Tipos especiales de matrices: Identidad, Inversa, Singulares

Se puede dar uno cuenta rápido si una matriz es singular o no(es decir, saber si tiene inversa),
si la determinante de la matriz es diferente de cero, tiene inversa
si la determinante de la matriz es cero, no tiene inversa

Matrices Especiales

• Matriz identidad → Es el elemento neutro de la multiplicación de matrices. Es decir que cualquier matriz multiplicada por la matriz identidad resulta la misma matriz. Para generar una matriz identidad de nxn en python se usa np.eye(n)
• Matriz inversa. Una matriz es inversa de otra cuando la multiplicación de las matrices resulta en una matriz identidad (elemento inverso de la multiplicación de matrices)
• Matriz singular: Una matriz es singular cunado no tienen inversa. Todas las matrices que no son cuadradas son singulares

Cuando quieres generar una matriz identidad con enteros se utiliza el parametro dtype:

# matriz identidad
Identidad = np.eye(4, dtype = int)
print('\nIdentidad\n',Identidad)

Identidad
[[1 0 0 0]
[0 1 0 0]
[0 0 1 0]
[0 0 0 1]]

Matriz identidad = Como el 1 en matematicas, el elemento neutro
Matriz Inversa = Cumple lo siguiente: A*A^-1 = Id
Matriz Singular = No es Matriz Inversa

¿Porque es importante saber la matriz inversa?

Si tenemos:

A . x = b

donde:

• A: Matriz formada por los valores que acompaña a las incognitas.
• x: Matriz incognito.
• b: Matriz formada por los valores que NO acompañan a las incognitas.

Sabiendo la inversa, podemos calcular los valores de x.

¿Como? Si la A está como productor escalar con la x, pasa al otro lado como producto escalar de b pero como su inversa.

x = b . A^-1

¿Porque es importante saber la matriz singular?

Porque si tenemos una matriz singular es un sistema de ecuaciones lineales no podemos encontrar los valores incongnitas porque no tiene inversa. Sabiendo esto sabemos que no podremos calcular u obtener los resultados de las incognitas.
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Son libres de completar la info si me falto algo

Aquí un vídeo de como calcular la matriz inversa a mano: https://www.youtube.com/watch?v=W214PLI0quQ

en el caso de la matriz de 1’s que no tiene inversa, se debe a que el determinante es cero. Luego es una matriz “singular”.

para resolver A x = b no sería x = A^-1 b?

• La matriz identidad no transforma su espacio

• La matriz inversa es la transformación lineal de una matriz mediante la multiplicación del inverso del determinante de la matriz por la matriz adjunta traspuesta.

• Cuando no existe la inversa se denomina matriz singular.

Puede que a le sea de ayuda ver lo que realmente pasa en la ecuación.

En realidad no seria

X = B.dot(inversa_A)

sino

X = inversa_A.dot(B)

El orden importa

Para calcular el Determinante:

y para saber si la matriz no tiene inversa, pues si el determinante es cero, entonces “A^-1=((adj(A))^T ) / |A|” sería una division entre cero y eso seria indeterminado.

En conclusion: si el determinante de una matriz es “0” es una matriz Singular, o sea, una matriz que no tiene inversa.

Con base a lo visto la clase pasada usando la inversa podemos encontrar la solución a ecuaciones lineales.

La matriz inversa entra a ayudar a despejar el sistema de ecuaciones, con el fin de resolver las incógnitas.

Comprobar si una matriz es identidad

np.all(np.diag(matriz) == 1) and np.all(matriz == matriz.T)

Otra forma de crear una matriz identidad es con

np.identity(4)

Tengo una gran inquietud. Cuando hace la operación A * (A**-1) entendiendose esto como el producto interno, el resultado (la nueva matriz) no es igual a la identidad de A, pero según el profesor si son iguales. Para notar que no son iguales basta con ver que la matriz A tiene un -1, mientas que la matriz resultante de la operación no tiene ningún -1.

En el minuto 8:11 debe ser lo siguiente

Ax=b ,
A^-1AX=A^-1b / MULTIPLICAMOS A^-1 POR LA
IZQUIERDA EN AMBOS LADOS DE LA
IGUALDAD

Id X=A^-1b

FINALMENTE TENEMOS:
x=A^-1b

📝 La matriz identidad es el elemento neutro para las matrices (como multiplicar x1)

La matriz singular se puede averiguar si la determinante es igual a 0, por ejemplo

singular = np.array([[1,1],[1,1]])
print(np.linalg.det(singular))
0.0

A = np.array([[1,0,1],[0,1,1],[-1,1,1]])
print(np.linalg.det(A))
1.0

• La matriz es el elemento neutro, no modifica el espacio.

try:
    print(np.linalg.inv(singular))
except:
    print("Matriz singular")

#para la solución a nuestro sistema de ecuaciones queremos
#x = A^-1 . b, par eso es que necesitamos hallarla inversa
A = np.array([[-3,1],[-2,1]])
b = np.array([5,3])
A_inv = np.linalg.inv(A)
solucion = A_inv.dot(b)
print("Solucion al sistema de ecuaciones lineales\n")
print("Inversa de A\n")
print(A_inv)
print("Solución: \n")
print(solucion)
Solucion al sistema de ecuaciones lineales

Inversa de A

[[-1.  1.]
 [-2.  3.]]
Solución: 

[-2. -1.]

Excelente!

SI quieren practicar mas las ecuaciones matriciales les dejo un link con muchos ejercicios reseltos para desarrollar algo mas de logica. Ecuaciones matriciales.

Tipos especiales de matrices: Identidad, Inversa, Singulares

import numpy as np

# La funcion eye nos devuelve una matriz identidad con tantos unos en la diagonas
# como le indiquemos (todos los numeros van a ser del tipo float).
identidad = np.eye(4)

# Si lo que queremos hacer es calcular la inversa de una matriz hacemos:
# Recordamos que para saber si una matriz hacepta inversa su determinantes
# debe ser distinto de cero. Y que la matriz original por la matriz inversa
# es igual a la matriz identidad.
# Las matrices que no aceptan inversa se llaman matrices singulares.
A = np.array([[1,0,1],[0,1,1],[-1,1,1]])
inversa_A = np.linalg.inv(A)

¿Por qué debemos de poner antes de efectuar la inversa de nuestra matriz su producto interno?

Interesanta concepto.

Para tener en cuenta
Cuando una matriz tiene inversa, su determinante es distinto de cero; análogamente, si el determinante de una matriz no es nulo, dicha matriz tiene inversa. … La matriz de los adjuntos de una matriz A dada de dimensión n tiene un determinante igual al determinante de A elevado a n-1.

YO: Bien juicioso con los notebooks con el mismo nombre

Platzi: La numeración no corresponde al orden con el que ves cada clase ALV

😦 #sadface #sinordennohaypaz