Introducción al curso

1

Vectores y Operaciones Básicas en Álgebra Lineal

Vectores

2

Vectores y escalares: fundamentos y aplicaciones prácticas

3

Vectores y escalares: Notación y ejemplos en Python

4

Modelo de Color RGB en Python: Crea y Manipula Vectores

5

Suma de Vectores: Propiedades y Ejemplos Prácticos

6

Suma de Vectores con NumPy en Python

7

Producto Escalar y Vector: Operaciones y Propiedades Básicas

8

Operaciones de Vectores con Python y NumPy

9

Producto Interno: Operaciones y Propiedades Matemáticas

10

Producto Interno y Polinomios en Python con NumPy

11

Análisis de Sentimientos en Tweets: Evaluación Práctica y Resultados

Funciones lineales

12

Funciones Lineales: Transformar Vectores en Escalares

13

Funciones Lineales: Producto Interno y Superposición

14

Teorema de Ángulos en Intersección de Rectas

15

Funciones Afines y Propiedades de Superposición

16

Aproximaciones de Taylor para funciones no lineales

17

Aproximación de Taylor Multivariable con Python

18

Regresión Lineal: Construye Modelos de Predicción con Datos Numéricos

Norma y distancia

19

Normas y Magnitudes de Vectores: Propiedades y Cálculos en Python

20

Cálculo de distancias entre vectores en Python

21

Priorizar visitas para arrendar usando distancias entre vectores

22

Desviación Estándar de Series de Tiempo con NumPy

23

Modelo de Riesgo-Retorno en Inversiones Accionarias

24

Ángulos y productos punto: cálculo y aplicación en vectores

Clustering

25

Clustering y sus Aplicaciones Prácticas

26

Clustering con Algoritmo K-means: Agrupación de Datos Geométrica

27

Algoritmo K-Means en Python: Implementación Paso a Paso

Cierre

28

Automatización de Tareas con Python

No tienes acceso a esta clase

¡Continúa aprendiendo! Únete y comienza a potenciar tu carrera

Producto Interno: Operaciones y Propiedades Matemáticas

9/28
Recursos

¿Qué es el producto interno?

El conocimiento matemático siempre parece más complejo de lo que es, pero el objetivo es hacer estas nociones más accesibles. Hoy exploraremos el producto interno, una operación especial entre vectores, que promete enriquecer nuestra caja de herramientas matemáticas. Esta operación, conocida también como producto punto, implica la suma de la multiplicación de sus entradas de extremo a extremo, generando un escalar como resultado. Atrévete a descubrir cómo esta operación puede simplificar y forjar una conexión esencial entre tus vectores preferidos.

¿Cómo se define el producto interno de vectores?

El producto interno se aplica a n vectores, y su notación puede variar; desde la típica de corchetes rectos hasta la representación de un punto en centro. Matemáticamente, se define como:

[ \textstyle \sum_{i=0}^{n-1} a_i \cdot b_i ]

Para ilustrarlo con un ejemplo, si tenemos el vector ( a = (1, 2, 3) ) y el vector ( b = (4, 5, 6) ), el producto punto de a y b sería:

[ 1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 = 4 + 10 + 18 = 32 ]

Al final de esta operación, pasamos de tener dos vectores a obtener un número: 32. Este escalar es precisamente lo que fortalece la teoría tras el producto interno.

¿Investigamos la transposición de vectores?

Una herramienta clave al trabajar con vectores es la transposición. Esta operación cambia la forma de un vector de columna a vector renglón o viceversa. Considerando un vector columna ( a = (1, 2, 3)^T ), su transposición sería ( a^T = (1, 2, 3) ). Es fascinante cómo realizando la operación inversa, es decir, transponiendo nuevamente, regresamos al vector original.

Veamos un caso práctico con la transposición: cuando ( a ) es un vector columna y lo transponemos, obtenemos un vector renglón que permite multiplicarse por otro vector columna, logrando así obtener la misma definición del producto punto.

¿Cuáles son las propiedades del producto interno?

Explorar las propiedades del producto interno nos ofrece más flexibilidad:

  1. Conmutatividad: La multiplicación entre los elementos de ( a ) y ( b ) siempre conmuta, es decir:

    [ a^T \cdot b = b^T \cdot a ]

  2. Asociatividad con la multiplicación escalar: La operación no altera al producto interno cuando multiplicamos por un escalar:

    [ (\alpha \cdot a)^T \cdot b = \alpha \cdot (a^T \cdot b) ]

  3. Distributividad sobre la adición de vectores: Facilita efectuar la operación en pasos:

    [ (a + b)^T \cdot c = a^T \cdot c + b^T \cdot c ]

Hemos discutido hasta ahora la suma de vectores, la multiplicación de escalares por vectores, y hoy el producto interno. Mientras la suma y la multiplicación escalar nos devuelven vectores, el producto interno resulta en un escalar. Estos conceptos son esenciales en el análisis vectorial y aplicaciones como la física y el análisis de datos.

Te invito a seguir explorando y aplicando estos fundamentos matemáticos en tus proyectos. ¡La práctica constante te hará dominar estas herramientas!

