Funciones Lineales y Propiedades de Superposición

Si, es una funcion lineal!

“No hay casi ninguna teoría más elemental que el álgebra lineal, a pesar de que generaciones de profesores y escritores de libros de texto han oscurecido su simplicidad mediante absurdos cálculos” Jean Dieudonne

Me está costando mucho no dormirme en estas clases
Vi algebra lineal en la universidad y estas clases se me hace que se están explicando de manera “complicada” por la sintaxis y l anotación pero creo que la escancia no está quedando muy clara

De las peores clases, no entiendo cual es la obsesión de hacerlo todo con unos y ceros, dura más de 14 minutos y creo que en 5 minutos hubiera queda bien explicado sin tanto rodeo.

def g(x):
    return x[0]

a = np.array([1,1,1,1])
b = np.array([1,0,1,0])
x,y = 1,-2

print('g(x*a + y*b) = ',g(x*a + y*b))

print('x*g(a) + y*g(b) =',x*g(a) + y*g(b))

Output:
g(xa + yb) = -1
xg(a) + yg(b) = -1

SÍ ES LINEAL

<def g(x):
    return x[0]

a = np.array([1,1,1,1])
b = np.array([1,0,1,0])
x,y = 1,-2 #escalares x y y

c = g(x*a + y*b)

d = g(x*a + y*b)

if c == d:

  print('La funcion es homogenea')
>

if g(x*a + y*b) == x*g(a) + y*g(b): 
print('la funcion g es lineal')
else:
 *print('la funcion g no es lineal')

def g(x):
   return x[0]

a = np.array([1,1,1,1])
b = np.array([1,0,1,0])
x,y = 1,-2

print('g(x*a + y*b) = ',g(x*a + y*b))

g(xa + yb) = -1

print('x*g(a) + y*g(b) =',x*g(a) + y*g(b))

xg(a) + yg(b) = -1

Dejo los tres ejercicios para determinar si eran funciones lineales o no. En los tres casos se trataban de tales funciones:

https://github.com/Mgobeaalcoba/proyectos_platzi/blob/main/Ejercicios_de_Funciones_Lineales.ipynb

Durante muchos años me he quejado de que los profes que enseñan matemáticas (en especial a partir de niveles avanzados) no pueden expresar en palabras simples y ejemplos digeribles la cantidad de notación que se usa. Me refiero a que llegan a abusar del formalismo y eso hace que las matemáticas lleguen a ser inaccesibles para quienes más nos cuesta. Puedo contar con una mano a quienes sean capaces de expresar una idea matemática en toda su completitud y que a su vez sea entendible y sobre todo simple. Mis felicitaciones al profe, siga así.

Verificar si la función g(x) es lineal

print('g(x*a + y*b) = ',g(x*a + y*b))
g(x*a + y*b) =  -1

#Comprobando la linealidad (Propiedad de la superposición)
print('x*g(a) + y*g(b) =',x*g(a) + y*g(b))
x*g(a) + y*g(b) = -1

Si una funcion g cumple con la homogeneidad y la aditividad, cumple la superpocision. Y, si cumple con la superpocision, es lineal.

Aquí tienes otros ejemplos de funciones lineales comunes:

Función identidad:

• La función identidad toma un vector de entrada y lo devuelve sin realizar ninguna transformación. Es decir, el vector de salida es igual al vector de entrada.

def identity_function(x):
    return x

Escalamiento:

• La función de escalamiento multiplica cada componente del vector de entrada por una constante. Esto provoca un estiramiento o compresión del vector en función del valor de la constante.

def scaling_function(x, scalar):
    return x * scalar

Rotación en 2D:

• La rotación en 2D es una transformación lineal que rota un vector en el plano xy alrededor del origen. Se puede especificar el ángulo de rotación en sentido antihorario.

import numpy as np

def rotation_2d(x, angle):
    theta = np.radians(angle)
    rotation_matrix = np.array([[np.cos(theta), -np.sin(theta)], [np.sin(theta), np.cos(theta)]])
    return np.dot(rotation_matrix, x)

• Teoremas
  Los ángulos a ambos lados de una recta, que intersecta a otra, siempre suman 180ª.
• Representación producto
  En matemáticas las verdades, cuando son verdades, se demuestran usando argumentos principalmente lógicos. Estas verdades vienen empaquetadas en teoremas, corolarios y lemas. Sino podemos demostrarlo pero creemos que es verdad lo llamamos conjetura.

Aquí está mi función para determinar la linealidad 📈📈:

def linearity(a, b, x, y)-> bool:
    return f(x*a + y*b) == x*f(a) + y*f(b)

Ejercicio propuesto en la clase:

Si se cumple la condición de linealidad.

Sí, g(x) es función lineal.

Dejo la tarea solicitada:

comprobando si es lineal la función proyección

Hola plazitueros!
Previamente definida la** función proyección** y declarados los vectores c y d (componentes iguales a los del profesor), se realiza la tarea de verificar si es lineal, es decir, si es a su vez homogénea y aditiva.

Los resultados indican que la función proyección también es lineal, al igual que la función suma estudiada previamente.
Saludos

Hola amigos,
en el min 2:57 el profe dice que f**(a,b)** = aTb, es el producto de a transpuesta por b transpuesta. En realidad quiso decir a transpuesta por b, ya que solo es la transpuesta de a en esa operación. Se comprende que fue un lapsus ya que antes y después se nota que b no es transpuesta.
Saludos

Buenas tardes como tal lo unico que hice para resolver el ejercicio de esta clase es evaluar lo que hizo el profesor pero ahora con g(x) y me dio como resultado que si era lineal porque por más que intercambiaba los valores siempre se cumplia la superposición.

a = np.array([4,3,2,1])
b = np.array([1,0,1,0])
x, y=1, -2
print(g(x*a+y*b))
print(x*g(a)+y*g(b))

Así lo resolví yo 😃

g(xa + yb) = -1
xg(a) + yg(b) = -1
Si es una función lineal

if g(x*a + y*b) == x*g(a)+y*g(b):
  print('La funcion g es homogenea, aditiva y lineal')

La funcion g es homogenea, aditiva y lineal

def g(x):
  return x[0]

a = np.array([1,1,1,1])
b = np.array([1,0,1,0])
x,y = 1,-2

Comprobamos si es lineal

print('g(x*a + y*b) = ',g(x*a + y*b))

g(xa + yb) = -1

print('x*g(a) + y*g(b) =',x*g(a) + y*g(b))```

xg(a) + yg(b) = -1

Es lineal