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Algunas funciones lineales

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Si, es una funcion lineal!

鈥淣o hay casi ninguna teor铆a m谩s elemental que el 谩lgebra lineal, a pesar de que generaciones de profesores y escritores de libros de texto han oscurecido su simplicidad mediante absurdos c谩lculos鈥 Jean Dieudonne

Me est谩 costando mucho no dormirme en estas clases
Vi algebra lineal en la universidad y estas clases se me hace que se est谩n explicando de manera 鈥渃omplicada鈥 por la sintaxis y l anotaci贸n pero creo que la escancia no est谩 quedando muy clara

De las peores clases, no entiendo cual es la obsesi贸n de hacerlo todo con unos y ceros, dura m谩s de 14 minutos y creo que en 5 minutos hubiera queda bien explicado sin tanto rodeo.

def g(x):
    return x[0]

a = np.array([1,1,1,1])
b = np.array([1,0,1,0])
x,y = 1,-2

print('g(x*a + y*b) = ',g(x*a + y*b))

print('x*g(a) + y*g(b) =',x*g(a) + y*g(b))

Output:
g(xa + yb) = -1
xg(a) + yg(b) = -1

S脥 ES LINEAL

<def g(x):
    return x[0]

a = np.array([1,1,1,1])
b = np.array([1,0,1,0])
x,y = 1,-2 #escalares x y y

c = g(x*a + y*b)

d = g(x*a + y*b)

if c == d:

  print('La funcion es homogenea')
>
if g(x*a + y*b) == x*g(a) + y*g(b): 
print('la funcion g es lineal')
else:
 *print('la funcion g no es lineal')
def g(x):
   return x[0]

a = np.array([1,1,1,1])
b = np.array([1,0,1,0])
x,y = 1,-2

print('g(x*a + y*b) = ',g(x*a + y*b))

g(xa + yb) = -1

print('x*g(a) + y*g(b) =',x*g(a) + y*g(b))

xg(a) + yg(b) = -1

Dejo los tres ejercicios para determinar si eran funciones lineales o no. En los tres casos se trataban de tales funciones:

https://github.com/Mgobeaalcoba/proyectos_platzi/blob/main/Ejercicios_de_Funciones_Lineales.ipynb

Durante muchos a帽os me he quejado de que los profes que ense帽an matem谩ticas (en especial a partir de niveles avanzados) no pueden expresar en palabras simples y ejemplos digeribles la cantidad de notaci贸n que se usa. Me refiero a que llegan a abusar del formalismo y eso hace que las matem谩ticas lleguen a ser inaccesibles para quienes m谩s nos cuesta. Puedo contar con una mano a quienes sean capaces de expresar una idea matem谩tica en toda su completitud y que a su vez sea entendible y sobre todo simple. Mis felicitaciones al profe, siga as铆.

Verificar si la funci贸n g(x) es lineal

print('g(x*a + y*b) = ',g(x*a + y*b))
g(x*a + y*b) =  -1

#Comprobando la linealidad (Propiedad de la superposici贸n)
print('x*g(a) + y*g(b) =',x*g(a) + y*g(b))
x*g(a) + y*g(b) = -1

Si una funcion g cumple con la homogeneidad y la aditividad, cumple la superpocision. Y, si cumple con la superpocision, es lineal.

Aqu铆 tienes otros ejemplos de funciones lineales comunes:

Funci贸n identidad:

  • La funci贸n identidad toma un vector de entrada y lo devuelve sin realizar ninguna transformaci贸n. Es decir, el vector de salida es igual al vector de entrada.
def identity_function(x):
    return x

Escalamiento:

  • La funci贸n de escalamiento multiplica cada componente del vector de entrada por una constante. Esto provoca un estiramiento o compresi贸n del vector en funci贸n del valor de la constante.
def scaling_function(x, scalar):
    return x * scalar

Rotaci贸n en 2D:

  • La rotaci贸n en 2D es una transformaci贸n lineal que rota un vector en el plano xy alrededor del origen. Se puede especificar el 谩ngulo de rotaci贸n en sentido antihorario.
import numpy as np

def rotation_2d(x, angle):
    theta = np.radians(angle)
    rotation_matrix = np.array([[np.cos(theta), -np.sin(theta)], [np.sin(theta), np.cos(theta)]])
    return np.dot(rotation_matrix, x)

  • Teoremas
    Los 谩ngulos a ambos lados de una recta, que intersecta a otra, siempre suman 180陋.
  • Representaci贸n producto
    En matem谩ticas las verdades, cuando son verdades, se demuestran usando argumentos principalmente l贸gicos. Estas verdades vienen empaquetadas en teoremas, corolarios y lemas. Sino podemos demostrarlo pero creemos que es verdad lo llamamos conjetura.

Aqu铆 est谩 mi funci贸n para determinar la linealidad 馃搱馃搱:

def linearity(a, b, x, y)-> bool:
    return f(x*a + y*b) == x*f(a) + y*f(b)

Ejercicio propuesto en la clase:

Si se cumple la condici贸n de linealidad.

S铆, g(x) es funci贸n lineal.

Dejo la tarea solicitada:

comprobando si es lineal la funci贸n proyecci贸n

Hola plazitueros!
Previamente definida la** funci贸n proyecci贸n** y declarados los vectores c y d (componentes iguales a los del profesor), se realiza la tarea de verificar si es lineal, es decir, si es a su vez homog茅nea y aditiva.

Los resultados indican que la funci贸n proyecci贸n tambi茅n es lineal, al igual que la funci贸n suma estudiada previamente.
Saludos

Hola amigos,
en el min 2:57 el profe dice que f**(a,b)** = aTb, es el producto de a transpuesta por b transpuesta. En realidad quiso decir a transpuesta por b, ya que solo es la transpuesta de a en esa operaci贸n. Se comprende que fue un lapsus ya que antes y despu茅s se nota que b no es transpuesta.
Saludos

Buenas tardes como tal lo unico que hice para resolver el ejercicio de esta clase es evaluar lo que hizo el profesor pero ahora con g(x) y me dio como resultado que si era lineal porque por m谩s que intercambiaba los valores siempre se cumplia la superposici贸n.

a = np.array([4,3,2,1])
b = np.array([1,0,1,0])
x, y=1, -2
print(g(x*a+y*b))
print(x*g(a)+y*g(b))

As铆 lo resolv铆 yo 馃槂

g(xa + yb) = -1
xg(a) + yg(b) = -1
Si es una funci贸n lineal

if g(x*a + y*b) == x*g(a)+y*g(b):
  print('La funcion g es homogenea, aditiva y lineal')

La funcion g es homogenea, aditiva y lineal
def g(x):
  return x[0]

a = np.array([1,1,1,1])
b = np.array([1,0,1,0])
x,y = 1,-2

Comprobamos si es lineal

print('g(x*a + y*b) = ',g(x*a + y*b))

g(xa + yb) = -1

print('x*g(a) + y*g(b) =',x*g(a) + y*g(b))```

xg(a) + yg(b) = -1

Es lineal