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Descomposici贸n de matrices

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  • Descomponer una matriz: Quiere decir encontrar dos o m谩s matrices que me ayuden a escribir la matriz original y que tengan ciertas propiedades.
    Una matriz A la podemos escribir como: sus autovectores producto punto una matriz diagonal, donde la matriz diagonal tiene todos los autovalores encontrados, producto punto la matriz inversa de sus autovectores.
  • A_calc = autovectores.dot(np.diag(autovalores)).dot(np.linalg.inv(autovectores))
  • Descomposici贸n 2: Restricciones:Nuestra Matriz A sea real y sim茅trica (A = A-transpuesta). Decimos que A = la matriz de autovectores producto punto la matriz diagonal con los autovalores, producto punto la transpuesta de la matriz de autovectores. NOTA: Calcular la transpuesta de una matriz es mucho m谩s econ贸mico en c贸mputo que calcular la inversa de una matriz. Y hay que recordar que el c贸mputo cuesta dinero.
  • A_calc = autovectores.dot(np.diag(autovalores)).dot(autovectores.T)

Exijo el bot贸n de like para estos videos!!! 馃槃

Descomposici贸n de matrices
Consiste en reescribir una matriz cuadrada X como un producto de A x B x C, es decir X = AxBxC, donde:

  • A: es la matriz formada por los autovectores
  • B: matriz diagonal formada por los autovalores
  • C: matriz inversa de A.

Nota: En matrices reales y sim茅tricas, C = A.T (matriz traspuesta de los autovectores). Esta propiedad tiene menor costo computacional.

Recordatorio: Una matriz cuadrada es aquella que tiene igual n煤mero de filas y columnas, y cuyos vectores que la componen son linealmente independientes.

falt贸 hacer la claridad: la matriz de autovectores que devuelve eig es una matriz ortonormal, por eso cumple la propiedad que utiliza en el minuto 7

Dejo mis apuntes del curso anterior como referencia, despues los de este curso
https://github.com/rb-one/curso_fundamentos_algebra_lineal/blob/master/Notes/notes.md

Descomposici贸n de matrices

# Importamos Numpy

import numpy as np

# Creamos una matriz

A = np.array([[3, 2], [4, 1]])
print(A)

# Calculamos los autovalores y los autovectores

autovalores , autovectores = np.linalg.eig(A)

# Mostramos los autovectores y los autovalores 

print(autovalores)
print(autovectores)

A_calc = autovectores.dot(np.diag(autovalores)).dot(np.linalg.inv(autovectores))

# Imprimimos la A_calc

print(A_calc)

# Creamos y mostramos la matriz

A = np.array([[3,2], [2,3]])
print(A)

# Demostramos que esta matriz es sim茅trica, ya que coincide con su traspuesta

print(A == A.T)

# Calculamos de nuevo los autovalores y los autovectores

autovalores , autovectores = np.linalg.eig(A)
print(autovalores)
print(autovectores)

# Lo que estamos obteniendo es que los autovalores son el 5 y el 1 y nuestra matriz es la que tiene esos valores 

# Podemos reescribirla usando 
# Una matriz sim茅trica es igual a su traspuesta, pero ademas si esto ocurre podremos escribir la descomposici贸n como nuestra 
# matriz a es igual a los autovectores por la diagonal de las lambdas por la traspuesta de los autovectores

A_calc = autovectores.dot(np.diag(autovalores)).dot(autovectores.T)
print(A_calc)

# Entonces, calcular una traspuesta es muchismo m谩s economico que calcular una inversa, entonces nuestro casi ideal es que 
# en vez de tener una matriz cualquiera estuvimos una matriz real sim茅trica, sin tener que realizar la inversa 

Convulsi贸n: Podemos escribir a nuestra matriz cuando es cuadrada en funci贸n de los autovalores y autovectores, y en el caso de que sea sim茅trica podemos usar la traspuesta en lugar de la inversa.

Descomposici贸n de Matrices Cuadradas
Podemos descomponer una matriz cuadrada en el producto de otras dos: la matriz de autovectores y la matriz diagonal de autovalores:
M = autovectores * diag(autovalores) * inv_autovectores





Una manera de imprimir los autovalores y autovectores para que sea m谩s entendible es:

print(*zip(eigenvalues, eigenvectors.T))

Fun fact:
Cuando se representa un grafo no dirigido en una matriz de adyacencia, se obtiene una matrix cuadrada sim茅trica.

Este es igual a la diagonalizaci贸n de Matrices visto en el curso anterior de Algebra Lineal. $$A = P \cdot D \cdot P^{-1}$$

La descomposici贸n de matrices basada en sus autovalores y autovectores se conoce como 鈥渄escomposici贸n espectral鈥 o 鈥渇actorizaci贸n espectral鈥. Esta descomposici贸n es fundamental en el 谩lgebra lineal y tiene importantes aplicaciones en diversas 谩reas, como la diagonalizaci贸n de matrices, an谩lisis de sistemas din谩micos, procesamiento de se帽ales y reducci贸n de dimensionalidad.

En mi carrera en ingenier铆a mec谩nica, se podr铆a decir que en casi todos los problemas a resolver se presentaban situaciones donde la matriz resultante era sim茅trica. Para resolverla y tomar el menor tiempo computacional posible utiliz谩bamos la descomposici贸n de Cholesky.

Un genio el profe !!

La descomposici贸n de matrices es una t茅cnica utilizada en 谩lgebra lineal para expresar una matriz como una combinaci贸n de matrices m谩s simples o estructuradas.

  • Descomposici贸n LU
  • Descomposici贸n de Cholesky
  • Descomposici贸n de valores singulares (SVD)
  • Descomposici贸n QR
    Estas son solo algunas de las descomposiciones de matrices m谩s utilizadas
import numpy as np

# Definir una matriz
A = np.array([[1, 2, 3],
              [4, 5, 6],
              [7, 8, 9]])

# Calcular la descomposici贸n SVD
U, S, V = np.linalg.svd(A)

# Imprimir las matrices U, S y V
print("Matriz U:")
print(U)
print("Matriz S:")
print(np.diag(S))
print("Matriz V:")
print(V)

Este curso esta genial hasta ahora鈥!!!

comparto mis apuntes:

No toda matriz cuadrada se puede descomponer en autovectores y autovalores en el campo de los R (reales), un ejemplo es una matriz que transforme el espacio rotando 90掳 antihorario [[0,-1],[1,0]], como el espacio rota, no hay vector que mantenga su inclinaci贸n y 鈥渘o hay鈥 vectores propios.
.
Sin embargo tiene soluciones imaginarias, como se ve ejecutando c贸digo:
.

wowowoow meses de leer sobre esto y hasta por fin entend铆 estas propiedades gracias profeeee

Hola. Este caso que comenta el profesor es un caso particular de un proceso al que se le conoce como 鈥渃ambiar de base鈥 o 鈥渆xpresar a la matr铆z en otra base鈥. Esas matrices de eigenvectores se conocen como la 鈥渕atriz de cambio de base鈥 y en este caso se trata de la matr铆z de cambio de base a la base que diagonaliza la matr铆z, justamente la base de eigenvectores. El tema es denso pero muy divertido. Los invito a profundizar en el tema en el cap铆tulo 2 y 5 del siguiente libro

A = EigenVects 路 diag(EigenValues) 路 EigenVects鈦宦

A = V 路 Lambda 路 V鈦宦