Práctica: ley de sustitución

¿Cómo se resuelve una integral definida usando la ley de sustitución?

Las integrales definidas, al igual que las indefinidas, pueden resolverse utilizando diversas técnicas. En este caso, nos enfocaremos en aplicar la ley de sustitución para resolver integrales definidas, un método efectivo cuando el integrando sugiere la existencia de una función y su derivada.

¿Qué se debe identificar primero?

Para usar la ley de sustitución en una integral definida, lo primero que debemos hacer es identificar una función dentro del integrando que simplifique el proceso de integración. En este caso, consideramos la integral:

[ \int_{2}^{3} \frac{dX}{\sqrt{X-1}} ]

En este ejemplo, identificamos ( u = X - 1 ). La derivada de ( u ), denotada como ( du ), es igual a ( dX ). Esto nos permite cambiar variables en la integral.

¿Cómo se realiza el cambio de variable?

Una vez identificadas las variables de sustitución, procedemos a cambiar el integrando:

1. Sustituimos ( dX ) y ( X - 1 ) en la integral. Usamos ( du = dX ) y ( u = X - 1 ).

   Esto transforma la integral a:

   [ \int \frac{du}{\sqrt{u}} ]

2. Reescribimos la integral como:

   [ \int u^{-1/2} , du ]

¿Qué ocurre con los límites de integración?

Un aspecto crucial al usar la ley de sustitución en integrales definidas es que no se colocan inmediatamente los límites de integración en la nueva integral. Esto se debe a que, al realizar el cambio de variable, no sabemos aún los límites en cuanto a la nueva variable ( u ).

¿Cómo se evalúa la integral y se aplican los límites?

Después de resolver la integral simbólica:

1. Integramos:

   [ \int u^{-1/2} , du = 2u^{1/2} ]

2. Regresamos a la variable original. Sabemos que ( u = X - 1 ), por lo que:

   [ 2\sqrt{u} = 2\sqrt{X - 1} ]

3. Aplicamos los límites de integración originales:

   [ \left[ 2\sqrt{3 - 1} \right] - \left[ 2\sqrt{2 - 1} \right] ]

   Lo cual resulta en:

   [ 2\sqrt{2} - 2\sqrt{1} = 2 \times 1.41 - 2 \times 1 = 2.82 - 2 = 0.82 ]

Esto nos lleva al resultado final de la integral, ( 0.82 ).

Consideraciones adicionales

Al aplicar la ley de sustitución en integrales definidas, es importante:

• Comprender cuándo usar sustitución: Idealmente cuando el integrando sugiere la presencia de una función y su derivada.
• Ajustar correctamente las variables: Asegurarse de transformar adecuadamente el integrando y reevaluar en términos de la variable original antes de aplicar los límites.

Este método proporciona un enfoque eficiente para resolver integrales que de otro modo podrían ser complejas. ¡Sigue practicando y conviértete en un experto en el uso de diferentes técnicas de integración!