Descomposición SVD: Transformaciones de Matrices y Círculo Unitario

¿Cómo funciona la descomposición de matrices en transformaciones?

La descomposición de matrices es una herramienta poderosa que nos permite entender cómo una matriz original se transforma a través de distintas operaciones. En este caso, nos enfocaremos en la descomposición en valores singulares (SVD, por sus siglas en inglés) y cómo se refleja en transformaciones concretas. La representación de una matriz mediante SVD nos retorna tres matrices y podemos aplicar cada transformación paso a paso.

¿Qué es la transformación inicial de rotación por la matriz B?

La primera transformación que aplicamos a nuestra matriz se asocia con una rotación y es efectuada por la matriz B. Imaginemos que iniciamos con un círculo unitario para visualizarlo mejor. Esto representa un punto de partida básico y simétrico que al aplicar B, produce una rotación del espacio.

Al hacer esta rotación:

• El vector en el eje Y gira.
• El vector en el eje X también gira.

Podemos calcular el ángulo de rotación utilizando conceptos como el producto interno y la norma. Esta rotación nos ayuda a comprender cómo B reorienta nuestro espacio en la dimensión que estamos analizando.

¿Qué efecto tiene la matriz diagonal D en la transformación?

La siguiente transformación que debemos considerar es la producida por la matriz diagonal D. Este paso se conoce como "escalado", y se encarga de amplificar o reducir nuestro espacio de trabajo según las dimensiones:

1. Amplificación o reducción diferencial: D ajusta la escala de nuestro sistema, pero no de manera uniforme en todas las direcciones.

Por ejemplo:

• En la dirección del eje Y, puede que se amplifique más que en la dirección del eje X, o viceversa.

Para graficar y observar estos cambios, ajustamos el área de visualización y analizamos cómo cada vector es alargado o acortado de acuerdo con los valores de D.

¿Cómo finaliza el proceso de transformación con una segunda rotación?

La transformación final la realiza la segunda matriz de rotación, U. Este paso acaba de rotar el espacio después del escalado y nos devuelve un estado transformado que es fiel a la matriz original:

• Rotación final: U se aplica al espacio ya ajustado, recolocando los vectores posiblemente al lado positivo (o negativo) del eje X o Y.

Analísticamente se puede comprobar que, al finalizar el proceso, el resultado de las transformaciones con A (la matriz original) coincide con las transformaciones sucedidas por SVD. Cada parte de la descomposición actúa en armonía para que, al final, el efecto total de la matriz A se vea reflejado en los cambios integrados por sus componentes singulares.

Al estudiar el SVD, nos damos cuenta de cuánto podemos aprender de una matriz sencilla. Esto no solo nos proporciona mayor comprensión de la matemática detrás de las transformaciones lineales, sino que también nos dota de herramientas para realizar cálculos geométricos complejos, maximizando nuestras capacidades en programación y análisis de datos.