Incertidumbre y probabilidad
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Las probabilidades y el cálculo van de la mano al momento de entender y calcular probabilidades más complejas. Cuando hablamos de probabilidad, introducimos el concepto de función. En probabilidad, una función distribucional asigna probabilidades a los posibles estados de una variable aleatoria. Así, por ejemplo, la probabilidad de lanzar un dado es una función constante, donde cada cara tiene una probabilidad de 1/6.
La probabilidad se divide en funciones discretas y continuas, dependiendo del dominio de la variable aleatoria.
Funciones discretas: Son aquellas donde los valores posibles de la variable aleatoria son contables, como el lanzamiento de un dado donde los posibles resultados son del 1 al 6.
Funciones continuas: Estas funciones aplican a situaciones donde la variable aleatoria puede tomar cualquier valor en un rango determinado, como la temperatura en un lugar específico. Estos valores no son fácilmente contables.
Para funciones discretas, la gráfica resulta ser un histograma que muestra la frecuencia de cada evento. En cambio, para las funciones continuas, se utiliza una curva suave que se puede derivar e integrar.
La distribución acumulada es una función que te permite calcular la probabilidad de que una variable aleatoria tome valores menores o iguales a un cierto umbral. Para funciones continuas, esta probabilidad se obtiene a través de la integral de la función de densidad de probabilidad. En el caso de funciones discretas, se obtiene sumando las probabilidades de todos los valores hasta el umbral.
Calcular el área bajo la curva es una técnica del cálculo integral que se aplica para encontrar probabilidades acumuladas en distribuciones continuas. Este método te ayuda a entender la probabilidad de ocurrencia de eventos dentro de un rango específico de valores de la variable aleatoria.
El cálculo se convierte en una herramienta crucial para profundizar en el estudio de las distribuciones de probabilidad. Las propiedades matemáticas de derivación e integración que se utilizan comúnmente en cálculo se aplican también a las distribuciones de probabilidad. Esto establece un puente entre el cálculo y la probabilidad, siendo especialmente relevante en el cálculo de probabilidades acumuladas.
En un próximo paso, es posible emplear lenguajes de programación como Python para agilizar los cálculos de probabilidades, especialmente en casos complejos donde las integrales son difíciles de resolver manualmente. Esto demuestra cómo la informática puede potenciar el análisis estadístico y la teoría de probabilidades, llevando a una comprensión más profunda y una mayor eficiencia en su aplicación.
Aportes 87
Preguntas 6
Acá dejo la mía
Para los que no sepan mucho de integrales:
Nota: La máxima probabilidad debe ser 1 que sería 100% y la mínima 0 = 0%
Espero le sirva a alguien
Distribuciones de Probabilidad/ funcion densidad
Es la función que relaciona una variable aleatoria con sus probabilidades.
Convención de notación:
X → variable aleatoria
x → valores posibles del espacio muestral
Tipos de distribución según el dominio
Distribución acumulada
Se refiere a la suma de las probabilidades, por lo tanto en el caso de una variable continua sería la integral de la función distribución
Nota:
Para calcular tal probabilidad se hace de la siguiente forma:
Algo curioso es que si la distribución es continua la probabilidad P(X=x) = 0 ¡es nula!
Esto se puede entender de dos maneras: si la distribución es continua el espacio muestral es infinito, por tanto la probabilidad de un valor concreto es 1/∞ = 0. La otra es haciendo la integral entre a y b, es decir el área bajo la curva: si a=b, el resultado de la integral es cero, ya que no hay área bajo la curva.
Por eso se calcula la probabilidad de que x esté en un intervalo y no que tenga un valor concreto.
Por si a alguien le sirve para complementar un poco:
Para todos aquellos a los que el calculo se les haga bola les paso un par de videos en donde se explican las derivadas e integrales de una forma super sencilla y paso a paso
https://www.youtube.com/watch?v=_6-zwdrqD3U&t=43s
https://www.youtube.com/watch?v=Ec-cGjh0Fr0
¡Excelente clase! no había hecho consciencia de que la ubicación del evento en el plano cartesiano es una probabilidad, lo veía sólo como un hecho que ocurrió y no como un reflejo de una posibilidad de las infinitas que tiene para que pase justo ese.
