Introducción al curso
Vectores y Operaciones Básicas en Álgebra Lineal
Vectores
Vectores y escalares: fundamentos y aplicaciones prácticas
Vectores y escalares: Notación y ejemplos en Python
Modelo de Color RGB en Python: Crea y Manipula Vectores
Suma de Vectores: Propiedades y Ejemplos Prácticos
Suma de Vectores con NumPy en Python
Producto Escalar y Vector: Operaciones y Propiedades Básicas
Operaciones de Vectores con Python y NumPy
Producto Interno: Operaciones y Propiedades Matemáticas
Producto Interno y Polinomios en Python con NumPy
Análisis de Sentimientos en Tweets: Evaluación Práctica y Resultados
Funciones lineales
Funciones Lineales: Transformar Vectores en Escalares
Funciones Lineales: Producto Interno y Superposición
Teorema de Ángulos en Intersección de Rectas
Funciones Afines y Propiedades de Superposición
Aproximaciones de Taylor para funciones no lineales
Aproximación de Taylor Multivariable con Python
Regresión Lineal: Construye Modelos de Predicción con Datos Numéricos
Norma y distancia
Normas y Magnitudes de Vectores: Propiedades y Cálculos en Python
Cálculo de distancias entre vectores en Python
Priorizar visitas para arrendar usando distancias entre vectores
Desviación Estándar de Series de Tiempo con NumPy
Modelo de Riesgo-Retorno en Inversiones Accionarias
Ángulos y productos punto: cálculo y aplicación en vectores
Clustering
Clustering y sus Aplicaciones Prácticas
Clustering con Algoritmo K-means: Agrupación de Datos Geométrica
Algoritmo K-Means en Python: Implementación Paso a Paso
Cierre
Automatización de Tareas con Python
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El conocimiento matemático siempre parece más complejo de lo que es, pero el objetivo es hacer estas nociones más accesibles. Hoy exploraremos el producto interno, una operación especial entre vectores, que promete enriquecer nuestra caja de herramientas matemáticas. Esta operación, conocida también como producto punto, implica la suma de la multiplicación de sus entradas de extremo a extremo, generando un escalar como resultado. Atrévete a descubrir cómo esta operación puede simplificar y forjar una conexión esencial entre tus vectores preferidos.
El producto interno se aplica a n vectores, y su notación puede variar; desde la típica de corchetes rectos hasta la representación de un punto en centro. Matemáticamente, se define como:
[ \textstyle \sum_{i=0}^{n-1} a_i \cdot b_i ]
Para ilustrarlo con un ejemplo, si tenemos el vector ( a = (1, 2, 3) ) y el vector ( b = (4, 5, 6) ), el producto punto de a y b sería:
[ 1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 = 4 + 10 + 18 = 32 ]
Al final de esta operación, pasamos de tener dos vectores a obtener un número: 32. Este escalar es precisamente lo que fortalece la teoría tras el producto interno.
Una herramienta clave al trabajar con vectores es la transposición. Esta operación cambia la forma de un vector de columna a vector renglón o viceversa. Considerando un vector columna ( a = (1, 2, 3)^T ), su transposición sería ( a^T = (1, 2, 3) ). Es fascinante cómo realizando la operación inversa, es decir, transponiendo nuevamente, regresamos al vector original.
Veamos un caso práctico con la transposición: cuando ( a ) es un vector columna y lo transponemos, obtenemos un vector renglón que permite multiplicarse por otro vector columna, logrando así obtener la misma definición del producto punto.
