Aproximación: suma trapezoidal

¿Qué es la suma trapezoidal en la integración numérica?

La integración numérica es crucial para aproximar áreas bajo curvas cuando no se dispone de una solución analítica exacta. Aquí es donde entra la suma trapezoidal, también conocida como regla de Simpson. Esta técnica se diferencia de la suma de Riemann al utilizar trapecios en lugar de rectángulos, aumentando significativamente la precisión de los cálculos.

¿Cómo funciona la regla del trapecio?

A diferencia del método de Riemann que suma áreas de rectángulos, la regla del trapecio añade un triángulo en la parte superior de los rectángulos, creando un trapecio que mejor se ajusta a la curva bajo análisis.

Por ejemplo, supongamos que trabajamos con la función ( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-1}} ). Si calculamos el área bajo esta curva usando la regla del trapecio desde ( x = 2 ) a ( x = 3 ), podríamos iniciar con dos trapecios. El cálculo nos entregaría un resultado que se aproxima al área verdadera, pero con ciertas diferencias menores respecto a la solución exacta.

¿Cómo mejorar la precisión?

Aumentar el número de trapecios o particiones mejora la precisión en la suma trapezoidal. Por ejemplo, si incrementamos las particiones a diez, el resultado se acercará más al valor exacto ( 0.82843 ), como se puede ver al realizar cálculos en herramientas como GeoGebra.

Aquí un pseudocódigo básico para ilustrar el cálculo:

def suma_trapezoidal(f, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    suma = (f(a) + f(b)) / 2
    for i in range(1, n):
        suma += f(a + i * h)
    return suma * h

¿Cómo usar GeoGebra para integrar numéricamente?

GeoGebra facilita la integración numérica a través de comandos predefinidos. Mediante el comando suma trapezoidal, puedes introducir la función deseada, los extremos del intervalo y el número de trapecios (particiones) que deseas considerar.

Síguelo con estos pasos:

1. Definir la función: Introducir la función y sus extremos en el comando suma trapezoidal.
2. Introducir el desliz Addor: Configura un desliz Addor para variar interactivamente el número de trapecios.
3. Evaluar cambios: Mueve el desliz Addor para observar cómo el número de particiones afecta la aproximación de la integral.

¿Por qué es mejor la regla del trapecio que la suma de Riemann?

La regla del trapecio es más robusta y precisa al ajustarse mejor a las curvas. Su beneficio radica en su simplicidad y alta precisión con pocos cálculos, lo cual es altamente valorado al resolver integrales definidas.

¡Esperamos que esta introducción te anime a practicar más con herramientas como GeoGebra y sigas perfeccionando tus habilidades en el cálculo integral!