Qué es una norma y para qué se usa. Desigualdad Triangular

recomiendo mucho esta serie de vídeos para entender el algebra lineal, incluso si saben hacer las operaciones (tanto en python como a mano) aquí explican como visualizar de manera geometrica muchos de los conceptos del algebra lineal.
https://www.youtube.com/watch?v=0Ndnzx6AyaA&list=PLIb_io8a5NB2DddFf-PwvZDCOUNT1GZoA

Alto ahi, recuerda tomar agua 💧

• La norma es el tamaño de un vector, siempre es mayor o igual a 0
• La norma de un vector es 0 si y solo si el vector es 0
• Desigualdad triangular: La suma de dos vectores V1 y V2 nos da un vector V3. La norma del vector es menor o igual a la suma de las normas de V1 y V2.
• La norma de un escalar por el vector es el valor absoluto del escalar (no importa el signo) por la norma del vector original

Norma:
Es un número asociado al vector, podemos verlo como su longitud. Cumple las siguientes propiedades.

• norma(v) >=0
• norma(v) = 0 → v = 0
• v1 + v2 = v3 → norma(v1) + norma(v2) >= norma(v3)
• norma(av) = a norma(v)

aquí les dejo la fórmula matemaica para calcular la norma, (o la distancia de 2 puntos en un plano cartesiano), como nuestros vectores parten de (0, 0) en este caso X1 & Y1 son iguales a 0

No se mencionó, pero la norma se usa mucho en muchas áreas si, pero siempre se tienen a manejar vectores “unitarios”.Esos vectores se obtienen dividiendo un vector entre su norma.

Basicamente la norma es la hipotenusa del triangulo dibujado por los catetos de las coordenadas, y siempre es igual o mayor a cero

No entiendo como es que esta parte del codigo le construye un poligono cerrado si el punto de origen de la flecha naranja esta indicada pero su final esta indicado en (3,5)

plt.quiver([v1[0], v1_aux[0], v1v2[0] ],
           [v1[1], v1_aux[1], v1v2[1] ],
           [v1[2], v1_aux[2], v1v2[2] ],
           [v1[3], v1_aux[3], v1v2[3] ],
          angles = 'xy' , scale_units = 'xy', scale = 1,
          color = sns.color_palette() 
          )

muy interesante la interpretación de la desigualdad triangular, siempre la pensé simplemente como la de los catetos, no me di cuenta de lo del camino más corto entre dos puntos incluso cuando hice la demostración del teorema.

Nota.
norma(v1 + v2) <= norma(v1) + norma(v2)

A lo último pensé que se iba despedir a lo vulcano he iba a decir “Larga vida y prosperidad” 🖖🏼

aca un video de como calcular la norma o magnitud de un vector de forma grafica y arrastrando el lapiz

https://www.youtube.com/watch?v=OQ0mmEVw4hI

Les recomiendo el curso de introducción al algebra lineal: vectores que tiene Platzi:

Ahí se profundiza en todas estas tematicas de una forma aplicada.

https://platzi.com/clases/intro-algebra/

• En el sentido aplicativo, la norma es útil en ML porque saber el tamaño del vector puede ayudar a calcular el error que se comete en las aproximaciones o clasificaciones.

La norma de un vector es como su módulo?

IGUALDAD TRIANGULAR: Cuando V1 y V2 son vectores COLINEALES (uno es múltiplo del otro).

• En matemáticas, una norma es una función que asigna un valor no negativo a un vector, representando su “longitud” o “tamaño”. Las normas se utilizan para medir la magnitud de un vector y se aplican en varios contextos, como el análisis numérico, el álgebra lineal y la optimización.

Otras propiedades que debe cumplir la Norma:

No negatividad:

• La norma de un vector es siempre no negativa, es decir, la norma de un vector es mayor o igual a cero.

Definición positiva:

• La norma de un vector es cero si y solo si el vector es el vector cero.

Homogeneidad:

• La norma de un vector multiplicado por un escalar es igual al valor absoluto del escalar multiplicado por la norma del vector.

Desigualdad triangular:

• La norma de la suma de dos vectores es siempre menor o igual que la suma de las normas individuales de los vectores.

La desigualdad triangular es una propiedad importante de las normas y establece que la longitud del lado más corto de un triángulo es siempre menor o igual que la suma de las longitudes de los otros dos lados. Esta propiedad se aplica también a las normas de vectores.

Podemos considerar la norma de un vector como la longitud del vector en sí:

Si te das cuenta, se parece al Teorema de Pitágoras:

execelente

Que es la norma? E un operador que determina la longitud o la magnitud de un vector en un espacio vectorial.

norma_v1v2 <= (norma_v1 + norma_v2)
esta propiedad se cumple porque se llega al punto mas cercano a través de una recta
entonces la magnitud/longitud del vector resultante es menor que sumar por aparte las magnitudes de cada vector.

Que buena clase!

Código usando la función antes creada:

graficarVectores([v1,v1v2], sns.color_palette())
plt.xlim(-0.5,6)
plt.ylim(-0.5,15)
plt.quiver(v1_aux[0],v1_aux[1],v1_aux[2],v1_aux[3], angles="xy",scale_units="xy", scale=1, color= "green")
plt.show()

• FUNCIÓN NORMA
  La norma lo que hace es recibir de entrada un vector y a ese vector asociarle un número, un número que no puedo ser negativo, osea puede ser 0 o más grande que 0.
  veamos algunas de las propiedades de la norma:

1. norma de un vector v - norma(v). Como dijimos tiene que ser mayor o igual a 0.
2. norma de v es 0 si y solo si v es 0 - norma(v) = 0 <=> v = 0.
3. desigualdad triangular.
4. que la norma de un escalar por un vector es igual al valor absoluto por la norma del vector original - norma(av) = abs(a) * normal(v)

Aveces aportar estos easter eggs de numpy es divertido. Sin embargo se agradecería cualquier razón que cualquiera quiera aportar a este misterio.

Absolutamente magistral la forma en que explica WOW

para graficar un vector con quiver, primero se coloca el origen “x=v[0], y=v[1]” y luego el desplazamiento vectorial a partir del origen dado “var_x=v[2], var_y=v[3]”

La norma de un vector solo es 0 cuando el vector es 0

La norma del vector resultante siempre menor o igual que la suma de las normas de los otros vectores, nunca mayor

La norma de un vector siempre es mayor o igual que cero, nunca menor