Explorar las propiedades del producto interno nos ofrece más flexibilidad:
Conmutatividad: La multiplicación entre los elementos de ( a ) y ( b ) siempre conmuta, es decir:
[ a^T \cdot b = b^T \cdot a ]
Asociatividad con la multiplicación escalar: La operación no altera al producto interno cuando multiplicamos por un escalar:
[ (\alpha \cdot a)^T \cdot b = \alpha \cdot (a^T \cdot b) ]
Distributividad sobre la adición de vectores: Facilita efectuar la operación en pasos:
[ (a + b)^T \cdot c = a^T \cdot c + b^T \cdot c ]
Hemos discutido hasta ahora la suma de vectores, la multiplicación de escalares por vectores, y hoy el producto interno. Mientras la suma y la multiplicación escalar nos devuelven vectores, el producto interno resulta en un escalar. Estos conceptos son esenciales en el análisis vectorial y aplicaciones como la física y el análisis de datos.
Te invito a seguir explorando y aplicando estos fundamentos matemáticos en tus proyectos. ¡La práctica constante te hará dominar estas herramientas!
Aportes 14
Preguntas 3
Con el producto punto podemos obtener el angulo formado entre dos vectores a partir de la siguiente formula
Produicto punto en python sin librerias:
def point_product(u, v):
pp = 0
if len(u) == len(v):
for i in range(0, len(u)):
pp += u[i] * v[i]
return pp
En python con la libreria numpy usamos la funcion dot() para obtener el producto interno entre vectores.
a = np.array([1,2,3])
b = np.array([5,6,2])
b.dot(a)
>>> 23
Para recordar: Producto punto o producto escalar nos regresa un número
Para recordar: La transpuesta de una columna nos dará un reglón y viceversa
Para recordar: Al multiplicar un vector renglón por un vector columna, tendremos un escalar.
Les recomiendo este post para conocer la utilidad de calcular el producto punto:
¿Qué es el producto punto y para que sirve?
Al parecer en la literatura es más común verlo como “Producto punto” , incluso en algunas librerías como “Dot”.
Para los que tiene problemas con este curso le recomiendo completar lo visto aquí esta lista de reproducción
https://www.youtube.com/playlist?list=PL9SnRnlzoyX2-qH2lY3o5Lhv9f6za9o9A
El producto interno te permite también encontrar la proyección de un vector sobre otro vector. Esto es útil en análisis mecánico de fuerzas.
En el minuto 11:55 dice que el resultado de multiplicar un escalar por un n-vector es un escalar. Y eso no es correcto.
Multiplicando un n-vector por un escalar obtengo un n-vector que puede estar incrementado o invertido en su sentido de acuerdo a si el escalar es positivo o negativo
El profesor no transpone al vector “a” simplemente porque si al momento de hacer la multiplicación. El tema es que no explica muy bien porqué:
La cantidad de columnas del primer vector (o matriz) debe coincidir con la cantidad de filas del segundo vector (o matriz). Por eso al primer vector lo vuelve una fila, para que tenga 4 columnas, y al segundo vector lo deja como columna, para que tenga 4 filas. Entonces el producto se realiza entre 2 vectores (matrices para ser más correcto) de 1x4 y de 4x1, dando de resultado una matriz de 1x1.
Hola a todos, por acá un aporte:
La definición de producto escalar con el ángulo entre los vectores y también el resultado del producto escalar de los vectores unitarios.
Nótese que los vectores unitarios forman un ángulo de 90º entre ellos (i.j), (i.k) o (j.k) . Será un ángulo de 0º si el producto es entre un mismo vector unitario (i.i), (j.j) o k.k).
Saludos
El producto interno, también conocido como producto escalar o producto punto, es una operación entre dos vectores que produce un escalar como resultado. El producto interno se define como la suma de los productos de las componentes correspondientes de los dos vectores.
u · v = u₁ * v₁ + u₂ * v₂ + ... + uₙ * vₙ
En Python, puedes calcular el producto interno de dos vectores utilizando la biblioteca NumPy. Aquí tienes un ejemplo:
import numpy as np
u = np.array([1, 2, 3])
v = np.array([4, 5, 6])
producto_interno = np.dot(u, v)
print(producto_interno)
Este profe si explica bastante bien! Felicitaciones!
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