque es importante saber la matriz singular?

Porque si tenemos una matriz singular es un sistema de ecuaciones lineales no podemos encontrar los valores incongnitas porque no tiene inversa. Sabiendo esto sabemos que no podremos calcular u obtener los resultados de las incognitas.
.
.

Son libres de completar la info si me falto algo

Aqu铆 un v铆deo de como calcular la matriz inversa a mano: https://www.youtube.com/watch?v=W214PLI0quQ

en el caso de la matriz de 1鈥檚 que no tiene inversa, se debe a que el determinante es cero. Luego es una matriz 鈥渟ingular鈥.






para resolver A x = b no ser铆a x = A^-1 b?

  • La matriz identidad no transforma su espacio

  • La matriz inversa es la transformaci贸n lineal de una matriz mediante la multiplicaci贸n del inverso del determinante de la matriz por la matriz adjunta traspuesta.

  • Cuando no existe la inversa se denomina matriz singular.


Puede que a le sea de ayuda ver lo que realmente pasa en la ecuaci贸n.

En realidad no seria

X = B.dot(inversa_A)

sino

X = inversa_A.dot(B)

El orden importa

Para calcular el Determinante:

y para saber si la matriz no tiene inversa, pues si el determinante es cero, entonces 鈥淎^-1=((adj(A))^T ) / |A|鈥 ser铆a una division entre cero y eso seria indeterminado.

En conclusion: si el determinante de una matriz es 鈥0鈥 es una matriz Singular, o sea, una matriz que no tiene inversa.

Con base a lo visto la clase pasada usando la inversa podemos encontrar la soluci贸n a ecuaciones lineales.

La matriz inversa entra a ayudar a despejar el sistema de ecuaciones, con el fin de resolver las inc贸gnitas.

Comprobar si una matriz es identidad

np.all(np.diag(matriz) == 1) and np.all(matriz == matriz.T)

Otra forma de crear una matriz identidad es con

np.identity(4)

Tengo una gran inquietud. Cuando hace la operaci贸n A * (A**-1) entendiendose esto como el producto interno, el resultado (la nueva matriz) no es igual a la identidad de A, pero seg煤n el profesor si son iguales. Para notar que no son iguales basta con ver que la matriz A tiene un -1, mientas que la matriz resultante de la operaci贸n no tiene ning煤n -1.

En el minuto 8:11 debe ser lo siguiente

Ax=b ,
A^-1AX=A^-1b / MULTIPLICAMOS A^-1 POR LA
IZQUIERDA EN AMBOS LADOS DE LA
IGUALDAD

Id X=A^-1b

FINALMENTE TENEMOS:
x=A^-1b

馃摑 La matriz identidad es el elemento neutro para las matrices (como multiplicar x1)

La matriz singular se puede averiguar si la determinante es igual a 0, por ejemplo

singular = np.array([[1,1],[1,1]])
print(np.linalg.det(singular))
0.0

A = np.array([[1,0,1],[0,1,1],[-1,1,1]])
print(np.linalg.det(A))
1.0
  • La matriz es el elemento neutro, no modifica el espacio.
try:
    print(np.linalg.inv(singular))
except:
    print("Matriz singular")
#para la soluci贸n a nuestro sistema de ecuaciones queremos
#x = A^-1 . b, par eso es que necesitamos hallarla inversa
A = np.array([[-3,1],[-2,1]])
b = np.array([5,3])
A_inv = np.linalg.inv(A)
solucion = A_inv.dot(b)
print("Solucion al sistema de ecuaciones lineales\n")
print("Inversa de A\n")
print(A_inv)
print("Soluci贸n: \n")
print(solucion)
Solucion al sistema de ecuaciones lineales

Inversa de A

[[-1.  1.]
 [-2.  3.]]
Soluci贸n: 

[-2. -1.]

Excelente!

SI quieren practicar mas las ecuaciones matriciales les dejo un link con muchos ejercicios reseltos para desarrollar algo mas de logica. Ecuaciones matriciales.

Tipos especiales de matrices: Identidad, Inversa, Singulares


import numpy as np

# La funcion eye nos devuelve una matriz identidad con tantos unos en la diagonas
# como le indiquemos (todos los numeros van a ser del tipo float).
identidad = np.eye(4)

# Si lo que queremos hacer es calcular la inversa de una matriz hacemos:
# Recordamos que para saber si una matriz hacepta inversa su determinantes
# debe ser distinto de cero. Y que la matriz original por la matriz inversa
# es igual a la matriz identidad.
# Las matrices que no aceptan inversa se llaman matrices singulares.
A = np.array([[1,0,1],[0,1,1],[-1,1,1]])
inversa_A = np.linalg.inv(A)

驴Por qu茅 debemos de poner antes de efectuar la inversa de nuestra matriz su producto interno?

Interesanta concepto.

Para tener en cuenta
Cuando una matriz tiene inversa, su determinante es distinto de cero; an谩logamente, si el determinante de una matriz no es nulo, dicha matriz tiene inversa. 鈥 La matriz de los adjuntos de una matriz A dada de dimensi贸n n tiene un determinante igual al determinante de A elevado a n-1.

YO: Bien juicioso con los notebooks con el mismo nombre

Platzi: La numeraci贸n no corresponde al orden con el que ves cada clase ALV

馃槮 #sadface #sinordennohaypaz