En mi último año de colegio solíamos usar una tabla muy similar a esta para obtener la distribución o el área(No recuerdo muy bien):
La verdad nunca se me había pasado por la cabeza ver las distribuciones como aspectos derivados del cálculo, siempre me limité a replicar y no asociar, qué genial que este curso esté enlazando estos conceptos de manera tan clara!
Para calcular la probabilidad acumulada de una distribucion continua en un intervalo dado como P(a <= X <= b) aplicarias la integral como se explico, pero los limites serian b para el superior y a para el inferior de la integral. Asi calcularias el area bajo la curva de un intervalo de la distribucion continua, y en el caso de la discreta es igual pero los valores de i (inferior) y n (superior) cambian que son los que se encuentran en el simbolo de la sumatoria de riemann.
al profesor le falto hacer una distincion.
No se le llama funcion de densidad a cualquier funcion probabilistica, esto depende de si la variable es continua o discreta, cuando la variable es discreta se le llama “funcion de Masa” y se denota por P(X=x) y cuando la variable es continua se llama funcion de densidad y se denota por f(X=x)
otro error de la clase es decir que podemos calcular la probabilidad de un punto en particular cuando la variable es continua ya que la respuesta es cero, la probabilidad en un punto es 0 cuando la variable es continua, esto debido a que un punto esta acotado en infinitos valores infinitecimales por lo cual cuando evaluas el limite cuando tiende a infitnito este tiende a cero, por esta razon las probabilidades continuas se calculan con integrales ya que estas calculan regiones y no puntos particulares.
Por este ultimo punto se hace la distincion entre una funcion de masa y una funcion de densidad, ya que en una funcion de masa si podemos calcular la prob de un valor puntual.
En esta página pueden encontrar más detalle sobre la función de densidad de probabilidad y como calcular la probabilidad:
P(a < X < b) = P(X < b) - P(X < a)
P(a < X < b) = P(X < b) - P(X> a)
Así entiendo la Variable Aleatoria y Distribución, Si tienen alguna correción o reocmendación se los agradeceré
derivadas: https://www.youtube.com/watch?v=_6-zwdrqD3U&t=43s definicion: https://www.youtube.com/watch?v=pMYdSjgzrys Integrales: https://www.youtube.com/watch?v=d7Y9Om4KCUM&list=PLeySRPnY35dEHnMLZGaNEXgHzJ2-TPLWw
Una distribución de probabilidad es una función que toma una variable aleatoria (X) y a cada uno de sus estados, en el espacio muestral, le asigna una probabilidad
Al igual que en cálculo, las distribuciones de probabilidad también tienen un dominio [Dom(X)] que puede ser discreto {1,2,3,4,5,6} o continuo [0,∞]
Para conocer un probabilidad del estilo P(X<=x) en un dominio continuo podemos usar el concepto de integral aplicada a la distribución, para obtener la llamada “distribución acumulada:
Así también podemos aplicar el mismo razonamiento para funciones discretas, donde, en lugar de integrar la función P= f(X) haremos la sumatoria discreta de la probabilidades entre los umbrales que deseamos calcular:
Los matemáticos son consientes de que estos cálculos son difíciles de hacer, por lo tanto existen las tablas de probabilidad, en este caso la tabla z normal.
Para quienes no entiendan de que habla cuando empieza a poner integrales y esas cosas raras, pueden ver este curso que tube que tomar desde youtube para entender esta clase.
https://www.youtube.com/watch?v=d7Y9Om4KCUM&list=PLeySRPnY35dEHnMLZGaNEXgHzJ2-TPLWw
En caso se de las probabilidades acumulada se usa la probabilidad del mayor - menor, ejemplo:
0.975 - 0.025 = 0.95
Así se obtiene el intervalo del 95%
Si tengo una gráfica con una curva suave (campana gauss) y quisiera saber la probabilidad de que x este entre dos elementos a y b
Les comparto esta herramienta online que permite entender las distribuciones de probabilidad continuas y discretas, con sus definiciones y permite jugar con ella. También te permite encontrar la mejor distribución de probabilidad para un conjunto de datos phitter.io
Una distribucion de probabilidad es una funcion que toma una variables aleatoria y a cada uno de sus posibles estados dentro del Espacio Muestral le asigna una probabilidad.
