Matrices ortogonales y sus propiedades

El profesor nunca menciona por que elige la matriz con seno y coseno. Resulta que esa matriz, se llama una “matriz de rotación”. La cual me permite rotar un vector 90 grados. Es por esta razón que es una matriz ortogonal.

Aqui les va un pequeño truco para hacer las aproximaciones a cero.

Se trata de definir un valor muy pequeño (épsilon) contra el que se comparan los elementos de la matriz y si son menores que él entonces ajustarlos a cero:

eps= 1e-17
A[np.abs(A) < eps] = 0

Matriz Ortogonal
Es la matriz cuyos vectores filas son ortonormales mutuamente (lo mismo con los vectores columnas)
Cumplen con la siguiente identidad:
A_tA = AA_t = I
A_t = inv(A)

Nota:
Cuidado con los errores que podemos propagar al operar con las aproximaciones que hace python

Una matriz es ortogonal cuando todas sus filas son mutuamente ortonormales y todas sus columnas son mutuamente ortonormales.
Así mismo, una matriz ortogonal es una matriz cuadrada cuya matriz inversa coincide con su matriz transpuesta.

Para los que estan haciendo el curso ahora(16/8/2020) no les va a dar el resultado de print(1/A_t.dot(A)) y

A_t = A.T
print(A_t.dot(A))
print(A.dot(A_t))```

como al profe ya que a traves del tiempo los lenguajes tienen actualizaciones y ahora el resultado de esos calculos es 0 e infinito ya que se entiende que el profesor no obtiene esos resultados por limitaciones de la computadora

Por si alguien al igual que yo, tiene la duda del uso de las “rebanadas” en python con matrices:

import numpy as np
matriz = np.array([[1, 0, 0],
                 [0, 1, 0],
                 [0, 0, 1]])


print(matriz[0,:]) #imprime la primera fila de la matriz
print(matriz[1,:]) #imprime la segunda fila de la matriz

print(matriz[:,0]) #imprime la primera columna de la matriz
print(matriz[:,1]) #imprime la segunda columna de la matriz

• Una matriz ortogonal debe cumplir: que todas sus filas sean ortogonales mutuamente, igual que sus columnas y ademas que sean ortonormales(Que sus normas sean igual a 1)

A mi me da lo que indica el profe.

Al multiplicara A.A_t obtuve esto :
[[1. 0.]
[0. 1.]]
[[1. 0.]
[0. 1.]]

Nota.
Propiedades de las matrices ortogonales:
(A)(A.T) = (A.T)(A) = matriz_identidad
A.T = A^-1

Que opinan del codigo que cree para verificar si una matriz es ortogonal?

def ortogonal(matriz):
    cero = True
    for i in range(3):
        for j in range(3):
            if i != j and i < j:
                punto = matriz[:,i].dot(matriz[:,j])
                if punto != 0:
                    cero = False
    return cero

matriz = np.eye(3)

print(matriz)

if ortogonal(matriz) and ortogonal(matriz.T):
    print('Matriz Ortogonal')
else:
    print('NO es Matriz Ortogonal')

Me sale difetente:

print(A[0,:].dot(A[1,:]))
print(A[:,0].dot(A[:,1]))

7.937715190675968e-18
-7.937715190675968e-18

Si, hay que tener cuidado con todo eso y aproximarlo a cero

• A.t.dot(A) == A.dot(A.T) == Identidad
• A.T == A^-1

Muchas gracias Johan, importante aporte.

me gusto esta clase