Conceptos básicos de álgebra lineal y configuración del entorno de trabajo

1

Presentación del curso y la necesidad del Álgebra Lineal

2

Anaconda + Python, Creación de un entorno y actualización de paquetes

3

Uso de Jupyter Notebook

4

Creando las bases, escalares, vectores y matrices. ¿Qué es un tensor? ¿Cómo se representa?

Realiza operaciones básicas

5

Dimensión de un escalar, vector, matriz o tensor

6

Transposición, suma de matrices y escalares

7

Suma de matrices y vectores (broadcasting)

Operaciones con matrices

8

Producto interno entre una matriz y un vector

9

Producto interno entre dos matrices

10

Propiedades de las matrices: la multiplicación de matrices es asociativa y distributiva, no es conmutativa

11

Transposición de un producto de matrices

12

Cómo comprobar la solución de un sistema de ecuaciones lineal

13

Tipos especiales de matrices: Identidad, Inversa, Singulares

14

Aplicación de la inversa de una matriz para resolver un sistema de ecuaciones lineales

Sistema de ecuaciones lineales

15

Ejemplos de sistemas sin solución, con una solución y con infinitas soluciones

16

Graficar vectores

17

¿Qué es una combinación líneal?

18

¿Qué es un espacio y un subespacio?

19

Vectores linealmente independientes

20

Validar que una matriz tenga inversa

Normas

21

Qué es una norma y para qué se usa. Desigualdad Triangular

22

Tipos de normas: norma 0, norma 1, norma 2, norma infinito y norma L2 al cuadrado

23

El producto interno como función de una norma y su visualización

Matrices y vectores especiales

24

La matriz diagonal y la matriz simétrica: sus propiedades

25

Vectores ortogonales, matrices ortogonales y sus propiedades

26

Matrices ortogonales y sus propiedades

Otras funciones de álgebra lineal

27

El determinante y la traza

28

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Vectores linealmente independientes

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Creo que todo esta teoría esta knockeando a todo el que no tenga bases matemáticas fuertes. Lo único que puedo hacer es recomendar nuevamente el libro de bernard Kolman o Gilbert strang.Suerte con eso muchachos.

Una forma gráfica de ver los vectores linealmente dependientes e independientes:

  • u esta en el mismo plano que p1 y p2, por lo que u seria el resultado de una combinacion lineal de p1 y p2.
  • v no se encuentra en el mismo plano que p1 y p2, por lo que v no puede escribirse como una combinacion lineal de p1 y p2.

El que necesite un libro, busque el de “Algebra Lineal de Grossman”

un poco de teoria de independecia y dependecia de vectores Vectores li y Id

Hola amixes, estoy llevando los ejercicios del curso en Google Colab , solo que me ha sido imposible implementar las plots como notebook, he utilizado siempre

%matplotlib inline

en lugar de:

%matplotlib notebook

¿Alguno de ustedes sabe como implementarlo de manera correcta en Colab?

  • Un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos se puede escribir como combinación lineal de los otros vectores.

  • Usar dos vectores al mismo timpo no nos aporta información, y no aporta una nueva dimensión.

Hola compañeros, aquí les dejo una explicación por parte mía como complemento sobre lo visto en esta clase 😄
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vectores linealmente independiente

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Ejemplo de 2 vectores linealmente dependientes

supongamos el vector i = [1, 0] y j = [0, 1]
si tenemos al vector A = [2, -3], lo podemos escribir como
A = (2) [1, 0] + (-3) [0, 1], por lo que podemos sobre escribir a A como A = 2i -3j. entonces podemos decir que A es combinación lineal de i y j dado que los coeficientes de i y j son ambos diferentes de cero.

un resumen de la clase:

los vectores son linealmente independientes, si ninguno puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes, como vimos que fue con el ejercicio de la clase

Lo que quiere decir es que básicamente se tiene una función y dos incógnitas, así no es posible resolver el sistema porque no hay suficiente información, se requieren dos funciones que se intercepten para obtener una solución.

