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Autovalores y Autovectores3/18

El tema de los autovalores y autovectores es mucho más extenso y complejo de lo que se muestra en este video, pues la obtención de los valores de forma matemática es compleja (si nunca has tenido una clase de algebra lineal).
Les recomiendo consultar videos o libros que expliquen el trasfondo matemático
Aquí algunos datos útiles:

  • Para conseguir los autovalores y autoverctores de la matriz A, esta debe ser cuadrada (ej: 2x2, 3x3, 9x9…)
  • La matriz A tendrá tantos autovalores como dimensión tenga A (ej: una Matriz de 3x3 tiene 3 autovalores, matriz de 2x2 tiene dos autovalores)
  • Los autovalores pueden repetirse
  • Estos autovalores son los que forman los autovectores
  • Los autovectores deben ser base, es decir, que desde esos autovectores se pueda generar todo el espacio o demás vectores
  • Aqui les dejo un Link de los usos de autovectores y valores en ingeniería

Según entendí (y si me equivoco por favor me corrigen), un autovalor es aquel número que al ser multiplicado por un vector no modifica al vector en su dirección (ángulo) pero sí puede hacerlo en su magnitud y sentido.

  • Un autovector es aquel que cuando le aplico una matriz me devuelve el vector con la misma dirección pero puede tener una amplitud distinta. Puede estar multiplicado por el autovalor.

Autovectores:
Son vectores cuya dirección no se modifica al aplicarle la trasformación de una matriz, el sentido y el tamaño sí puede variar. El valor que transforma el vector inicial en el vector final se llama autovalor.
Notas:

  • Sólo las matrices cuadradas tienen autovectores.
  • Hay tantos autovectores como la dimención de la matriz

para complementar un poco lo que se vio en clase consideremos la ecuación de los autovectores. En este sentido v será un autovector si:

A v = λ v

donde A es una matriz cuadrada y λ un autovalor. De esta forma vemos el soporte matemático de lo que se hizo en clase: al aplicar la matriz A al vector v, se obtuvo el mismo vector multiplicado por un escalar.

Un vector está compuesto por un módulo, dirección y sentido, un autovector obligatoriamente conservará su dirección, más no la magnitud y el sentido

Autovalores y Autovectores.

Las transformaciones lineales ejercen trasformaciones sobre nuestros vectores. Un auto vector es cuando a un vector le aplicamos la transformación no sufre ninguna transformación.

# Importamos las bibliotecas

%matplotlib inline

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Importamos nuestra función para graficar. 
%run ".\\Funciones auxiliares\graficarVectores.ipynb"

# Vamos a definir 2 colores
orange_light = '#FF9A13'
blue_light = '#1190FF'

# Definimos una matriz
X = np.array([[3, 2], [4, 1]])
print(X)

# Definimos un vector 
v = np.array([[1], [1]])
print(v)

'''Recordemos que lo que estamos queriendo ver es un vector que cuando lo apliquemos la matriz siga siendo el mismo
vector, incluso cuando este sea un multiplo del vector original '''

# A nuestro vector transformado lo llamaremos u 
# Para transformarlo le vamos a aplicar el producto interno al vector original 
u = X.dot(v)
print(u)

# Graficamos los vectores

graficarVectores([u.flatten(), v.flatten()], cols=[orange_light, blue_light])

plt.xlim(-1, 6)
plt.ylim(-1, 6)

# Lo que obtuvimos es nuestro vector original que se llama v con color azul que fue expandido al 
# aplicarle nuestra transformación x de color naranja 

# Lo que esta ocurriendo es que nuestro auto valor es 5 y si lo multiplicamos. Entonces, un auto vector 
# Es aquel que cuando de aplico una matriz me devuelve el mismo vector con la misma dirección, pero con una 
# Amplitud distinta. Ósea, puede estar multiplicado por el autovalor.

lambda_1 = 5
lambda_1 * v

# Este valor no es único, aquí vamos a definir otro y tendrá la misma propiedad.  

s = np.array([[-1], [2]])
print(s)

# Para transformarlo le vamos a aplicar el producto interno al vector original 
t = X.dot(s)
print(t)

graficarVectores([t.flatten(), s.flatten()], cols=[orange_light, blue_light])

plt.xlim(-3,3)
plt.ylim(-3,3)

# Veamos que la dirección se mantiene, aunque haya un cambio de sentido 

Conclusión: Una matriz de 2x2 tiene 2 auto vectores y 2 autovalores asociados.

Para que nos sirven los autovectores en Machine Learning? Cual es la aplicación practica o la razon del por que deberiamos saber esto. Espero puedan responderme esta duda!

Para aquellos aficionados a las matemáticos que gusten profundizar mas en el tema les dejo este blog, esta buenísimo

Sin duda un tema para más estudio. En este video explican detalladamente los autovalores y autovectores

la fórmula es:
A v = λ v
donde A es una matriz cuadrada, ya sea 2x2, 3x3, 4x4, etc.
De esa misma matriz A, por medio de operaciones matemáticas, se puede obtener sus Valores Propios (λ) y sus Vectores propios (v).
primero se calculan los valores propios. (los valores propios son escalares, osea son números).
a partir de los valores propios y otras operaciones matemáticas es como se puede obtener los vectores propios.

no entendi muy bien, el autovector mantiene a la matriz con el mismo sentido, pero si que la pueda achicar o agrandar, pero entonces que es el autovalor?




  • Una matriz de 2x2 tiene dos autovectores con dos autovalores asociados.

Es decir, el último ejemplo también fue un autovector?

.flatten() : Toma un vector y lo devuelve en una tira.

