En este video hay una excelente explicación de lo que son las aproximaciones de Taylor y McLauren. En él se habla de funciones de una variable, pero el concepto aplica en esta lección en la que tenemos una función vectorial y multivariada.
Introducción al curso
Vectores en Álgebra Lineal: Definición y Operaciones Básicas
Vectores
Vectores y Escalares: Conceptos y Operaciones Básicas
Convenciones y Notación en Vectores y Escalares
Modelo RGB y su implementación en Python
Adición de Vectores: Conceptos y Propiedades Básicas
Suma de Vectores en Python con NumPy
Producto Escalar-Vectores: Conceptos y Propiedades Básicas
Operaciones con Escalares y Vectores en Python usando NumPy
Producto Interno de Vectores: Definición y Propiedades
Producto Interno de Vectores en Python con NumPy
Análisis de Sentimientos de Tweets con Vectores de Palabras
Funciones lineales
Funciones Lineales: Transformación de Vectores en Escalares
Funciones Lineales y Propiedades de Superposición
Teoremas y Corolarios en Funciones Lineales
Funciones Afines: Propiedades y Ejercicios Prácticos
Aproximaciones de Taylor: Modelos Lineales de Funciones No Lineales
Aproximaciones de Taylor y análisis de error en Python
Regresión Lineal con Datos Geográficos y Socioeconómicos
Norma y distancia
Propiedades y Cálculo de la Norma de Vectores
Cálculo de Distancias entre Vectores usando Normas Euclidianas y LP
Optimización de Visitas para Arrendar Departamentos
Cálculo de Desviación Estándar en Series de Tiempo con NumPy
Modelo de Riesgo Retorno en Inversiones de Acciones
Cálculo de Ángulos y Correlación entre Vectores
Clustering
Clustering con K-Means: Teoría y Aplicación Práctica
Algoritmo K-means: Clustering Geométrico Sin Matemáticas
Programación del Algoritmo K-means en Python
Cierre
Programación de Clústers y Análisis de Sentimientos
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Aproximaciones de Taylor: Modelos Lineales de Funciones No Lineales
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¿Qué son las aproximaciones de Taylor?
Las aproximaciones de Taylor son una herramienta fundamental en cálculo diferencial que nos permite simplificar y trabajar con funciones no lineales. Las funciones no lineales, a menudo presentes en los fenómenos de la realidad, pueden ser complicadas de manejar. La aproximación de Taylor nos ayuda a aproximarlas mediante funciones lineales o afines en pequeñas vecindades de un punto de interés.
¿Cómo funciona la aproximación de primer orden?
Para entender la aproximación de primer orden, supongamos que tenemos una función diferenciable que va de (\mathbb{R}^n) a (\mathbb{R}). La aproximación de Taylor de primer orden cerca de un punto (z) se representa con la función (f) evaluada en (z), sumada al producto de la derivada parcial de (f) con las componentes de (x - z).
El gradiente, denotado como un vector, comprende cada derivada parcial evaluada en (z), multiplicando al vector (x - z). Este modelo nos permite aproximar la función original de manera lineal al rededor de (z).
Ejemplo práctico: Aplicación en una función no lineal
Consideramos una función (f) que va de (\mathbb{R}^2) a (\mathbb{R}), donde (f(x) = x_0 + \exp(x_1 - x_0)). Para calcular la aproximación de Taylor alrededor de (z = (1, 2)):
-
Derivadas parciales:
- La derivada respecto a (x_0) es (1 - \exp(z_1 - z_0)).
- La derivada respecto a (x_1) es (\exp(z_1 - z_0)).
-
Vector gradiente:
- Evaluamos el vector gradiente en el punto (z).
¿Por qué es importante comprender Taylor?
La comprensión de las aproximaciones de Taylor es esencial para poder modelar y resolver problemas complejos de manera simplificada. Ofrece un marco compatible con las herramientas de cálculo y permite encontrar soluciones afines a problemas no lineales.