P = *f*(X)
Todas las herramientas del calculos pueden ser usadas en Probabilidad
Distribucion o Densidad de Probabilidad
Para una funcion P(X) tenemos que en un punto x del dominio, la imagen de dicho punto es la probabilidad de que ocurra ese valor particular
Integral de una Distribucion
Permite responder preguntas sobre la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores menores o iguales a un valor especifico dado. Esto viene dado por el area bajo la curva que hay antes del valor especifico
P(X <= x) = Integral(P(x)dx) sobre X <= x
Distribucion Acumulada Continua
Representa la probabilidad de que la variable aleatoria X tome valores menores o iguales a una x dada. Cuando x en la definicion anterior pasa a ser un parametro, la ecuacion se convierte en la Distribucion Acumulada
C(X) = Integral(P(x)dx) sobre X <= x
Distribucion Acumulada Discreta
Aplicada sobre variables aleatorias discreta, permite calcular la probabilidad de que la variable aleatoria discreta X tome valores menores o iguales a una x dada
P(X <= x) = Sumatoria(P(x)dx) sobre X <= x
Una distribución de probabilidad es una función matemática que describe cómo se distribuyen los valores de una variable aleatoria. En otras palabras, es una función matemática que asigna una probabilidad a cada posible valor de una variable aleatoria.
Existen diferentes tipos de distribuciones de probabilidad, algunas de las cuales son las siguientes:
Distribución binomial: Es una distribución discreta que se utiliza para describir variables aleatorias que solo pueden tomar dos valores (éxito o fracaso) en un número fijo de ensayos independientes.
Distribución Poisson: Es una distribución discreta que se utiliza para describir variables aleatorias que representan el número de eventos en un período de tiempo dado.
Distribución exponencial: Es una distribución continua que se utiliza para describir variables aleatorias que representan el tiempo entre eventos de un proceso de Poisson.
Distribución de Bernoulli: Es una distribución discreta que se utiliza para describir variables aleatorias que solo pueden tomar dos valores (éxito o fracaso) en un solo ensayo.
Es importante mencionar que existen muchas otras distribuciones de probabilidad. Algunas son específicas para determinado tipo de problemas, otras son una combinación de distribuciones simples, dependiendo del contexto en el cual se aplique.
P(a <= X <= b).
P(4 <= X <= 6) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2
P(-1 <= Z <= 1) = P(Z <= 1) - P(Z <= -1)
P(a <= X <= b) = ∫b_a f(x) dx
**solución al reto **
Se han preguntado: -"¿Para qué sirve una distribución de probabilidad?"
La respuesta corta es: Es una herramienta fundamental para la prospectiva (mirar hacía delante), puesto que con ella es posible diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de diversos fenómenos.
Continuo no es así ? [0, ∞)
Creo que para calcular la probabilidad de que x esté entre a y b, habría que calcular:
No estoy seguro, por favor alguien que me confirme o corrija.
alguien que me explique la integral del resultado 😦
Nunca había visto esa definición formal de la función de probabilidad acumulada, no se me pasó por la cabeza que fuera esa integral jaja
Resolví el reto restando las áreas bajo la curva de manera que como resultante quede el área o la probabilidad requerida entre a y b.
P(a<=X<=b) = P(X<=b) - P(X<=a)
Uff que buena clase
Me recordó a un profesor de la u, nos dijo si no sabe que es algo en matemáticas, diga que es una función
Las probabilidades en variables son en realidad funciones de probabilidad o densidades de probabilidad. En caso de variables discretas se puede calcular como la sumatoria de probabilidades, mientras que para funciones continuas se puede calcular integrando.
