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Máximos y mínimos: subidas y bajadas en una montaña rusa

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Teorema de la Primera Derivada

  • Si f’(x)>0 hacia la izquierda de un punto a y si f’(x)<0 hacia la derecha del punto a, entonces f tiene un máximo relativo en (a, f(a))
  • Si f’(x)<0 hacia la izquierda de un punto a y si f’(x)>0 hacia la derecha del punto a, entonces f tiene un mínino relativo en (a, f(a))
  • Si f’(x) es menos o mayor de ambos lados, no es ni un máximo ni un mínimo

Teorema de la Segunda Derivada

  • Si f’’(x)<0 entonces f tiene un máximo relativo en (x, f(x))
  • Si f’’(x)>0 entonces f tiene un mínimo relativo en (x, f(x))
  • Si f’’(x)=0 no se puede determinar si es un máximo o un mínimo o ninguno de los dos. Se debe utilizar el teorema de la primera derivada para poder determinarlo

Criterio de la Primera Derivada y Criterio de la Segunda Derivada
https://youtu.be/yVWvNE5G6_Y

f´(x) = 0 --> Cambio en la pendiente. Se evalua si puede ser máximo o mínimo.
f´´(x) = 0 --> Cambio en la concavidad. Se evalúa si es cóncava o convexa (es decir, hacia donde se abre la función).

la primera derivada = 0 te encuentra un punto maximo o minimo
.
Pero la segunda derivada = 0 te encuentra la concavidad lo cual confirma si es maximo o minimo.
.

Teorame de la primera derivada nos dice que: dado un intervalo cerrado |a,b| el cual es derivable en todo punto y que un punto c dentro de |a,b| evaluado en f '© = 0 o f '© no existe
teninedo esto en cuenta sabremos que:
a) Si f '(x) es positiva para todo x < c, y negativa para todo x > c, entonces f© es un valor máximo relativo de f(x).

b) Si f '(x) es negativa para toda x < c, y positiva para toda x > c, entonces f© es un mínimo relativo de f(x)

c) Si f '(x) es positiva para todo x < c y también lo es para todo x > c; o si f '(x) es negativa para todo x < c y a su vez para todo x > c, entonces f© no es un valor máximo relativo ni un valor mínimo relativo de f(x).

El teorema de la segunda derivada nos dice:
Sea f una funcion dos veces derivable en el intervalo |a,b| y dicho intervalo sea un sub conjunto de los reales y z pertenesca a |a,b| de tal forma que f '(z) = 0 entonces se entiende que:
SI f ‘’(z) < 0 entonces f tiene un maximo relativo en z
SI f ‘’(z) > 0 entonces f tiene un minimo relativo en z

PRIMERA DERIVADA: Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado para determinar los mínimos relativos y máximos relativos que pueden existir, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico c. Teorema Valor máximo y Mínimo "Sea c un punto crítico de una función f que es continua en un intervalo abierto b que contiene a c.

TEOREMA

Si f es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en c, entonces f© puede clasificarse como sigue.

  1. Si f’(x) cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo relativo en (c , f© ).

  2. Si f’(x) cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo relativo en (c ,f© ).

  3. Si f’(x) es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados de c, entonces f© no es ni un mínimo ni un máximo relativo.

SEGUNDA DERIVADA: se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos. Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo abierto que contiene a c, y f’© = 0, f’© debe ser un mínimo relativo de f. De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a c , y f’©= 0 debe ser un máximo relativo de f . Teorema Sea f una función tal que f’©= 0 y la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que contiene a c 1.

TEOREMA

Si f’'© > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en (c,f©).

Si f’'© < 0, entonces f tiene un máximo relativo en (c,f© ).

Si f’'© = 0, entonces el criterio falla. Esto es, f quizás tenga un máximo relativo en c, un mínimo relativo en (c , f’© ) o ninguno de los dos. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada o el criterio de la tercera derivada.