Recomendación para consolidación
Para dominar este contenido, es recomendable haber completado un curso de cálculo que ofrezca las bases del cálculo diferencial. Con una base sólida, se podrá abordar esta técnica con mayor confianza y efectividad.
Futuras sesiones y aplicaciones
En sesiones posteriores, se continuará con la evaluación del vector gradiente utilizando herramientas como Python, ofreciendo ejemplos prácticos más visuales y comprensibles para integrar el conocimiento teórico con la práctica aplicada. ¡Sigue aprendiendo y no dudes en explorar cursos adicionales para fortalecer tus habilidades matemáticas!
Aportes 32
Preguntas 1
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El curso recomendado a la fecha no ha sido “liberado”
Si no entienden la notación del gradiente y las derivadas parciales, les recomiendo que le den una checada al siguiente curso, en la parte de cálculo diferencial y cálculo multivariable
creo que a muchas personas se les dificultara mucho esta clase y la posterior, sin tener conocimientos básicos de calculo diferencial, pues el curso de calculo aun no esta disponible aquí en platzi
Beuno, quizás de algo sirva dejar por lo pronto los vídeos de Khan Academy en matemáticas
El hecho de que la mayoría de los comentarios recomiendan libros, cursos o enlaces de youtube creo que es señal suficiente de que el alumno que llega a esta instancia va a estar bastante perdido. No estoy muy conforme con el curso la verdad.
seguí el consejo del profesor e hice el curso de calculo para análisis de datos para reforzar varios conceptos, vine nuevamente y entiendo todo muchísimo mejor
-
Está mal la fórmula del polinomio de taylor. Faltan las potencias que se van incrementando hasta n-1.
-
En un curso de álgebra lineal quizás no habría que ahondar en complicados conceptos del cálculo diferencial, más aun, no se debería asumir que los alumnos ya conocen todos esos conceptos.
Este curso de Platzi de seguro les ayuda
Curso de Cálculo Multivariable mientras liberan el de calculo 😉
En este video se explica claramente la serie de Taylor, que simplificando es: Sea f(x) una función cualquiera y a un valor en el eje X que hace de referencia para aproximar a dicho valor.
Teniendo esto encuenta aplicamos lo siguiente:
Como se observa en la imagen la sumatoria va hasta el infinito, más si solo se desea un aproximado parcial puede ir hasta un número determinado
Hola platzitueros!
Cuan importante es dominar el cálculo. En este caso se debe tener claro cómo derivar y la aplicación de la famosa regla de la cadena; luego el significado de derivadas parciales , donde se realiza respecto a una variable en específico (en la dirección de un eje, al verificar la tridimensionalidad); Acá también se utilizan las derivadas sucesivas. Les comparto una gráfica del concepto y ejemplo tomado de internet.
Saludos
se acuerdan que las suma vectorial es X+Y =[x0+y0, x1+y1, x2+y2...] ?
también recuerdan que el producto escalar entre vectores es X•Y =[x0•y0+ x1•y1+x2•y2+...] y que es igual a X(traspuesto)•Y ?
también hay que recordar que el gradiente es un vector (que llamaremos D)
entonces
si agarramos la serie
d f(z) d f(z)
——— (z0-x0)+ ———(z1-x1)···
dx dy
los términos que son derivada son el vector gradiente que están multiplicando (o sea, están haciendo producto escalar) a los términos (z-x) y a su vez estos termino son la expansión de hacer la resta vectorial (Z-X) termino a termino. espero que este intento de explicación sirva de algo.
Como complemento a la clase les comento que una serie de taylor, va aproximando cada vez mejor una función, mientras se van tomando más términos, los cuales van aumentando de grado el polinomio, así como la derivada de la función.
