Comprobación de la combinación lineal:
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El producto entre escalares y vectores es una operación fundamental en álgebra lineal que permite combinar elementos de diferentes espacios matemáticos. Mientras que los vectores son listas finitas de elementos que pertenecen a espacios vectoriales, los escalares son números individuales que forman parte de campo de escalares. Esta operación es clave para vincular estos dos conceptos de manera efectiva.
En este contexto, tomamos un vector ( b ) de dimensión n (llamado n vector) y un escalar (\alpha). La operación resultante, ( x ), se describe como la multiplicación de (\alpha) con ( b ). Se expresa entrada por entrada: cada elemento de ( b ) se multiplica por (\alpha). Por ejemplo, si el vector ( b = (0, 1, -2.3) ) y (\alpha = -1.1), el resultado será un nuevo vector calculado multiplicando cada elemento del vector por (\alpha).
# Ejemplo en Python sin necesidad de librerías adicionales como NumPy
b = [0, 1, -2.3]
alpha = -1.1
# Producto escalar
x = [alpha * entry for entry in b]
print(x) # Salida: [-0.0, -1.1, 2.53]
La multiplicación de un escalar con un vector se rige por varias propiedades fundamentales:
Estas propiedades aseguran el correcto comportamiento de la multiplicación en diversas operaciones vectoriales.
Las combinaciones lineales permiten expresar un vector como una suma ponderada de varios vectores. Dada una colección de ( m ) vectores y ( n ) escalares, se forma un nuevo vector sumando cada escalar multiplicado por su correspondiente vector.
Un aspecto especial de las combinaciones lineales es la posibilidad de expresar cualquier vector como combinación de vectores unitarios, los cuales tienen un único uno en una posición y ceros en otras.
Considera el vector ( (1, -1, 0) ), que se puede representar usando vectores unitarios:
La representación sería: [ 1 \cdot e_0 + (-1) \cdot e_1 + 0 \cdot e_2 = (1, -1, 0) ]
Existen combinaciones lineales con características distintivas:
Estas operaciones son fundamentales en aplicaciones como mezclas convexas en programación lineal y ponderaciones en análisis de datos.
Esta introducción abarca los conceptos esenciales sobre el producto entre escalares y vectores, sus propiedades y la relevancia de las combinaciones lineales. Te animo a experimentar con estos conceptos en Python y seguir explorando sus aplicaciones geométricas en las próximas clases. ¡Sigue practicando y desarrollando tus habilidades matemáticas!
Aportes 20
Preguntas 0
Comprobación de la combinación lineal:
Les recomiendo estudiar respecto de por que un espacio de n dimensiones tiene n vectores unitarios y viceversa, el concepto de dimensión en espacios vectoriales no es trivial y es sumamente importante entender su origen e implicancias profundas, revisar el texto Introducción al Álgebra Lineal de Serge Lang
Creo que los colores pueden ayudar a diferenciar la suma de los elementos de los vectores
Escribo medio feo pero la intencion es lo que cuenta!
Para quienes se les quedó con algo de duda que es una combinación lineal vendría siendo: La suma de ‘n’ vectores cada uno multiplicado por un escalar.
En estos momentos me alegro mucho de poner atención a mis clases de algebra
Muy buenas tardes platzitueros,
Por acá la demostración solicitada:
Saludos
En python lo he creado asi:
escalar_1 = 1
escalar_2 = -1
escalar_3 = 0
vector_1 = np.array([[1],[0],[0]])
vector_2 = np.array([[0],[1],[0]])
vector_3 = np.array([[0],[0],[1]])
combinancion_unitaria_1 = escalar * vector_1
combinancion_unitaria_2 = escalar * vector_2
combinancion_unitaria_3 = escalar * vector_3
combinacion_lineal = combinancion_unitaria_1 + combinancion_unitaria_2 + combinancion_unitaria_3
print(combinacion_lineal)
import numpy as np
escalar = 2
vector = np.array([1, 2, 3])
producto_escalar = escalar * vector
print(producto_escalar)
Gracias, buen aporte
Esto es una maratón y me esta gustando 😉
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