Aportes 14

Preguntas 3

Ordenar por:

¿Quieres ver más aportes, preguntas y respuestas de la comunidad?

Con el producto punto podemos obtener el angulo formado entre dos vectores a partir de la siguiente formula

Produicto punto en python sin librerias:

def point_product(u, v):
    pp = 0
    if len(u) == len(v):
        for i in range(0, len(u)):
            pp += u[i] * v[i]

    return pp


En python con la libreria numpy usamos la funcion dot() para obtener el producto interno entre vectores.

a = np.array([1,2,3])
b = np.array([5,6,2])

b.dot(a)

>>> 23

Para recordar: Producto punto o producto escalar nos regresa un número

Para recordar: La transpuesta de una columna nos dará un reglón y viceversa

Para recordar: Al multiplicar un vector renglón por un vector columna, tendremos un escalar.

Les recomiendo este post para conocer la utilidad de calcular el producto punto:
¿Qué es el producto punto y para que sirve?

Al parecer en la literatura es más común verlo como “Producto punto” , incluso en algunas librerías como “Dot”.

Para los que tiene problemas con este curso le recomiendo completar lo visto aquí esta lista de reproducción

https://www.youtube.com/playlist?list=PL9SnRnlzoyX2-qH2lY3o5Lhv9f6za9o9A

El producto interno te permite también encontrar la proyección de un vector sobre otro vector. Esto es útil en análisis mecánico de fuerzas.

En el minuto 11:55 dice que el resultado de multiplicar un escalar por un n-vector es un escalar. Y eso no es correcto.
Multiplicando un n-vector por un escalar obtengo un n-vector que puede estar incrementado o invertido en su sentido de acuerdo a si el escalar es positivo o negativo

El profesor no transpone al vector “a” simplemente porque si al momento de hacer la multiplicación. El tema es que no explica muy bien porqué:

La cantidad de columnas del primer vector (o matriz) debe coincidir con la cantidad de filas del segundo vector (o matriz). Por eso al primer vector lo vuelve una fila, para que tenga 4 columnas, y al segundo vector lo deja como columna, para que tenga 4 filas. Entonces el producto se realiza entre 2 vectores (matrices para ser más correcto) de 1x4 y de 4x1, dando de resultado una matriz de 1x1.

Hola a todos, por acá un aporte:
La definición de producto escalar con el ángulo entre los vectores y también el resultado del producto escalar de los vectores unitarios.
Nótese que los vectores unitarios forman un ángulo de 90º entre ellos (i.j), (i.k) o (j.k) . Será un ángulo de 0º si el producto es entre un mismo vector unitario (i.i), (j.j) o k.k).
Saludos

Para los que se pregunten, el coseno, ese que tanto nos enseñan en educación básica e incluso media superior, se trata de una forma de medir que tan lejos a la derecha o izquierda estamos del centro de un circulo, formando angulos en este, ejemplo: Imagina que estas en un parque en ese juego que es un poste con una cuerda amarrada a una pelota, tu sostienes esa pelota con la cuerda de forma que queda la cuerda completamente tensa, si te movieras a los lados, el movimiento de la pelota, hace que formes naturalmente un circulo, pero volvamos al punto donde estás quieto, llamemoslo tu punto de origen, ahí, coseno tiene un valor de 1 porque estás lo más a la derecha que se puede del centro del circulo, si te movieras 180 grados, de modo que estés del otro lado de donde estabas, coseno tendrá el valor de -1, ya que estás lo más a la izquierda posible del centro, ahora, si estuvieras a 90 grados, (arriba de ambos puntos donde ya estuviste), coseno valdría 0, ya que no estás ni a la izquierda ni a la derecha, estás arriba, lo mismo si estás a 270 grados (abajo), coseno es 0. Todo esto contando que es en un sentido contrario a las manecillas del reloj, dejo un dibujo para ilustrar el ejemplo: ![](https://static.platzi.com/media/user_upload/image-043a9d8e-c45d-4567-9557-78f402b61c4e.jpg)![](https://static.platzi.com/media/user_upload/image-14aaa7d6-749f-43a9-9a7e-9b4fa6009d06.jpg)

El producto interno, también conocido como producto escalar o producto punto, es una operación entre dos vectores que produce un escalar como resultado. El producto interno se define como la suma de los productos de las componentes correspondientes de los dos vectores.

  • En matemáticas, el producto interno de dos vectores u y v en ℝⁿ se representa como u · v o ⟨u, v⟩. Se calcula sumando el producto de las componentes correspondientes:
u · v = u₁ * v₁ + u₂ * v₂ + ... + uₙ * vₙ

En Python, puedes calcular el producto interno de dos vectores utilizando la biblioteca NumPy. Aquí tienes un ejemplo:

import numpy as np

u = np.array([1, 2, 3])
v = np.array([4, 5, 6])

producto_interno = np.dot(u, v)

print(producto_interno)

Este profe si explica bastante bien! Felicitaciones!

  • El producto interno es una operación especial entre vectores.