Si quieren ahondar en el tema, revisen este artículo en wikipedia
Acá una corta explicación del ejemplo:
Las aproximaciones de Taylor son un método utilizado en cálculo para estimar el valor de una función alrededor de un punto utilizando una serie de términos polinomiales. La aproximación de Taylor de primer orden se expresa como:
f(x) ≈ f(a) + f'(a) * (x - a)
-
Donde f(x) es la función que se desea aproximar, f(a) es el valor de la función en el punto a, f’(a) es la derivada de la función evaluada en el punto a, y (x - a) es la distancia entre el punto x y el punto a.
-
Para utilizar las aproximaciones de Taylor de orden superior, se incluyen términos adicionales en la serie polinomial. La aproximación de Taylor de segundo orden se expresa como:
f(x) ≈ f(a) + f'(a) * (x - a) + (1/2) * f''(a) * (x - a)^2
- En general, la aproximación de Taylor de orden n se expresa como:
f(x) ≈ f(a) + f'(a) * (x - a) + (1/2!) * f''(a) * (x - a)^2 + (1/3!) * f'''(a) * (x - a)^3 + ... + (1/n!) * f^(n)(a) * (x - a)^n
- Donde f^(n)(a) representa la n-ésima derivada de la función evaluada en el punto a.
Les recomiendo poner este curso después del de calculo diferencial e integral debido que las personas que lleguen a este punto sin ese conocimiento se van a sentir extremadamente perdidas y el profesor por más bueno que sea si no tienes esos conocimientos basicos, te va ha aparecer que las cosas suceden por arte de magia.
Este video lo explica chevere, aunque está en ingles xd:
https://www.youtube.com/watch?v=3d6DsjIBzJ4
Si al ver este video sentiste como la mente se te volvía cuadrito.
no te preocupes ni te frustres.
ten encuenta que las matematicas son un lenguaje por lo que no solo es saber operar con ellas si no tambien saber leerlas.
asi que, no te frustres, sigue caminando seguramente poco a poco le vas cogiendo el hilo a todo.
y si no le coges el hilo a este curso seguramente lo haras con otro.
porque afortunadamente TODOS estan conectados de manera que lo que ves en uno, lo vas a ver si o si en otro.
asi que parchese parcero.
Que gran talento el del profe!, sabe leer muy bien. Sigue así!
Por que son derivadas parciales y que significa el gorrito en la f?, yo conocia otra notación de las series de taylor
Recomiendo ver este video, me ayudo a entender la notacion que de entrada no es clara: <https://www.youtube.com/watch?v=NY85ZX_NHmY>
LA capacidad pedagógica de Ulises es muuuuy cuestionable, el peor curso que he tomado en Platzi. Me da tedio seguir viendo estos videos.
- Quien nos otorga las herramientas para poder trabajar de forma organizada para poder encontrar ese modelo es el calculo diferencial.
- En este caso nos referiremos a la aproximación como modelo para recordar que la aproximación es solamente eso, una aproximación.
- Aproximación de Taylor
La mayoría de fenómenos de la realidad solo pueden ser aproximados a través de funciones no-lineales y algunas veces es más sencillo aproximarnos con funciones afines o lineales.
Este artículo me ayudo mucho a entender las Aproximaciones de Taylor. complementan muy bien lo que nos enseña el profe.
Les recomiendo ver este video, dura una hora pero entenderán mejor muchas cosas
En esta clase se explica la parte relacionada con el gradiente:
https://platzi.com/clases/2155-calculo-data-science/35464-subamos-con-el-gradiente/
En esta clase se explica de manera gráfica cómo funcionan las derivadas parciales. Es útil para comprender mejor lo que explica el profesor en esta clase:
https://platzi.com/clases/2155-calculo-data-science/35457-derivadas-parciales/
#Calcular las derivadas utilizando Python
import sympy as sp
x0 = sp.Symbol('x0')
x1 = sp.Symbol('x1')
fx = x0 + sp.exp(x1-x0)
fx0 = fx.diff(x0)
fx1 = fx.diff(x1)
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