Características de las funciones

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Lectura

Hola, en esta breve clase te presentaré algunas características de las funciones reales que estoy seguro te serán de utilidad en un futuro. Pero antes que nada, ¿por qué se llaman funciones reales? Esto es muy fácil de contestar.

Se les llama funciones reales porque tanto su dominio como el codominio (recuerda que al codominio también se le puede llamar rango o imagen) están contenidos en el conjunto de los números reales. Es decir, el conjunto que contiene a los números racionales e irracionales. En otras palabras cualquier número que se te ocurra que no sea imaginario. Todos los ejemplos que veamos a lo largo de este curso serán sobre números reales.

Una vez que ya tenemos claro cuáles son las funciones reales y por qué se les llama así, pasemos a describir algunas de sus características.

Función par

Una función es par si cumple la siguiente relación a lo largo de su dominio:

Si lo notaste, esta relación nos dice que una función es par si es simétrica al eje vertical (eje Y). Por ejemplo, una parábola es una función es par.

Función impar

Una función es impar si cumple la siguiente relación a lo largo de su dominio:

Esta relación nos indica que una función es impar si es simétrica al eje horizontal (eje X). Por ejemplo, una función cúbica es impar.

Las dos características o propiedades anteriores están muy relacionadas con la simetría. Puedes comprobarlas tú mismo con diferentes funciones e incluso hacer una pequeña rutina en Python que compruebe si una función es par o impar.

Función acotada

Una función es acotada si su codominio (también conocido como rango o imagen) se encuentra entre dos valores, es decir, está acotado. Esta definición se define como que hay un número m que para todo valor del dominio de la función se cumple que:

Por ejemplo, la función seno o coseno están acotadas en el intervalo [-1, 1] dentro de su co-dominio.

Funciones monótonas

Estas funciones son útiles de reconocer o analizar debido a que nos permiten saber si una función crece o decrece en alguno de sus intervalos. Que algo sea monótono significa que no tiene variaciones. Entonces las funciones monótonas son aquellas que dentro de un intervalo I, perteneciente a los números reales, cumple alguna de estas propiedades:

1. La función es monótona y estrictamente creciente:

No te preocupes si es un poco difícil de leer esta definición que para eso estoy aquí para explicarte. La forma correcta de leer esto es “si para todo x1 y x2 que pertenecen al intervalo I, tal que x1 sea menor a x2, si y solo si f(x1) sea menor a f(x2)”. En palabras mucho más sencillas, lo que nos dice esta definición es que x1 siempre tiene que ser menor que x2 en nuestro intervalo I, y que al evaluar x2 en la función el resultado de esto siempre será mayor que si evaluamos la función en x1. Para las siguientes tres definiciones restantes no cambia mucho la forma en la que se interpretan.

2. La función es monótona y estrictamente decreciente:

3. La función es monótona y creciente:

4. La función es monótona y decreciente:

Funciones periódicas

Las funciones periódicas son aquellas que se repiten cada cierto periodo, este periodo se denomina con la letra T. La relación que debe cumplir la función para ser periódica es la siguiente.

Por ejemplo, la función seno y coseno son funciones periódicas con un periodo T = 2π. Es decir que si nosotros calculamos f(x) y calculamos f(x + 2π) en la función seno el valor que nos den ambas expresiones es el mismo.

Funciones cóncavas y convexas

La forma de demostrar la concavidad de una función se puede hacer a través del análisis de derivadas consecutivas, pero aún no llegamos a eso, así que no te preocupes. A continuación, te dejo una forma súper intuitiva de ver si una función es cóncava o convexa.

Se dice que una función dentro de un intervalo es convexa si la función “abre hacia arriba”. Es decir si se ve la siguiente manera:

Ahora, ¿qué sería una función cóncava? Pues así es, lo contrario de una convexa. Se dice que una función dentro de un intervalo es concava si la función “abre hacia abajo”. Es decir si se ve la siguiente manera:

Como ves, identificar si una función es cóncava o convexa a través de su gráfica es muy sencillo. Pero si quieres enfrentar un reto, te dejo que cuando sepas que es una derivada regreses a esta clase y busques la forma de comprobar si una función es cóncava o convexa de forma analítica. Como pista, se hace a través del análisis de la segunda derivada.

Con esta última característica hemos finalizado esta clase 🥳. Te espero en la siguiente clase en donde aprenderás cómo se compone una neurona. Spoiler, está hecha de funciones.

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Para determinar si una función es cóncava o convexa a partir de su segunda derivada, se iguala la segunda derivada a 0. Al despejar x sabremos que en ese x determinado hay un punto de inflexión o un punto crítico (puede ser un punto o varios). Evaluamos la derivada en puntos de x anteriores y posteriores a los puntos críticos: Si el resultado es un número negativo, quiere decir que la función cóncava hacia abajo en ese rango, si el resultado es un número positivo quiere decir que la función en ese rango es convexa hacia arriba.

Ejemplo:

f(x) = x**3

  1. la primera derivada de la función es:
    f’(x) = 3x**2

  2. la segunda derivada es:
    f’’(x) = 6x

  3. igualamos a 0 para hallar puntos críticos:

f’’(x) = 6x = 0
x = 0

  1. Evaluamos la segunda derivada en un punto anterior y un punto posterior 0:

f’’(-1) = 6*(-1) = -6
Quiere decir que la función es cóncava hacia abajo de (-ထ, 0)

f’’(1) = 6*1 = 6
Quiere decir que la función es convexa hacia arriba de (0, ထ)

verificamos con la gráfica

Tienen al reves lo de las funciones cóncavas y convexas.