Probabilidad
Toda variable aleatoria continua X tiene una función de densidad de probabilidad f. Esto significa que la probabilidad de que X se encuentre entre a y b se encuentra integrando f desde a hasta b:
Por ejemplo, en la siguiente figura se presenta la gráfica de un modelo de la función de densidad de probabilidad f para una variable aleatoria X, definida como la estatura en pulgadas de una mujer adulta en Estados unidos (de acuerdo con los datos de la National Health survey). La probabilidad de que la estatura de una mujer elegida al azar de esta población esté entre 60 y 70 pulgadas es igual al área debajo de la gráfica, desde 60 hasta 70.
.
.
En general, la funcion de densidad de probabilidad f de una variable aleatoria X satisface la condicion de que f(x) ≥0 dpara toda x. En virtud de que las probabilidades se miden en una escala de 0 a 1. se concluye que
Fuente: Calculo Conceptos y Contextos James Stewart - Probabilidad
Para los que no tenemos buenas bases matemáticas, creo que este curso debería estar más adelante.
Como amo las probabilidades ❤️
Es la integral definida de la densidad evaluada entre a y b
Las** variables aleatorias discretas** son aquellas que podemos cuantificar en un intervalo finito de números, las podemos cuantificar con números naturales. Por ejemplo el numero de objetos o entidades en un universo.
Las variables aleatorias continuas son aquellas que cuantificamos en un intervalo infinito de números, las podemos cuantificar con todo el conjunto de números reales. Por ejemplo el tiempo, la distancia, el volumen, el dinero, el peso, toda magnitud física a la que podemos sacar proporciones.
Ejemplos:
Variables aleatorias discretas:
cantidad de autos vendidos en una tienda por año
numero de enfermos de cancer en un hospital
numero de productos defectuosos en una fabrica
Partidos de futbol ganados por un equipo en una temporada
partidas ganadas en un juego de poker…
variables aleatorias discretas:
Cantidad de Petroleo extraído de un pozo petrolifero
Distancias recorridas de un uber en un mes
Sueldo que ganas por año en la empresa donde trabajas
Ganancias netas de las ventas de una empresa
Calificaciones de alumnos de un grupo…
Una distribución de probabilidad es una función que toma una variable aleatoria y a cada uno de sus posibles estados en un espacio muestral, le asigna una probabilidad.
P = f(X)
Letras mayúsculas[X]: variables
Letras minúsculas[x]: posibles valores que estas variables pueden tomar
dominio[Dom(X)]: todos los valores posibles de la variable aleatoria sobre los cuales la función puede ser calculada, estos pueden definir conjuntos discretos, ejemplo dado o moneda; o continuos, ejemplo la temperatura en un momento dado.
1.5x!!!
Función de Probabilidad Acumulada
Excelente clase y profe, da los temas con bastante cuidado y precision de conceptos.
me acorde de mis distribuuciones de probabilidad favoritas, la t de student, la normal o gaussiana y la de Poisson.
La solucion al reto es evaluar la probabilidad en b menos la probabilidad en a, eso te deja el area bajo la curva entre los puntos a y b.
Saludos!
Reto
P(a ≤ X ≤ b)= ∫P(X) dx = C(b)−C(a)
donde la integral va desde a a b.
Aplicando los conceptos vistos:
Me sorprender el uso de esta forma de distribucion para obtener el resultado requerido. Ahora siento que estoy aprendiendo.
De acuerdo con el ejercicio la expresión matemática sería la siguiente:
Acá un video entretenido relacionando levemente esta clase sobre distribución de probabilidad, con las convoluciones para el procesamiento de imágenes que supongo que tiene una relación estrecha con las redes neuronales convolucionales.
But what is a convolution?
