Modelo SIR

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Lectura

En clases pasadas vimos que un sistema de EDOs para describir la propagaci贸n de una epidemia est谩 dado, en su forma m谩s simple, por el modelo SI (susceptibles S e infectados I):

ec1.png

donde el par谩metro es una medida de la rapidez de propagaci贸n de la epidemia. Para este sistema encontramos que la soluci贸n exacta (tomando como condici贸n inicial I(0) = 1 ) est谩 dada por:

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En esta clase y la pr贸xima consideraremos modelos m谩s cercanos a lo que podr铆a ser una situaci贸n real. Consideremos ahora que un individuo infectado puede recuperarse eventualmente y esto conduce a pensar en un tercer compartimiento de poblaci贸n que denominaremos R de individuos recuperados. Vamos a asumir que la tasa de crecimiento de la poblaci贸n de recuperados dR/dt es proporcional al n煤mero de infectados I y esto implica una modificaci贸n en la ecuaci贸n [2] y agregar una ecuaci贸n extra, dando como resultado las siguientes 3 ecuaciones:

ec3.png

Donde en este caso representa la velocidad de recuperaci贸n de los individuos. Aqu铆 el nuevo t茅rmino 渭 / se resta en la ecuaci贸n [6] porque los individuos recuperados implican una reducci贸n en el crecimiento de la poblaci贸n de infectados, mientras que la ecuaci贸n [7] es la relaci贸n de proporcionalidad entre el crecimiento de la poblaci贸n R y el n煤mero de infectados I.

Este sistema ya es lo suficientemente interesante como para que con 茅l podamos explicar algunas de las cosas que est谩n sucediendo hoy en d铆a respecto a la propagaci贸n del SARS-COV-2. As铆 que lo primero que haremos ser谩 solucionarlo num茅ricamente con RK4 igual que hicimos con el sistema de Lorenz en la clase pasada. Para ello podemos usar gran parte del notebook de la clase pasada. Por ejemplo la funci贸n rk4vec() queda id茅ntica y solo debemos modificar la clase que contiene las ecuaciones del sistema din谩mico, para cuyo caso tendremos lo siguiente:

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Con esta clase ya definida es sencillo ejecutar una simulaci贸n de SIR de forma similar a como lo hicimos con el sistema de Lorenz y adem谩s hacer una visualizaci贸n:

2.png

En esta celda de c贸digo consideramos una situaci贸n donde la tasa de recuperaci贸n es mayor a la tasa de propagaci贸n de la epidemia y tomamos una condici贸n inicial con una poblaci贸n de susceptibles de 1000, un solo contagio y cero personas recuperadas. El resultado se ve en la siguiente gr谩fica:

3.png

La soluci贸n de este sistema, bajo las condiciones y par谩metros previamente indicados, muestra que:

  1. La curva de susceptibles siempre decrece con el tiempo, igual que con el sistema SI.
  2. La curva de infectados tiene una forma de campana donde hay un punto m谩ximo que indica el momento m谩s cr铆tico de contagio en la poblaci贸n. Es importante prever este punto m谩ximo porque puede exceder la capacidad del sistema de salud si el n煤mero de infectados simult谩neos es muy grande.
  3. La curva de recuperados siempre aumenta en el tiempo.

Estas tres condiciones reflejan una situaci贸n donde la epidemia eventualmente se desvanece en el tiempo y decimos que la poblaci贸n ha alcanzado lo que se denomina la inmunidad de Herd o inmunidad de reba帽o, que es un estado donde los individuos ya se han recuperado porque la gran mayor铆a ha logrado adquirir inmunidad contra el virus que haya causado la epidemia.

Cuando los gobiernos dicen que debemos aplanar la curva para no sobrecargar el sistema de salud, se refieren a la curva de infectados que acabamos de mostrar previamente, sabemos que la medida m谩s popular para controlar esto ha sido mediante la cuarentena y el distanciamiento social y esto se puede modelar de cierta manera a trav茅s de la constante de propagaci贸n de la epidemia . Es decir estas pol铆ticas de distanciamiento social se pueden cuantificar con un valor m谩s peque帽o de , veamos una comparaci贸n de c贸mo un valor menor de afecta el pico m谩ximo de infectados.

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Y con este gr谩fico final evidenciamos que una reducci贸n en la tasa de propagaci贸n tiene como efecto que la curva se vuelve m谩s ancha pero as铆 tambi茅n el pico m谩ximo de contagios se reduce, colocamos como ejemplo una recta horizontal que representa la capacidad te贸rica de un sistema de salud solo para mostrar que la reducci贸n en la tasa de propagaci贸n se traduce en ese aplanamiento de la curva que eventualmente implica que no se sature un sistema de salud en consideraci贸n.

Para concluir esta clase, es importante anotar que el sistema SIR es solo otra aproximaci贸n m谩s a una situaci贸n de epidemia real. Estas ecuaciones no pretenden predecir con total certeza una situaci贸n dada como la que vivimos actualmente del Covid-19, pero la intuici贸n que podemos desarrollar con ellas nos permite entender aspectos fundamentales de la din谩mica de estos sistemas y as铆 entender el efecto de pol铆ticas de distanciamiento social. En la pr贸xima clase veremos otros detalles interesantes de este sistema y una mejora adicional que dejaremos como proyecto final del curso.

El notebook de esta clase lo puedes encontrar en este link.

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Estos detalles, en particular esta clase es muy interesante.

Esa primera gr谩fica que se muestra, hablando en otros t茅rminos, podr铆a tratarse R como la convoluci贸n de ambas funciones, es decir S e I?