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C贸mo calcular distancias de vectores

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Estimados en estricto rigor las demostraciones que se est谩n llevando a cabo de la propiedades que hemos estado viendo est谩n incompletas, los invito a demostrarlas matem谩ticamente( como el profesor lo hizo con la demostraci贸n de la igualdad de los 谩ngulos opuestos por el v茅rtice), ya que con tan solo demostrarlas para UN VALOR EN PARTICULAR no nos garantiza que sea cierta para todos los valores, incluso usando programaci贸n. Los invito a revisar literatura respecto de como entender y hacer demostraciones en matem谩ticas, los textos de Polya van en ese sentido.

Ligero detalle; la funci贸n sqrt se lee 鈥淪quare Root鈥, es decir; ra铆z cuadrada.

Hola amigos,
Norma, m贸dulo o valor absoluto de un vector.
Cumple con las propiedades indicadas por el profesor. La demostraci贸n que deja propuesta se realiza colocando dentro de la ra铆z la suma de componente a componente iguales de cada n-vector (x e y) al cuadrado; desarrollando los productos notables y simplificando. se llega a la demostraci贸n.
En efecto, el m贸dulo, norma o valor absoluto del vector es muy importante en la aplicaci贸n de f铆sica en la vida real ya que en un vector desplazamiento significar谩 la distancia, para un vector fuerza su m贸dulo ser谩 la intensidad de ella. lo mismo pata las magnitud vectoriales velocidad y aceleraci贸n.
Saludos

Hola amigos.
Para complementar en la clase tambi茅n pueden usar librer铆a de numpy ** np.linalg.norm(u)** la cual calcula la norma y se ahorrar铆an crear la funci贸n que hace esa tarea:

Demostraci贸n matem谩tica de la desigualdad triangular:
link

Con estas funciones pueden comprobar la norma de una suma, para cualquier par de n-vectores ambas dan el mismo resultado:

def normasuma(x,y):
  return np.sqrt(norma(x)**2+2*[email protected]+norma(y)**2)

def norma(x):
    return np.sqrt([email protected])

u = np.array([2,2])
v = np.array([3,4])

norma(u+v)
normasuma(u,v)

La demostraci贸n de la norma de la suma:

Se realiz贸 de la siguiente forma:

Asignaci贸n de los vectores.

x = np.array([1,5,9,8])
y = np.array([5,8,3,6])
print(norma(x+y))

Desarrollo de las componentes de la ra铆z cuadrada.

x1 = norma(x)**2
y1 =norma(y)**2
a = 2*[email protected]
suma = x1 + y1 + a
print(np.sqrt(suma))

Resultado = 23.345235059857504 Para ambos casos.

Un espacio vectorial es el objeto b谩sico de estudio en 谩lgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores. Sobre los vectores se pueden realizar dos tipos de operaciones:
La multiplicaci贸n por escalares y la adici贸n. Es importante conocer la longitud de los vectores. Para esto es necesario definir un operador norma que determine la longitud o magnitud del vector.

M茅todo de numpy para calcular la norma del vector 鈥榓鈥 sin tener que crear una funci贸n:

np.linalg.norm(a)

Demostraci贸n en python de 鈥淣orma de una suma鈥

import numpy as np

def norma(x):
  return np.sqrt(x@x)
def norma_suma(x,y):
  return np.sqrt(x@x+2*x@y+y@y)

x = np.array([1,2])
y = np.array([-1,-3])

print('||x+y|| = ', norma(x+y))
print('sqrt{||x||^{2} + 2x^{T}y + ||y||^{2}} = ', norma_suma(x,y))

Respuesta:
||x+y|| =  1.0
sqrt{||x||^{2} + 2x^{T}y + ||y||^{2}} =  1.0