Este video muestra QUE son los autovalorees y autovectores graficamente.
https://www.youtube.com/watch?v=YtgU1ozMgS0

El tema de los autovalores y autovectores es mucho más extenso y complejo de lo que se muestra en este video, pues la obtención de los valores de forma matemática es compleja (si nunca has tenido una clase de algebra lineal).
Les recomiendo consultar videos o libros que expliquen el trasfondo matemático
Aquí algunos datos útiles:

  • Para conseguir los autovalores y autoverctores de la matriz A, esta debe ser cuadrada (ej: 2x2, 3x3, 9x9…)
  • La matriz A tendrá tantos autovalores como dimensión tenga A (ej: una Matriz de 3x3 tiene 3 autovalores, matriz de 2x2 tiene dos autovalores)
  • Los autovalores pueden repetirse
  • Estos autovalores son los que forman los autovectores
  • Los autovectores deben ser base, es decir, que desde esos autovectores se pueda generar todo el espacio o demás vectores
  • Aqui les dejo un Link de los usos de autovectores y valores en ingeniería

Según entendí (y si me equivoco por favor me corrigen), un autovalor es aquel número que al ser multiplicado por un vector no modifica al vector en su dirección (ángulo) pero sí puede hacerlo en su magnitud y sentido.

  • Un autovector es aquel que cuando le aplico una matriz me devuelve el vector con la misma dirección pero puede tener una amplitud distinta. Puede estar multiplicado por el autovalor.

Autovectores:
Son vectores cuya dirección no se modifica al aplicarle la trasformación de una matriz, el sentido y el tamaño sí puede variar. El valor que transforma el vector inicial en el vector final se llama autovalor.
Notas:

  • Sólo las matrices cuadradas tienen autovectores.
  • Hay tantos autovectores como la dimención de la matriz

para complementar un poco lo que se vio en clase consideremos la ecuación de los autovectores. En este sentido v será un autovector si:

A v = λ v

donde A es una matriz cuadrada y λ un autovalor. De esta forma vemos el soporte matemático de lo que se hizo en clase: al aplicar la matriz A al vector v, se obtuvo el mismo vector multiplicado por un escalar.

Un vector está compuesto por un módulo, dirección y sentido, un autovector obligatoriamente conservará su dirección, más no la magnitud y el sentido

Autovalores y Autovectores.

Las transformaciones lineales ejercen trasformaciones sobre nuestros vectores. Un auto vector es cuando a un vector le aplicamos la transformación no sufre ninguna transformación.

# Importamos las bibliotecas

%matplotlib inline

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Importamos nuestra función para graficar. 
%run ".\\Funciones auxiliares\graficarVectores.ipynb"

# Vamos a definir 2 colores
orange_light = '#FF9A13'
blue_light = '#1190FF'

# Definimos una matriz
X = np.array([[3, 2], [4, 1]])
print(X)

# Definimos un vector 
v = np.array([[1], [1]])
print(v)

'''Recordemos que lo que estamos queriendo ver es un vector que cuando lo apliquemos la matriz siga siendo el mismo
vector, incluso cuando este sea un multiplo del vector original '''

# A nuestro vector transformado lo llamaremos u 
# Para transformarlo le vamos a aplicar el producto interno al vector original 
u = X.dot(v)
print(u)

# Graficamos los vectores

graficarVectores([u.flatten(), v.flatten()], cols=[orange_light, blue_light])

plt.xlim(-1, 6)
plt.ylim(-1, 6)

# Lo que obtuvimos es nuestro vector original que se llama v con color azul que fue expandido al 
# aplicarle nuestra transformación x de color naranja 

# Lo que esta ocurriendo es que nuestro auto valor es 5 y si lo multiplicamos. Entonces, un auto vector 
# Es aquel que cuando de aplico una matriz me devuelve el mismo vector con la misma dirección, pero con una 
# Amplitud distinta. Ósea, puede estar multiplicado por el autovalor.

lambda_1 = 5
lambda_1 * v

# Este valor no es único, aquí vamos a definir otro y tendrá la misma propiedad.  

s = np.array([[-1], [2]])
print(s)

# Para transformarlo le vamos a aplicar el producto interno al vector original 
t = X.dot(s)
print(t)

graficarVectores([t.flatten(), s.flatten()], cols=[orange_light, blue_light])

plt.xlim(-3,3)
plt.ylim(-3,3)

# Veamos que la dirección se mantiene, aunque haya un cambio de sentido 

Conclusión: Una matriz de 2x2 tiene 2 auto vectores y 2 autovalores asociados.

Para que nos sirven los autovectores en Machine Learning? Cual es la aplicación practica o la razon del por que deberiamos saber esto. Espero puedan responderme esta duda!

Para aquellos aficionados a las matemáticos que gusten profundizar mas en el tema les dejo este blog, esta buenísimo

Sin duda un tema para más estudio. En este video explican detalladamente los autovalores y autovectores

la fórmula es:
A v = λ v
donde A es una matriz cuadrada, ya sea 2x2, 3x3, 4x4, etc.
De esa misma matriz A, por medio de operaciones matemáticas, se puede obtener sus Valores Propios (λ) y sus Vectores propios (v).
primero se calculan los valores propios. (los valores propios son escalares, osea son números).
a partir de los valores propios y otras operaciones matemáticas es como se puede obtener los vectores propios.

no entendi muy bien, el autovector mantiene a la matriz con el mismo sentido, pero si que la pueda achicar o agrandar, pero entonces que es el autovalor?




  • Una matriz de 2x2 tiene dos autovectores con dos autovalores asociados.

Es decir, el último ejemplo también fue un autovector?

.flatten() : Toma un vector y lo devuelve en una tira.

Este video muestra QUE son los autovalorees y autovectores graficamente.
https://www.youtube.com/watch?v=YtgU1ozMgS0