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Producto Escalar-Vectores: Conceptos y Propiedades Básicas
7/28Recursos
¿Qué es el producto entre escalares y vectores?
El producto entre escalares y vectores es una operación fundamental en álgebra lineal que permite combinar elementos de diferentes espacios matemáticos. Mientras que los vectores son listas finitas de elementos que pertenecen a espacios vectoriales, los escalares son números individuales que forman parte de campo de escalares. Esta operación es clave para vincular estos dos conceptos de manera efectiva.
¿Cómo se define la multiplicación escalar vector?
En este contexto, tomamos un vector ( b ) de dimensión n (llamado n vector) y un escalar (\alpha). La operación resultante, ( x ), se describe como la multiplicación de (\alpha) con ( b ). Se expresa entrada por entrada: cada elemento de ( b ) se multiplica por (\alpha). Por ejemplo, si el vector ( b = (0, 1, -2.3) ) y (\alpha = -1.1), el resultado será un nuevo vector calculado multiplicando cada elemento del vector por (\alpha).
# Ejemplo en Python sin necesidad de librerías adicionales como NumPy
b = [0, 1, -2.3]
alpha = -1.1
# Producto escalar
x = [alpha * entry for entry in b]
print(x) # Salida: [-0.0, -1.1, 2.53]
¿Qué propiedades cumple el producto escalar vector?
La multiplicación de un escalar con un vector se rige por varias propiedades fundamentales:
- Conmutatividad: (\alpha \cdot x = x \cdot \alpha)
- Asociatividad: ((\beta \cdot \alpha) \cdot x = \beta \cdot (\alpha \cdot x))
- Distribución sobre suma escalar: ((\alpha + \beta) \cdot x = \alpha \cdot x + \beta \cdot x)
- Distribución sobre suma de vectores: (\alpha \cdot (x + y) = \alpha \cdot x + \alpha \cdot y)
Estas propiedades aseguran el correcto comportamiento de la multiplicación en diversas operaciones vectoriales.
¿Qué son las combinaciones lineales?
Las combinaciones lineales permiten expresar un vector como una suma ponderada de varios vectores. Dada una colección de ( m ) vectores y ( n ) escalares, se forma un nuevo vector sumando cada escalar multiplicado por su correspondiente vector.
Un aspecto especial de las combinaciones lineales es la posibilidad de expresar cualquier vector como combinación de vectores unitarios, los cuales tienen un único uno en una posición y ceros en otras.
Ejemplo:
Considera el vector ( (1, -1, 0) ), que se puede representar usando vectores unitarios:
- ( e_0 = (1, 0, 0) )
- ( e_1 = (0, 1, 0) )
- ( e_2 = (0, 0, 1) )
La representación sería: [ 1 \cdot e_0 + (-1) \cdot e_1 + 0 \cdot e_2 = (1, -1, 0) ]
¿Cuáles son las combinaciones lineales especiales?
Existen combinaciones lineales con características distintivas:
- Suma de vectores: Se da cuando todos los coeficientes son 1.
- Promedio de vectores: Cuando todos los coeficientes son ( \frac{1}{m} ).
- Combinación afín: Cuando la suma de los coeficientes es igual a 1.
- Combinación convexa o promedio pesado: Cuando los coeficientes son no negativos y suman 1.
Estas operaciones son fundamentales en aplicaciones como mezclas convexas en programación lineal y ponderaciones en análisis de datos.
Esta introducción abarca los conceptos esenciales sobre el producto entre escalares y vectores, sus propiedades y la relevancia de las combinaciones lineales. Te animo a experimentar con estos conceptos en Python y seguir explorando sus aplicaciones geométricas en las próximas clases. ¡Sigue practicando y desarrollando tus habilidades matemáticas!
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Les recomiendo estudiar respecto de por que un espacio de n dimensiones tiene n vectores unitarios y viceversa, el concepto de dimensión en espacios vectoriales no es trivial y es sumamente importante entender su origen e implicancias profundas, revisar el texto Introducción al Álgebra Lineal de Serge Lang
Creo que los colores pueden ayudar a diferenciar la suma de los elementos de los vectores
Escribo medio feo pero la intencion es lo que cuenta!
Para quienes se les quedó con algo de duda que es una combinación lineal vendría siendo: La suma de ‘n’ vectores cada uno multiplicado por un escalar.
- Propiedades del producto por un escalar-vector:
- Conmutatividad.
- Asociatividad.
- Distribución sobre suma escalar.
- Distribución sobre suma de vectores
En estos momentos me alegro mucho de poner atención a mis clases de algebra
Muy buenas tardes platzitueros,
Por acá la demostración solicitada:
Saludos
aqui el desarrollo del ejemplo de combinacion lineal de vectores unitarios:
1 \[1,0,0] = \[1,0,0]
-1 \[0,1,0] = \[0,-1,0]
0 \[0,0,1] = \[0,0,0]
\[1,0,0]+\[0,-1,0]+\[0,0,0] = \[1,-1,0]
Si te confundiste en la combinacion lineal de vectores unitarios, aqui te comparto mis notas en word.
```python
#Usando numpy como solucion al punto 1
import numpy as np
arr = np.array([1,-1,0])
print(np.linalg.norm(arr))
# Este resultado es igual a 1.414, por lo que no es un vector unitario.
# Un vector unitario tiene que su norma ser exactamente iguala 1
# Si deseamos convertir este vector en unitario solo debemos: dividir vector/norma
norma = np.linalg.norm(arr)
vector = arr / norma
vector_unitario = np.linalg.norm(vector)
#al calcularlo el resultado será:0.9999999999999999
```
En python lo he creado asi:
escalar_1 = 1
escalar_2 = -1
escalar_3 = 0
vector_1 = np.array([[1],[0],[0]])
vector_2 = np.array([[0],[1],[0]])
vector_3 = np.array([[0],[0],[1]])
combinancion_unitaria_1 = escalar * vector_1
combinancion_unitaria_2 = escalar * vector_2
combinancion_unitaria_3 = escalar * vector_3
combinacion_lineal = combinancion_unitaria_1 + combinancion_unitaria_2 + combinancion_unitaria_3
print(combinacion_lineal)
Me gusto mucho esta clase. Me ayudo a repasar conceptos
- El producto escalar entre un escalar y un vector es una operación común en álgebra lineal. El producto escalar, también conocido como producto punto o producto interno, se define como la suma de los productos de las componentes correspondientes de dos vectores.
import numpy as np
escalar = 2
vector = np.array([1, 2, 3])
producto_escalar = escalar * vector
print(producto_escalar)
- Producto por un escalar o multiplicación escalar-vector
Otra operación es el producto por un escalar o multiplicación escalar-vector en el cual un vector es multiplicado por un escalar. La operación se hace elemento a elemento.
- Se dijo que un vector era una lista finita de coeficientes o una lista finita de elementos.
- El escalar se refiere a un único elemento, a un único número.
Gracias, buen aporte
Esto es una maratón y me esta gustando 😉
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