Conceptos b谩sicos de 谩lgebra lineal y configuraci贸n del entorno de trabajo

1

Presentaci贸n del curso y la necesidad del 脕lgebra Lineal

2

Anaconda + Python, Creaci贸n de un entorno y actualizaci贸n de paquetes

3

Uso de Jupyter Notebook

4

Creando las bases, escalares, vectores y matrices. 驴Qu茅 es un tensor? 驴C贸mo se representa?

Realiza operaciones b谩sicas

5

Dimensi贸n de un escalar, vector, matriz o tensor

6

Transposici贸n, suma de matrices y escalares

7

Suma de matrices y vectores (broadcasting)

Operaciones con matrices

8

Producto interno entre una matriz y un vector

9

Producto interno entre dos matrices

10

Propiedades de las matrices: la multiplicaci贸n de matrices es asociativa y distributiva, no es conmutativa

11

Transposici贸n de un producto de matrices

12

C贸mo comprobar la soluci贸n de un sistema de ecuaciones lineal

13

Tipos especiales de matrices: Identidad, Inversa, Singulares

14

Aplicaci贸n de la inversa de una matriz para resolver un sistema de ecuaciones lineales

Sistema de ecuaciones lineales

15

Ejemplos de sistemas sin soluci贸n, con una soluci贸n y con infinitas soluciones

16

Graficar vectores

17

驴Qu茅 es una combinaci贸n l铆neal?

18

驴Qu茅 es un espacio y un subespacio?

19

Vectores linealmente independientes

20

Validar que una matriz tenga inversa

Normas

21

Qu茅 es una norma y para qu茅 se usa. Desigualdad Triangular

22

Tipos de normas: norma 0, norma 1, norma 2, norma infinito y norma L2 al cuadrado

23

El producto interno como funci贸n de una norma y su visualizaci贸n

Matrices y vectores especiales

24

La matriz diagonal y la matriz sim茅trica: sus propiedades

25

Vectores ortogonales, matrices ortogonales y sus propiedades

26

Matrices ortogonales y sus propiedades

Otras funciones de 谩lgebra lineal

27

El determinante y la traza

28

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Matrices ortogonales y sus propiedades

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Recursos

Aportes 17

Preguntas 5

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El profesor nunca menciona por que elige la matriz con seno y coseno. Resulta que esa matriz, se llama una 鈥渕atriz de rotaci贸n鈥. La cual me permite rotar un vector 90 grados. Es por esta raz贸n que es una matriz ortogonal.

Aqui les va un peque帽o truco para hacer las aproximaciones a cero.

Se trata de definir un valor muy peque帽o (茅psilon) contra el que se comparan los elementos de la matriz y si son menores que 茅l entonces ajustarlos a cero:

eps= 1e-17
A[np.abs(A) < eps] = 0

Matriz Ortogonal
Es la matriz cuyos vectores filas son ortonormales mutuamente (lo mismo con los vectores columnas)
Cumplen con la siguiente identidad:
A_tA = AA_t = I
A_t = inv(A)

Nota:
Cuidado con los errores que podemos propagar al operar con las aproximaciones que hace python

Una matriz es ortogonal cuando todas sus filas son mutuamente ortonormales y todas sus columnas son mutuamente ortonormales.
As铆 mismo, una matriz ortogonal es una matriz cuadrada cuya matriz inversa coincide con su matriz transpuesta.

Para los que estan haciendo el curso ahora(16/8/2020) no les va a dar el resultado de print(1/A_t.dot(A)) y

A_t = A.T
print(A_t.dot(A))
print(A.dot(A_t))```

como al profe ya que a traves del tiempo los lenguajes tienen actualizaciones y ahora el resultado de esos calculos es 0 e infinito ya que se entiende que el profesor no obtiene esos resultados por limitaciones de la computadora

Por si alguien al igual que yo, tiene la duda del uso de las 鈥渞ebanadas鈥 en python con matrices:

import numpy as np
matriz = np.array([[1, 0, 0],
                 [0, 1, 0],
                 [0, 0, 1]])


print(matriz[0,:]) #imprime la primera fila de la matriz
print(matriz[1,:]) #imprime la segunda fila de la matriz

print(matriz[:,0]) #imprime la primera columna de la matriz
print(matriz[:,1]) #imprime la segunda columna de la matriz
  • Una matriz ortogonal debe cumplir: que todas sus filas sean ortogonales mutuamente, igual que sus columnas y ademas que sean ortonormales(Que sus normas sean igual a 1)





A mi me da lo que indica el profe.

Al multiplicara A.A_t obtuve esto :
[[1. 0.]
[0. 1.]]
[[1. 0.]
[0. 1.]]

Nota.
Propiedades de las matrices ortogonales:
(A)(A.T) = (A.T)(A) = matriz_identidad
A.T = A^-1

Que opinan del codigo que cree para verificar si una matriz es ortogonal?

def ortogonal(matriz):
    cero = True
    for i in range(3):
        for j in range(3):
            if i != j and i < j:
                punto = matriz[:,i].dot(matriz[:,j])
                if punto != 0:
                    cero = False
    return cero

matriz = np.eye(3)

print(matriz)

if ortogonal(matriz) and ortogonal(matriz.T):
    print('Matriz Ortogonal')
else:
    print('NO es Matriz Ortogonal')

Me sale difetente:


print(A[0,:].dot(A[1,:]))
print(A[:,0].dot(A[:,1]))

7.937715190675968e-18
-7.937715190675968e-18

Si, hay que tener cuidado con todo eso y aproximarlo a cero

  • A.t.dot(A) == A.dot(A.T) == Identidad
  • A.T == A^-1

Muchas gracias Johan, importante aporte.

me gusto esta clase