Qué es una norma y para qué se usa. Desigualdad Triangular

Alto ahi, recuerda tomar agua 💧

• La norma es el tamaño de un vector, siempre es mayor o igual a 0
• La norma de un vector es 0 si y solo si el vector es 0
• Desigualdad triangular: La suma de dos vectores V1 y V2 nos da un vector V3. La norma del vector es menor o igual a la suma de las normas de V1 y V2.
• La norma de un escalar por el vector es el valor absoluto del escalar (no importa el signo) por la norma del vector original

Norma:
Es un número asociado al vector, podemos verlo como su longitud. Cumple las siguientes propiedades.

• norma(v) >=0
• norma(v) = 0 → v = 0
• v1 + v2 = v3 → norma(v1) + norma(v2) >= norma(v3)
• norma(av) = a norma(v)

aquí les dejo la fórmula matemaica para calcular la norma, (o la distancia de 2 puntos en un plano cartesiano), como nuestros vectores parten de (0, 0) en este caso X1 & Y1 son iguales a 0

No se mencionó, pero la norma se usa mucho en muchas áreas si, pero siempre se tienen a manejar vectores “unitarios”.Esos vectores se obtienen dividiendo un vector entre su norma.

Basicamente la norma es la hipotenusa del triangulo dibujado por los catetos de las coordenadas, y siempre es igual o mayor a cero

No entiendo como es que esta parte del codigo le construye un poligono cerrado si el punto de origen de la flecha naranja esta indicada pero su final esta indicado en (3,5)

plt.quiver([v1[0], v1_aux[0], v1v2[0] ],
           [v1[1], v1_aux[1], v1v2[1] ],
           [v1[2], v1_aux[2], v1v2[2] ],
           [v1[3], v1_aux[3], v1v2[3] ],
          angles = 'xy' , scale_units = 'xy', scale = 1,
          color = sns.color_palette() 
          )

muy interesante la interpretación de la desigualdad triangular, siempre la pensé simplemente como la de los catetos, no me di cuenta de lo del camino más corto entre dos puntos incluso cuando hice la demostración del teorema.

Nota.
norma(v1 + v2) <= norma(v1) + norma(v2)

• En matemáticas, una norma es una función que asigna un valor no negativo a un vector, representando su “longitud” o “tamaño”. Las normas se utilizan para medir la magnitud de un vector y se aplican en varios contextos, como el análisis numérico, el álgebra lineal y la optimización.

Otras propiedades que debe cumplir la Norma:

No negatividad:

• La norma de un vector es siempre no negativa, es decir, la norma de un vector es mayor o igual a cero.

Definición positiva:

• La norma de un vector es cero si y solo si el vector es el vector cero.

Homogeneidad:

• La norma de un vector multiplicado por un escalar es igual al valor absoluto del escalar multiplicado por la norma del vector.

Desigualdad triangular:

• La norma de la suma de dos vectores es siempre menor o igual que la suma de las normas individuales de los vectores.

La desigualdad triangular es una propiedad importante de las normas y establece que la longitud del lado más corto de un triángulo es siempre menor o igual que la suma de las longitudes de los otros dos lados. Esta propiedad se aplica también a las normas de vectores.

• En el sentido aplicativo, la norma es útil en ML porque saber el tamaño del vector puede ayudar a calcular el error que se comete en las aproximaciones o clasificaciones.

Les recomiendo el curso de introducción al algebra lineal: vectores que tiene Platzi:

Ahí se profundiza en todas estas tematicas de una forma aplicada.

https://platzi.com/clases/intro-algebra/

A lo último pensé que se iba despedir a lo vulcano he iba a decir “Larga vida y prosperidad” 🖖🏼

aca un video de como calcular la norma o magnitud de un vector de forma grafica y arrastrando el lapiz

https://www.youtube.com/watch?v=OQ0mmEVw4hI

Podemos considerar la norma de un vector como la longitud del vector en sí:

Si te das cuenta, se parece al Teorema de Pitágoras:

La norma de un vector es como su módulo?

• FUNCIÓN NORMA
  La norma lo que hace es recibir de entrada un vector y a ese vector asociarle un número, un número que no puedo ser negativo, osea puede ser 0 o más grande que 0.
  veamos algunas de las propiedades de la norma:

1. norma de un vector v - norma(v). Como dijimos tiene que ser mayor o igual a 0.
2. norma de v es 0 si y solo si v es 0 - norma(v) = 0 <=> v = 0.
3. desigualdad triangular.
4. que la norma de un escalar por un vector es igual al valor absoluto por la norma del vector original - norma(av) = abs(a) * normal(v)

IGUALDAD TRIANGULAR: Cuando V1 y V2 son vectores COLINEALES (uno es múltiplo del otro).

execelente

Que es la norma? E un operador que determina la longitud o la magnitud de un vector en un espacio vectorial.

norma_v1v2 <= (norma_v1 + norma_v2)
esta propiedad se cumple porque se llega al punto mas cercano a través de una recta
entonces la magnitud/longitud del vector resultante es menor que sumar por aparte las magnitudes de cada vector.

Que buena clase!

