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Aplicación de las matrices D y V y U y su efecto en la transformación

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  • La matriz V rota el espacio
  • La matriz D escala el espacio.
  • La matriz U rota de nuevo el espacio.
  • La transformación del espacio de una matriz A es igual a la transformación de las matrices SVD (Valores singulares)

Efecto de la descomposición de una matriz en vectores singulares:
V → rota el espacio
D → Escala el espacio (agranda o encoje los vectores, también puede cambiar su sentido)
U → rota nuevamente los vectores

Nota:
La descomposición por valores singulares tiene efectos similares:

  • autovectores → rota el espacio
  • diag(autovalores) → escala el espacio
  • inv(autovectores) → rota el espacio

Hola amigos les dejo mis notas del curso y mis notebooks en un repositorio, nunca paren de aprender.

https://github.com/rb-one/-Curso_Algebra_Lineal_Aplicada_para_ML/blob/master/Notes/note.md

Les dejo mi notebook de la clase, y el calculo de uno de los ángulos retomando el curso anterior (tuve que desempolvar algo de funciones trigonométricas) si me equivoco los comentarios siempre son bien recibidos, iterar ayuda a nuestra comunidad

Un aporte chiquito:

Al descomponer la matriz en una multiplicación de matrices, el orden en el que se operan las transformaciones del espacio se da de derecha a izquierda: cuando tenemos A = U * D * V quiere decir que la primera transformación es V, la segunda es D y la tercera es U. Esto sucede con todas las composiciones que son, en definitiva, multiplicaciones matriciales.

Recuerdo que hace unos años vi algebra lineal en la universidad y si bien no es una materia difícil, si puede llegar a ser muy abstracta y difícil de comprender o imaginar gráficamente que es lo que estas haciendo al operar matrices y vectores, pero con estas clases es como volver al pasado pero esta vez comprendiendo todo espacialmente en (FHD, 1080p, 4K) jajajaja, es simplemente maravilloso.
Exijo un botón de me encanta para las clases con este profe !!




Dado que la matriz del ejemplo es cuadrada, también podemos descomponerla con los autovalores y autovectores y observar como se va modificando el espacio hasta obtener la trasformación que la matriz A aplica.

#Circulo unitario
graficar_matriz(np.array([[1,0], [0,1]]))

plt.xlim(-1.5, 1.5)
plt.ylim(-1.5, 1.5)
#Circulo unitario transformado por los autovectores
#Rota y transforma el espacio
graficar_matriz(autovectores)

plt.xlim(-1.5, 1.5)
plt.ylim(-1.5, 1.5)
#Circulo unitario transformado por los autovalores
#Escala el espacio, lo aumenta y lo rota de nuevo
graficar_matriz(np.diag(autovalores).dot(autovectores))

plt.xlim(-9, 9)
plt.ylim(-9, 9)
#Circulo unitario transformado por la inversa de los autovectores
#Rota de nuevo el espacio 
graficar_matriz(autovectores.dot(np.diag(autovalores)).dot(np.linalg.inv(autovectores)))

plt.xlim(-9, 9)
plt.ylim(-9, 9)

alguien tiene el link donde expliquen ese tema, realmente no le he podido seguir el paso al profesor

excelente. no sabía sobre las implicaciones geométricas de esas matrices.

Esta clase si estuvo densa, recuerdo que mi profe de editores de videojuegos intento explicarnos esto a como lo utilizan unity o blender, pero no me habia quedado claro hasta ahora