Para la probabilidad acumulada entre dos límites; si la variable a tratar es continua, entonces se definiría como una integral definida (donde se definen limite inferior y superior para el cálculo de la integral), en caso de que la variable fuese discreta, la sumatoria tendría sus limites también definidos.
video para profundizar
https://www.youtube.com/watch?v=Y7oKqrV4Bmw
La probabilidad se puede representar como una diferencia de probabilidades acumuladas tanto de P(X<=b) quitando lo que no está previo a P(X<=a)
🤯 por fin entendí porque usamos derivadas en probabilidades. He llevado varios cursos de estadíticas y solo lo daba como axioma, pero wow
Mi función de probabilidad acumulada, se acepta retroalimentación!!!
Integral de una distribución
donde la integral va desde a a b.
Distribución de probabilidad: la probabilidad de los posibles estados de una variable aleatoria dentro de un espacio muestral.
P(x_1\leq X \leq x_2)= P(X\leq x_2)-P(X\leq x_1)
Hola, respecto al reto:
El resultado será el obtenido al resolver la integral definida de la función densidad de probabilidad,** p(X)** , evaluada en los límites de integración que serán los umbrales a y b; por lo tanto, el resultado al aplicar el teorema del cálculo entre esos dos umbrales nos dará como resultado la función de probabilidad acumulada (primitiva), evaluada con esos límites:
C(X) = P(b) - P(a)
Una distribución es una función que agarra una variable aleatoria y dentro del espacio muestral le asigna una probabilidad
Las funciones tienen dominio, que pueden ser conjuntos discretos (puedo contarlos) o continuas (al carecer de información como la temperatura)
La integral de una distribución
El resultado es:
P (a < X < b) = ʃ F (X) dx = f (a) -f (b) = C(X)
Volvemos con calculo!
Ejemplos de Disttribuciones de probabilidad
Dominio de una funcion de Distribucion de probabilidad: Discreto o continuo
me daría como resultado la integral desde el punto x=a hasta x=b de P(x) * dx (donde dx es el ancho y P(x) es la altura, al multiplicar el ancho por la altura el resultado que obtenemos es un área.
el ángulo en el que cae el dado en el eje z es un valor continuo
pero el número de la cara superior es discreto
Siempre uno se aprende la formula de distribución normal, frecuente, bueno las otras pero nunca se pone a analizar de donde viene,
Se pueden contar y tienen un inicio y un final. Son finitas.
Ejm: Las caras de un dado.
No se pueden contar, porque trabajan con números decimales o cualquier otra cosa infinita. Son infinitos.
Ejm: La Temperatura en un momento dado si lo consideramos como una variable aleatoria, porque al trabajar con números decimales la temperatura puede ser realmente cualquier número.
Cálculo de la función de probabilidad de una variable aleatoria continua:
Es un corolario del teorema fundamental del calculo.
P(a <= x <=b) = P(b) - P(a) = S de a a b de P’(x)dx= S de 0 a b de P’(x)dx - S de 0 a a de P’(x)
Recordando que la función dentro de la integral es la derivada de la función de probabilidad P.
Como es acumulativa se entiende que:
P(a) = P(x <= a)
P(b) = P(x <= b)
Quizá lo entendí mal, pero creo que seria posible representar gráficamente la solicitud del profesor con la función sen(x).
La función matemática quedaría de la siguiente manera.
El código para ver gráficamente la función con Python seria el siguiente:
Donde a = 1 y b = 2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def f(x):
return np.sin(x)
a = 1
b = 2
x = np.linspace(0, 4, 1000) # Generar valores de x desde 0 a 4 para visualizar la curva
# Graficar la función F(x)
plt.plot(x, f(x), label='F(x) = sen(x)')
# Sombrear el área bajo la curva entre a y b
x_fill = np.linspace(a, b, 100)
plt.fill_between(x_fill, f(x_fill), alpha=0.3, label='Área bajo la curva')
# Establecer límites y etiquetas de los ejes
plt.xlim(0, 4)
plt.ylim(0, 1.5)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('F(x)')
plt.title('Área bajo la curva de F(x)')
plt.legend()
# Mostrar el gráfico
plt.grid(True)
plt.show()
P(a<X<b) = P(X<b)-P(X<a)
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