Modelos matemáticos
Introducción a los modelos matemáticos
¿Qué es un sistema dinámico?
Modelos Estocásticos vs. Modelos Determinísticos
El lenguaje del Determinismo y las EDOs
Sistemas complejos y la imposibilidad de una solución exacta
Modelos númericos
Modelos numéricos al rescate
Soluciones numéricas vs. exactas
Sistemas caóticos
Fórmula RK4 vs. fórmula de Euler
Solución al sistema de Lorenz
Modelos epidemiológicos
Modelo SIR
Mejorando el modelo SIR
Ajustando un modelo epidemiológico a datos reales
Fórmula RK4 vs. fórmula de Euler
8/12Lectura
El ejemplo de ecuación diferencial que usamos en la clase pasada es muy sencillo, pero lo empleamos porque necesitábamos un ejemplo donde conociéramos la solución exacta para calcular el error real del cálculo numérico. Esta clase está dividida en dos partes:
...
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Codigo.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def f(t,y): return y
def rk4(t0,y0,dt,f):
k1 = f(t0, y0)
k2 = f(t0 + dt / 2.0, y0 + dt * k1 / 2.0)
k3 = f(t0 + dt / 2.0, y0 + dt * k2 / 2.0)
k4 = f(t0 + dt, y0 + dt * k2)
y = y0 + (dt / 6.0) * (k1 + 2.0 * k2 + 2.0 * k3 + k4)
return y
def euler(t0, y0, dt, f):
f0 = f(t0, y0)
y = y0 + dt * f0
return y
def exact_sol(t): return np.exp(t)
if __name__=='__main__':
tmax = 5
plt.figure(figsize=(10,10))
for n, c in zip([10,100], ['red','blue']):
ys_rk4 = [1]
ys_euler = [1]
ts = np.linspace(0,tmax,n)
dt = ts[1] - ts [0]
for i in range(n-1):
u_rk4 = rk4(ts[i], ys_rk4[i], dt,f)
u_euler = euler(ts[i], ys_euler[i], dt, f)
ys_rk4.append(u_rk4)
ys_euler.append(u_euler)
plt.plot(ts, ys_euler, '--', color=c, label='Euler dt = {}'.format(round(dt,3)))
plt.plot(ts, ys_rk4, color=c, label='RK4 dt = {}'.format(round(dt,3)))
plot_text_size = 20
plt.plot(ts, exact_sol(ts), '-k', label='exact')
plt.xticks(fontsize=plot_text_size)
plt.yticks(fontsize=plot_text_size)
plt.legend(fontsize = plot_text_size)
plt.show()
tmax = 100
dt_arr = np.arange(0.0001, 0.5, 0.0001)
error_rk4 = []
error_euler = []
for dt in dt_arr:
ys_rk4 = [1]
ys_euler = [1]
ts = np.arange(0, tmax, dt)
for i in range(len(ts)):
u_rk4 = rk4(ts[i], ys_rk4[i], dt, f)
u_euler = euler(ts[i], ys_euler[i], dt, f)
ys_rk4.append(u_rk4)
ys_euler.append(u_euler)
ys_exact = exact_sol(ts)
error_rk4.append(np.abs(ys_rk4[-1]-ys_exact[-1]))
error_euler.append(np.abs(ys_euler[-1]-ys_exact[-1]))
plt. figure(figsize=(10,8))
plot_text_size = 20
plt.plot(dt_arr, error_rk4, label='RK4')
plt.plot(dt_arr, error_euler, label='Euler')
plt.plot(dt_arr[:-4900],error_rk4[:-4900], '-*r')
plt.xticks(fontsize=plot_text_size)
plt.yticks(fontsize=plot_text_size)
plt.legend(fontsize=plot_text_size)
plt.yscale('log')
plt.xscale('log')
plt.show()
Admito que estoy confundido y tengo que trabajar en esta parte del contenido.
¿Hay algún libro o taller, video o alternativa para profundizar?
Estaría muy agradecido, me parece muy interesante
¿qué significa o qué implica los valores ki en el ajuste Runge-Kutta de orden 4?
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