Conceptos básicos de álgebra lineal y configuración del entorno de trabajo

1

Presentación del curso y la necesidad del Álgebra Lineal

2

Anaconda + Python, Creación de un entorno y actualización de paquetes

3

Uso de Jupyter Notebook

4

Creando las bases, escalares, vectores y matrices. ¿Qué es un tensor? ¿Cómo se representa?

Realiza operaciones básicas

5

Dimensión de un escalar, vector, matriz o tensor

6

Transposición, suma de matrices y escalares

7

Suma de matrices y vectores (broadcasting)

Operaciones con matrices

8

Producto interno entre una matriz y un vector

9

Producto interno entre dos matrices

10

Propiedades de las matrices: la multiplicación de matrices es asociativa y distributiva, no es conmutativa

11

Transposición de un producto de matrices

12

Cómo comprobar la solución de un sistema de ecuaciones lineal

13

Tipos especiales de matrices: Identidad, Inversa, Singulares

14

Aplicación de la inversa de una matriz para resolver un sistema de ecuaciones lineales

Sistema de ecuaciones lineales

15

Ejemplos de sistemas sin solución, con una solución y con infinitas soluciones

16

Graficar vectores

17

¿Qué es una combinación líneal?

18

¿Qué es un espacio y un subespacio?

19

Vectores linealmente independientes

20

Validar que una matriz tenga inversa

Normas

21

Qué es una norma y para qué se usa. Desigualdad Triangular

22

Tipos de normas: norma 0, norma 1, norma 2, norma infinito y norma L2 al cuadrado

23

El producto interno como función de una norma y su visualización

Matrices y vectores especiales

24

La matriz diagonal y la matriz simétrica: sus propiedades

25

Vectores ortogonales, matrices ortogonales y sus propiedades

26

Matrices ortogonales y sus propiedades

Otras funciones de álgebra lineal

27

El determinante y la traza

28

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¿Qué es una combinación líneal?

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Para aclarar:

#Este comando te funciona cuando tienes tu archivo guardado dentro de una subcarpeta

%run "..\\funciones_auxiliares\\graficarVectores.ipynb"

mientras que…

#Este te funciona cuando el archivo se encentra guardado en la carpeta Fundamentos de AL, pero no dentro de una subcarpeta.

%run "funciones_auxiliares\graficarVectores.ipynb"

Por esta razón a algunos no les funciona como lo hace el profe.

hasta hora no me imagino como lo voy usar para chambear, no encuentro la forma como practicar.

Hola companeros, les comparto el ultimo ejemplo comparando la base vectorial que el profe dio en el video y con la base vectorial canonica para R^2

Es hermoso ver como cada base genera un plano, que aparecera en distintas inclinaciones, solo las bases canonicas generan un plano completamente ortogonal al plano, en este caso al cartesiano.

UNA BASE INDEPENDIENTE: Si ponemos atencion, los puntos generan un plano con una perspectiva inclinada

.
.
.
LA BASE CANONICA: como es la base canonica, podemos ver el plano tal como es

  • Una combinación lineal es tomar un vector V1, multiplicarlo por un escalar, Tomar un segundo vector V2, multiplicarlo por otro escalar, al final sumar el resultado de las dos multiplicaciones. Este resultado es llamado combinación lineal.

Lo que el profe menciona que esos ese par de vectores pueden generar todo el plano cartesiano(R^2). se debe a que los dos vectores son independientes(no es uno multiplo del otro), y son una “base” para “R2”. de hecho no son los únicos que son base, la base canonica (0,1) (1,0) tambien generan todo R^2.

En esencia la combinación lineal de vectores nos dice que podemos representar un vector en un espacio R^n como la combinación de dos o más vectores multiplicados por un escalar. Lo que se realizó en la última visualización fue generar coordenadas como vectores (en R2) que pueden ser representados como la combinación lineal de v1 + v2 que estan siendo multiplicados por todas las combinaciones de escalares (a y b) en un rango (-10,10), estamos graficando muchos vectores (En este caso puntos) con su combinación lineal de cada vector.

Me gusta la pasion que transmite Sebastian .

Combinación lineal:
Consiste el la suma de dos vectores cada uno multiplicado por un escalar.
a * v1 + b * v2
Con los vectores correctos (no paralelos) podemos representar cualquier otro vector en el plano

¿Qué es una combinación líneal?
Es multiplicar a un vector por un escalar, a otro vector por otro escalar, y sumar el resultado de ambos para obtener un nuevo vector, una combinación lineal de ellos dos.

Añadan esto a su función graficarVectores:

plt.grid()
plt.gca().set_aspect("equal")

Apartir de las combinaciones lineales se crean los planos.

Buena clase 😄

Este vid me ayudo a comprender de mejor manera lo que el profesor esta haciendo!
https://www.youtube.com/watch?v=kjBOesZCoqc&ab_channel=3Blue1Brown

Me funciona asi:
%run “funciones_auxiliares/graficarVectores.ipynb”

La definición formal de una combinación lineal es la siguiente:
Dados los vectores 𝑣1,𝑣2,…,𝑣𝑝
en 𝑅𝑛 y dados los escalares 𝑐1,𝑐2,…,𝑐𝑝, el vector y definido por
𝑦=𝑐1𝑣1+…+𝑐𝑝𝑣𝑝.
Algo muy interesante es que podemos generalizarlo a diferentes dimensiones, y tal como dice el profesor, con las combinaciones lineales de dos vectores correctos podemos crear todo el plano $R^2$, o incluso todo el espacio $R^3$ con 3 vectores.

Muy bueno saber todas las posibles combinaciones lineales de dos vectores.

Es como la suma de paralelogramo en Fisica Mecanica.

hola en la clase el profe hablo que en la combinación lineal básicamente se ponen vectores uno detras de otro

y como se ve en la imagen eso es lo que estamos haciendo y el coeficiente del v1 lo que hace es duplicarlo porque básicamente estamos sumando el v1 + v1 + v2

espero que le halla ayudado 😁🎈

tecla " \ " => Alt + 9 + 2

Cuando se puede describir un espacio entero con solo algunos vectores se dice que esos vectores son una base de ese espacio

Cabe mencionar que los vectores v1=(2,5) y v2=(3,2) como señala el profesor en el minuto 8:10 la combinación lineal de ambos describen todo el espacio R2, y esos “vectores correctos” son en realidad VECTORES LINEALMENTE INDEPENDIENTES ( osea no existe un escalar tal que multiplicado por v1 pueda construir v2 y viceversa)

En linux:

%run "funciones_auxiliares/graficarVectores.ipynb"

Tambien espacios vectoriales.

La definición formal de una combinación lineal es la siguiente:
Dados los vectores 𝑣1,𝑣2,…,𝑣𝑝
en 𝑅𝑛 y dados los escalares 𝑐1,𝑐2,…,𝑐𝑝, el vector y definido por

𝑦=𝑐1𝑣1+…+𝑐𝑝𝑣𝑝.

Algo muy interesante es que podemos generalizarlo a diferentes dimensiones, y tal como dice el profesor, con las combinaciones lineales de dos vectores correctos podemos crear todo el plano (R^2), o incluso todo el espacio (R^3) con 3 vectores.

realmente disfruto de las clases

Tengo una pequeña duda si me pueden dar una mano. Ya lo intenté de varias maneras, pero no me logra cargar el archivo llamado, algún tip para hacerlo? les agradezco!

Acá un vídeo muy bueno donde explican las combinaciones lineales

La pasión con la termina diciendo “…con los vectores correctos. Nos permiten describir un espacio entero” es atrapante. Me encantaba Algebra cuando la curse en la universidad.