Cómo calcular distancias de vectores

Estimados en estricto rigor las demostraciones que se están llevando a cabo de la propiedades que hemos estado viendo están incompletas, los invito a demostrarlas matemáticamente( como el profesor lo hizo con la demostración de la igualdad de los ángulos opuestos por el vértice), ya que con tan solo demostrarlas para UN VALOR EN PARTICULAR no nos garantiza que sea cierta para todos los valores, incluso usando programación. Los invito a revisar literatura respecto de como entender y hacer demostraciones en matemáticas, los textos de Polya van en ese sentido.

Ligero detalle; la función sqrt se lee “Square Root”, es decir; raíz cuadrada.

Hola amigos,
Norma, módulo o valor absoluto de un vector.
Cumple con las propiedades indicadas por el profesor. La demostración que deja propuesta se realiza colocando dentro de la raíz la suma de componente a componente iguales de cada n-vector (x e y) al cuadrado; desarrollando los productos notables y simplificando. se llega a la demostración.
En efecto, el módulo, norma o valor absoluto del vector es muy importante en la aplicación de física en la vida real ya que en un vector desplazamiento significará la distancia, para un vector fuerza su módulo será la intensidad de ella. lo mismo pata las magnitud vectoriales velocidad y aceleración.
Saludos

Hola amigos.
Para complementar en la clase también pueden usar librería de numpy ** np.linalg.norm(u)** la cual calcula la norma y se ahorrarían crear la función que hace esa tarea:

Demostración matemática de la desigualdad triangular:
link

Con estas funciones pueden comprobar la norma de una suma, para cualquier par de n-vectores ambas dan el mismo resultado:

def normasuma(x,y):
  return np.sqrt(norma(x)**2+2*[email protected]+norma(y)**2)

def norma(x):
    return np.sqrt([email protected])

u = np.array([2,2])
v = np.array([3,4])

norma(u+v)
normasuma(u,v)

La demostración de la norma de la suma:

Se realizó de la siguiente forma:

Asignación de los vectores.

x = np.array([1,5,9,8])
y = np.array([5,8,3,6])
print(norma(x+y))

Desarrollo de las componentes de la raíz cuadrada.

x1 = norma(x)**2
y1 =norma(y)**2
a = 2*[email protected]
suma = x1 + y1 + a
print(np.sqrt(suma))

Resultado = 23.345235059857504 Para ambos casos.

Un espacio vectorial es el objeto básico de estudio en álgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores. Sobre los vectores se pueden realizar dos tipos de operaciones:
La multiplicación por escalares y la adición. Es importante conocer la longitud de los vectores. Para esto es necesario definir un operador norma que determine la longitud o magnitud del vector.

Método de numpy para calcular la norma del vector ‘a’ sin tener que crear una función:

np.linalg.norm(a)

Demostración en python de “Norma de una suma”

import numpy as np

def norma(x):
  return np.sqrt(x@x)
def norma_suma(x,y):
  return np.sqrt(x@x+2*x@y+y@y)

x = np.array([1,2])
y = np.array([-1,-3])

print('||x+y|| = ', norma(x+y))
print('sqrt{||x||^{2} + 2x^{T}y + ||y||^{2}} = ', norma_suma(x,y))

Respuesta:
||x+y|| =  1.0
sqrt{||x||^{2} + 2x^{T}y + ||y||^{2}} =  1.0