TEOREMA DE LA PRIMERA DERIVADA
1.- Hallar la derivada de la función.
2.- Obtener los valores de x, para los cuales la derivada es 0 o no existe. Se conocen como valores críticos.
3.- Investigar el cambio de signo de la derivada al pasar x creciendo por cada valor crítico, deduciendo si es máximo o mínimo.

TEOREMA DE LA SEGUNDA DERIVADA
1.- Obtener la primera derivada y la segunda derivada de la función.
2.- Hallar los valores críticos que anulan a la primera derivada.
3.- Calcular el valor de a segunda derivada para cada uno de los valores críticos. Si el valor de la segunda derivada es positivo es un valor crítico, entonces se tiene es ese punto un mínimo en la función. Si el valor de la segunda es negativo es un valor crítico, entonces en ese punto se tiene un máximo.

Teorema de la primera derivada

  • Si la derivada cambia de positivo a negativa en un punto, se tiene un máximo local.
  • Si la derivada cambia de negativo a positivo en un punto, se tiene un mínimo local.
  • Si la derivada se mantiene en un mismo signo, no hay ni máximo ni mínimo.

El teorema de la Primera Derivada

Si f’(x)>0 hacia la izquierda de un punto a y si f’(x)<0 hacia la derecha del punto a, entonces f tiene un máximo relativo en (a, f(a))
Si f’(x)<0 hacia la izquierda de un punto a y si f’(x)>0 hacia la derecha del punto a, entonces f tiene un mínino relativo en (a, f(a))
Si f’(x) es menos o mayor de ambos lados, no es ni un máximo ni un mínimo
Teorema de la Segunda Derivada

Si f’’(x)<0 entonces f tiene un máximo relativo en (x, f(x))
Si f’’(x)>0 entonces f tiene un mínimo relativo en (x, f(x))
Si f’’(x)=0 no se puede determinar si es un máximo o un mínimo o ninguno de los dos. Se debe utilizar el teorema de la primera derivada para poder determinarlo

Máximos y mínimos

Máximos, Mínimos y Puntos de inflexión


¿Cómo hallarlos matemáticamente?

  • Primero hay que tener claro que son los valores críticos en una función. Los valores críticos son simplemente los datos de entrada que al meter a una función nos da como resultado 0.

  • Ahora, lo primero que hay que hacer es hallar los valores críticos de la 1era derivada.
    Al hallar los valores críticos de la 1era derivada este valor puede ser una de 3 cosas. Máximo, mínimo o punto de inflexión.

  • La manera para hallar cuál de estas 3 opciones es el valor crítico (sin graficar la función original) son las siguientes:

    1. Máximo o Mínimo: Ingresando los valores críticos de la 1era derivada a la 2da derivada puedes saber si este es un máximo o un mínimo. Solo tienes que ver si el resultado de cada valor crítico ingresado en la 2da derivada es positivo (+) o negativo (-). Si es positivo es un mínimo, si es negativo es un máximo.
    2. Punto de inflexión: Con el punto de inflexión solo necesitas la 1ra derivada. Lo único que tienes que hacer es ingresar un dato de entrada menor al punto crítico y un dato de entrada mayor al punto crítico. Si el signo de los resultados (positivo (+) o negativo (-) ) son iguales entonces el valor crítico es un punto de inflexión. Si son diferentes no lo es.
      .

Para que lo veas gráficamente este video es muy bueno.

Criterio de la Primera Derivada y Criterio de la Segunda Derivada

¿Cómo sacar un mínimo o un máximo?

