Conceptos básicos de álgebra lineal y configuración del entorno de trabajo

1

Presentación del curso y la necesidad del Álgebra Lineal

2

Anaconda + Python, Creación de un entorno y actualización de paquetes

3

Uso de Jupyter Notebook

4

Creando las bases, escalares, vectores y matrices. ¿Qué es un tensor? ¿Cómo se representa?

Realiza operaciones básicas

5

Dimensión de un escalar, vector, matriz o tensor

6

Transposición, suma de matrices y escalares

7

Suma de matrices y vectores (broadcasting)

Operaciones con matrices

8

Producto interno entre una matriz y un vector

9

Producto interno entre dos matrices

10

Propiedades de las matrices: la multiplicación de matrices es asociativa y distributiva, no es conmutativa

11

Transposición de un producto de matrices

12

Cómo comprobar la solución de un sistema de ecuaciones lineal

13

Tipos especiales de matrices: Identidad, Inversa, Singulares

14

Aplicación de la inversa de una matriz para resolver un sistema de ecuaciones lineales

Sistema de ecuaciones lineales

15

Ejemplos de sistemas sin solución, con una solución y con infinitas soluciones

16

Graficar vectores

17

¿Qué es una combinación líneal?

18

¿Qué es un espacio y un subespacio?

19

Vectores linealmente independientes

20

Validar que una matriz tenga inversa

Normas

21

Qué es una norma y para qué se usa. Desigualdad Triangular

22

Tipos de normas: norma 0, norma 1, norma 2, norma infinito y norma L2 al cuadrado

23

El producto interno como función de una norma y su visualización

Matrices y vectores especiales

24

La matriz diagonal y la matriz simétrica: sus propiedades

25

Vectores ortogonales, matrices ortogonales y sus propiedades

26

Matrices ortogonales y sus propiedades

Otras funciones de álgebra lineal

27

El determinante y la traza

28

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Ejemplos de sistemas sin solución, con una solución y con infinitas soluciones

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Recursos

Aportes 25

Preguntas 2

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2 rectas pueden:
no cruzarse (ser paralelas)
cruzarse en un solo punto
o compartir todos los puntos
de ninguna manera pueden compartir más de un punto si no comparten todos, es por esto que un sistema de ecuaciones lineales puede tener solamente 0, 1 o infinitas soluciones.

Tipos de sistemas de ecuaciones:

  • Incompatible o sobredeterminado: Cuando no hay soluciones para el sistema. Hay más ecuaciones que incógnitas
  • Compatible determinado: Cuando el sistema tiene una única solución. Hay tantas ecuaciones como incógnitas (convergen en un sólo punto)
  • Compatible indeterminado: Cuando hay infinitas soluciones. Hay menos ecuaciones que incógnitas.
  • Sistema sobredeterminado: tenemos mas ecuaciones que variables, entonces no tiene solución.
  • Sistema con soluciones infinitas: Cuando tenemos una sola variable






ecuaciones > variables: sobre determinado
ecuaciones = variables: determinado
ecuaciones < variables: indeterminado

tener en cuenta que un sistema con infinitas soluciones puede existir para varias ecuaciones, esto se ve si las rectas están una sobre la otra

Hay un fallo aquí, se esta reproduciendo un vídeo sobre el alcance de las funciones en python dado por otro profesor

Para quien tenga problema con visualizar de forma interactiva puede utilizar este codigo que ejecuta de forma externa el grafico y permite interactuar con el sin ningun problema 😁

import matplotlib
matplotlib.use('Qt5Agg')

0 soluciones = sobredeterminado: nº eucaciones > nºvariables

1 solución = determinado: nº eucaciones = nºvariables

Infinitas soluciones = indeterminado: nº eucaciones < nºvariables

Acá la solución del sistema de ecuaciones determinado propuesto en la clase.

Más ecuaciones que variables: Sistema sobre determinado.

A los compañeros les recomiendo, como material adicional, el libro de Métodos Numéricos de Chapra & Canale (cualquiera de sus ediciones), en este libro se tratan algoritmos para resolver los SEL, entre ellos: Jacobi, Gauss-Seidel y Gauss-Seidel S.O.R.

Construí esos algoritmos en Python y Colab, en el siguiente enlace pueden explorar: https://colab.research.google.com/drive/197RrHFJ1IhBnC2zkPuE1s71LiubsbhEi?usp=sharing

Infinitas soluciones: menos ecuaciones que incógnitas.
Solución única: misma cantidad de ecuaciones e incógnitas.
Sin solución: más ecuaciones que incógnitas.

Es básicamente el teorema de Rouche Frobenius sin hablar de rangos.

Misma cantidad de ecuaciones y varibales: Sistema determinado.

Más variables que ecuaciones: Sistema indeterminado, infinitas soluciones.

mind blow

y si para las 3 rectas se demuestra que son colineales? entonces el sistema de 3 ecuaciones sí tendría solución.

Un sistema indeterminado sucede cuando las rectas no se cruzan en ningún momento, son paralelas no lo da como ejemplo pero puede suceder

Solo no me queda claro como determina que

x = np.arange(-6,6)```

es decir, el -6 y el 6... Cómo los determina?

Cuando un sistema posee más ecuaciones que variables, si las ecuaciones adicionales son combinaciones lineales de las otras, el sistema tiene solución.

Gracias por el aporte. Es agradable retomar estos temas olvidados de bachillerato.