Generando R^3:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

%matplotlib notebook

v1 = np.array([1,0,0])
v2 = np.array([0,1,0])
v3 = np.array([0,0,1])

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

for a in range(-10,10):
    for b in range(-10,10):
        for c in range(-10,10):
            ax.scatter(v1[0]*a + v2[0]*b + v3[0]*c, v1[1]*a + v2[1]*b + v3[1]*c, v1[2]*a + v2[2]*b + v3[2]*c,
                       marker= '.', color='purple')

ax.set_xlabel('Eje X')
ax.set_ylabel('Eje Y')
ax.set_zlabel('Eje Z')

plt.show()

SI la combinación lineal de los vectores es igual a cero, entonces es lineal mente independiente:
c1v1 + c2v2 + … + cn*vn = 0

Para que entiendan completamente este curso, les sugiero grandemente ver este curso de algebra lineal en Youtube: esencia del algebra lineal
Les aseguro que les servirá!

Vectores linealmente independientes
Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.

Podemos saber si dos o mas vectores son linealmente indpendientes al calcular el determinante de la matriz compuesta por dichos vectores. Si este es = 0, entonces los vectores son linealmente dependientes, sino son linealmente independientes

Creo que en esta clase era más práctico empezar con dos ecuaciones que estén relacionadas a simple vista, con coeficientes enteros, y luego traducirlo a matrices. Confunde innecesariamente.

Podemos ver a la matriz A como un generador de espacios mediante la combinación lineal de sus vectores columna. Este subespacio abarca todos los puntos (soluciones) que se pueden generar con esta matriz.
Si la matriz genera todo el espacio en el que estamos trabajando podremos obtener una solución única al sistema de ecuaciones (matriz cuadrada de vectores independientes).

No hay solución para b= (-10, 10) con A= (V1, V2), ya que V1 y V2 son linealmente dependientes ya que V1 es múltiplo de V2, por lo tanto, A es una matriz, pero es un subespacio de R2 (es R1). El vector b vive completamente afuera del subespacio generado por la matriz A.

Me gusto verlo con python, aunque tenia claro los conceptos verlos de manera grafica los afianza aun mas

Entonces graficamente, un sistema de ecuaciones lineales lo podemos representar con un conjunto de vectores, dichos vectores forman un espacio vectorial, y la solución a el sistema de ecuaciones debe ser tambien un vector que viva dentro de el espacio vectorial mensionado.

Tampoco hay que asustarse. Para un v1 de cualquier cantidad de dimensiones un v2 es linealmente dependiente si y solo si existe un escalar a que hace que v1 * a = v2

Un vector es linealmente independiente si no se puede escribir como combinación lineal de otros vectores.

Una forma de determinar si dos vectores de dimensión dos son linealmente independientes es ubicándolos de manera matricial, y calcular su determinante, si su determinante es cero, entonces son linealmente dependientes, en caso contrario, son linealmente independientes.

*Aplica para vectores n de dimensión n.

Tengo una pregunta que ojalá alguien me pueda resolver:

Para poder expresar una combinación lineal como un sistema de ecuaciones lineales, los vectores generadores dentro de la matriz son los vectores columna, no los vectores fila, ¿cuerto? de otra manera al hacer la multiplicación de la matriz con el vector de la incógnita [x,y] que en realidad son los escalares que nos llevarían a ese punto determinado, no cumpliria la forma v1a + v2 b

Buena explicación.

Son linealmente dependientes

Definición

Ya tengo vistos estos temas, y recuerdo que al principio fueron algo duros. 😦

resumen patatero, un vector es lineal mente dependiente (LD) cuando se puede se puede escribir como combinación lineal de otros.
para ser claros , pensemos que A , B, C son vectores y a,b,c escalares
entonces estos vectores serán LD si
A = Bb + Cc

dicho de manera simple si existen dos vectores que sumados den el otro vector , entonces son lineal mente dependientes

Sin entrar en controversia, es un tema muy interesante.