  • Se deriva la función, se la iguala a 0 (significa que no hay pendiente y, por lo tanto, es un min. o max.) y se despeja (aquí obtienes la coordenada X del min. o max.).
    .
  • Luego, el valor obtenido se lo evalúa en la función original (aquí obtienes la coordenada Y del min. o max.).
    .
  • Para comprobar que realmente estás en el min. o max. debes evaluar la función original en un punto X muy cercano por izquierda y por derecha. Si ambos puntos están por debajo de tu punto min. o max., es un max. y si están por encima, es un min.
    .
  • Otra forma de evaluar es en la función derivada, Si f’(x)>0 hacia la izquierda de un punto a y si f’(x)<0 hacia la derecha del punto a, entonces f tiene un máximo relativo en (a, f(a))
    Si f’(x)<0 hacia la izquierda de un punto a y si f’(x)>0 hacia la derecha del punto a, entonces f tiene un mínino relativo en (a, f(a))
    Si f’(x) es menos o mayor de ambos lados, no es ni un máximo ni un mínimo
    .
  • Una tercera forma de comprobarlo es con la segunda derivada. Si f’’(x)<0 entonces f tiene un máximo relativo en (x, f(x))
    Si f’’(x)>0 entonces f tiene un mínimo relativo en (x, f(x))

Reto:
Si la primera derivada es cero, significa que ahí hay un cambio en el comportamiento de la derivada.
También podemos entender que esa primera derivada es una nueva función y, si le aplicamos otra derivada (segunda derivada) obtendremos un valor que puede ser positivo o negativo, lo que nos indicará si la curva inicial es cóncava o convexa lo que a su vez indicará si es un valor mínimo o un máximo de la función.

No entiendo que significa la expresión “a ojo de buen cubero” que el profesor utiliza en la clase. Alguien me puede explicar?

https://www.youtube.com/watch?v=uPkk-7L6APA
Aquí un video muy bueno explicando el criterio de la primera y segunda derivada.

Acá les dejo información sobre el teorema de la primera derivada (first derivative theorem)

let f be a continuous function.

  • If f ’ (a) = 0 or f ’ (x) does not exists at x = a and if f ’ (x) < 0 to the left of a and f ’ (a) > 0 to the right of a, then f has a relative minimum at x = a.

  • If f ’ (a) = 0 or f ’ (x) does not exists at x = a and if f ’ (x) > 0 to the left of a and f ’ (a) < 0 to the right of a, then f has a relative maximum at x = a.
    If f ’ (a) has the same sign to the left and to the right of x = a, then f does not have a maximum or minimum. It’s an inflection point.

    for the second derivative theorem
    Suppose that both f ’ and f ‘’ exists at x = a and that f ’ (a) = 0 (stationary point).

  • If f ‘’ (a) > 0 , f has a relative minimum at x = a.

  • If f ‘’ (a) < 0 , f has a relative maximum at x = a.

  • If f ‘’ (a) = 0 , no conclusion can be made, use the first derivative theorem.

PRIMERA DERIVADA: Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado para determinar los mínimos relativos y máximos relativos que pueden existir, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico c. Teorema Valor máximo y Mínimo "Sea c un punto crítico de una función f que es continua en un intervalo abierto b que contiene a c.

TEOREMA

Si f es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en c, entonces f© puede clasificarse como sigue.

  1. Si f’(x) cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo relativo en (c , f© ).

  2. Si f’(x) cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo relativo en (c ,f© ).

  3. Si f’(x) es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados de c, entonces f© no es ni un mínimo ni un máximo relativo.

SEGUNDA DERIVADA: se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos. Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo abierto que contiene a c, y f’© = 0, f’© debe ser un mínimo relativo de f. De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a c , y f’©= 0 debe ser un máximo relativo de f . Teorema Sea f una función tal que f’©= 0 y la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que contiene a c 1.

TEOREMA

Si f’'© > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en (c,f©).

Si f’'© < 0, entonces f tiene un máximo relativo en (c,f© ).

Si f’'© = 0, entonces el criterio falla. Esto es, f quizás tenga un máximo relativo en c, un mínimo relativo en (c , f’© ) o ninguno de los dos. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada o el criterio de la tercera derivada.

Fuente:

El criterio de la primera derivada encuentra los mínimos y máximos en la intersección de la función y su derivada. Este video lo explica clara y gráficamente.

https://www.youtube.com/watch?v=yVWvNE5G6_Y