Qué es una norma y para qué se usa. Desigualdad Triangular

A veces necesitamos medir el tamaño de un vector, para eso usamos una función llamada norma. Esta norma recibe como entrada un vector y le asigna un número real. ¿Por qué querríamos hacer esto? Por ejemplo, nos puede servir para verificar si cometemos errores al realizar aproximaciones o clasificaciones.

Veamos entonces estas propiedades:

• La norma de un vector debe ser mayor o igual a 0.
  • Norma(Vector) ≥ 0
• La norma de un vector es igual a 0 si y solo si el vector es el vector nulo.
  • Norma(Vector) = 0 ⇔ Vector = Vector Nulo
• Supongamos que tenemos dos vectores, y realizamos la suma de ambos, y calculamos su norma, que sería Norma(V3); esta norma es menor o igual que la suma de las normas de los vectores originales.
  • Norma(V3) ≤ Norma(V1) + Norma(V2)

Este último punto lo podemos interpretar como que la distancia más corta entre dos puntos siempre será una línea recta, y cualquier otro camino será más largo.

• La norma de un escalar multiplicado por un vector es igual al valor absoluto del escalar multiplicado por la norma del vector original (desigualdad triangular).
  • Norma(a * V) = |a| * Norma(V)

Ahora, definamos nuestros vectores en Python:

%matplotlib inline
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# importamos librería extra para ver paleta de colores
import seaborn as sns

# definimos vectores
v1 = np.array([2,7])
v2 = np.array([3,5])

# calculamos la suma de estos vectores
v1v2 = v1 + v2

Para calcular la forma usamos la función de numpy "**np.linalg.norm()**”.

np.linalg.norm(v1v2) # Output = 13.0

Bien, ahora veamos un ejemplo de algunas de estas propiedades:

La norma de **(v1+v2)** es ≤ a la **norma(v1)** + **norma(v2)**:

norma_v1 = np.linalg.norm(v1) # Output = 13.0
norma_v2 = np.linalg.norm(v2) # Output = 13.0
norma_v1v2 = np.linalg.norm(v1v2) # Output = 13.0

# norma(v1) + norma(v2)
print(norma_v1 + norma_v2) # Output = 13.11106178412582

# norma(v1v2)
print(norma_v1v2) # Output = 13.0

# norma(v1v2) <= norma(v1) + norma(v2)
print(norma_v1v2 <= (norma_v1 + norma_v2)) # Output = True

De hecho, el único caso en el que ocurre que norma(v1v2) <= **norma(v1)** + **norma(v2)** es igual a la suma de estos es cuando los 3 vectores están uno sobre el otro. Es el único caso en el cual nuestro vector resultante es igual a la suma de todos ellos.

v1 = np.array([0,0,2,7])
v2 = np.array([0,0,3,5])

# definimos un vector auxiliar qu tenga:
v1_aux = np.array([v1[2], v1[3], v2[2], v2[3]])

v1v2 = np.array(v1 + v2) # = [0  0  5 12]

# grafiquemos este paso
plt.quiver(
  [v1[0], v1_aux[0], v1v2[0]],
  [v1[1], v1_aux[1], v1v2[1]],
  [v1[2], v1_aux[2], v1v2[2]],
  [v1[3], v1_aux[3], v1v2[3]],
  angles = 'xy', 
  scale_units = 'xy',
  scale = 1,
  color = sns.color_palette()
)

# definimos límites
plt.xlim(-0.5, 6)
plt.ylim(-0.5, 15)

Podemos observar en el gráfico que en este caso se cumple el hecho de que los vectores estén uno por encima del otro:

.

La verdad el concepto de norma fue confuso vi el video 10 veces y no la captaba así que busque la forma de dar con una definición nivel 0 para mi que espero les sea de utilidad:

una norma es una función que asigna a cada elemento de un espacio vectorial un número positivo ya que mide su tamaño o magnitud. la norma es una noción de lo que es el valor absoluto en lo numeros reales, el resultado de calcular la norma de un vector siempre será un valor igual o mayor a cero. Sin Embargo, deberá satisfacer ciertas propiedades: Positividad, homogeneidad absoluta, desigualdad triangular.

Código usando la función antes creada:

graficarVectores([v1,v1v2], sns.color_palette())
plt.xlim(-0.5,6)
plt.ylim(-0.5,15)
plt.quiver(v1_aux[0],v1_aux[1],v1_aux[2],v1_aux[3], angles="xy",scale_units="xy", scale=1, color= "green")
plt.show()

Aveces aportar estos easter eggs de numpy es divertido. Sin embargo se agradecería cualquier razón que cualquiera quiera aportar a este misterio.

Absolutamente magistral la forma en que explica WOW

para graficar un vector con quiver, primero se coloca el origen “x=v[0], y=v[1]” y luego el desplazamiento vectorial a partir del origen dado “var_x=v[2], var_y=v[3]”

La norma de un vector solo es 0 cuando el vector es 0

La norma del vector resultante siempre menor o igual que la suma de las normas de los otros vectores, nunca mayor

La norma de un vector siempre es mayor o igual que cero, nunca menor