Las funciones senos y cosenos tiene la particularidad de ser periódicas, con periodo 2π, es decir se repite cada 2π.
también la función coseno es par en cambio la función seno es impar.
![](

En el apartado de funciones monotanas esta escrito “nos permiten si una función crece o decrece” creo que falto “saber”

Buenas tardes,
Una función será cóncava si al unir dos puntos cualesquiera del intervalo I de su dominio, el segmento de unión queda por debajo de la gráfica, es decir que la misma tiene un máximo (similitud a una montaña por analogía)
Por otra parte, la función será convexa si el segmento que une dos puntos cualesquiera en el intervalo de su dominio, queda por encima de su gráfica; es decir, la gráfica tendrá un mínimo (un valle por analogía).

Corrección: La función es impar si es simétrica al origen (0,0), no al eje horizontal.

Lo de las funciones cóncavas y convexas está al revés

¿Cómo saber si una función es cóncava o convexa a través de su derivada?
.
Primero me gustaría que recuerdes que la derivada es la razón de cambio entre los valores del eje Y y el eje X de una función, o sea, entre el rango y el dominio. Entonces, estamos hablando de la tangente de la curva en un punto cualquera.

.
Ahora, ¿cómo determinar si una función es cóncava o convexa?
Supongamos que tenemos la función f, luego obtenemos su derivada f’. Después obtenemos la segunda derivada (la derivada de la derivada) f’’.
.
El siguiente paso es evaluar la segunda derivada en un punto a en el que tanto f como f’ son derivables.

  • Si f’’(a) < 0, la función es cóncava.
  • Si f’’(a) > 0, la función es convexa.

Para los mas curiosos algunas preguntas que nos podemos hacer son las siguientes:

sea f(x) una función par y g(x) una función impar entonces f(g(x)) es función par?

solución:

si f(x) es par —> f(x)=f(-x)
si g(x) es impar —> g(-x)=-g(x)
de donde:

f(g(x))=f(-g(-x))=f(g(-x))=f(-g(x))=f(g(x))

de donde concluimos que si componemos una función par con una función impar el resultado siempre será una función par.

ahora queda para ustedes comprobar, que pasa si componemos un función impar con una función par.

Quiero aclarar que una función f es concava cuando también abre hacia abajo en un intervalo I por lo que -f es concava hacia arriba o convexa. Comparto este enlace para mayor claridad.
función concava

Me perdí un poco en los términos CONDOMINIO y CO-DOMINIO, ambas están correctas o hubo un error al escribir?

Cómo saber si una función es cóncava o convexa ? (Spoiler)
Cóncava => Si f’’(a)< 0
Convexa => Si f’’(a)> 0

Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x_{1} y x_{2}, el segmento que une los puntos (x_{1},f(x_{1})) y (x_{2},f(x_{2})) siempre queda por debajo de la gráfica.

Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x_{1} y x_{2}, el segmento que une los puntos (x_{1},f(x_{1})) y (x_{2},f(x_{2})) siempre queda por encima de la gráfica.

Correción sobre la funcion impar:
Incorrecto:
Esta relación nos indica que una función es impar si es simétrica al eje horizontal (eje X)
.
Correcto
Esta relación nos indica que una función es impar si es simétrica respecto al origen ( es decir despues de hacer un reflejo respecto al eje X y al eje Y)

### funciones monotonas

##### Que algo sea monótono significa que no tiene variaciones

1. La función es monótona y estrictamente creciente:

$$ x_{1}, x_{2} \in I : x_{1} < x_{2} \iff f(x_{1}) < f(x_{2}) $$

2. La función es monótona y estrictamente decreciente:

$$ x_{1}, x_{2} \in I : x_{1} < x_{2} \iff f(x_{1}) > f(x_{2}) $$

3. La función es monótona y creciente:

$$ x_{1}, x_{2} \in I : x_{1} < x_{2} \iff f(x_{1}) \leq f(x_{2}) $$

4. La función es monótona y decreciente:

$$ x_{1}, x_{2} \in I : x_{1} < x_{2} \iff f(x_{1}) \geq f(x_{2}) $$

Veo que hay una gran variedad de funciones,

Si derivamos una función (derivada = pendiente de la recta tangente a la curva de la función en ese punto) y la igualamos a cero (pendiente cero) y despejamos sabemos que en ese punto la función tiene un máximo o un mínimo. Si calculamos el valor de la derivada para un punto cualquiera en el intervalo definido por ese máximo o mínimo; si el valor es > 0 es creciente en ese intervalo y si < 0 es decreciente.
f(x)
f’(x) = 0 máximo o mínimo
f’(x) > 0 creciente
f’(x) < 0 decreciente
Función cóncava: decreciente -> mínimo -> creciente
Función convexa: creciente -> máximo -> decreciente

EL spoiler de final creo que me abrio los ojos. exelente.

Hice un código para verificar si una función era par o impar, donde el usuario ingresa las características de la ecuación y el programa le dice que función es y la plotea

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
N = 100
def f(x):
    return a*x**e + b

x = np.linspace(-10,10, num=N)


while True:
  print(""" Tenemos la función de la sigueinte manera a * x^e + b
  """)
  while True:
    try:
      a= float(input("Ingresa a: "))
      if a == 0:
        print("Ingresa un valor diferente a cero") 
      else:
        e= float(input("INgresa e: "))  
        b= float(input("INgresa b: "))
        break 
    except ValueError:
        print("Debes ingresar un número diferente a cero")

  y  = f(x)
  y1 = -f(x)
  y2 = f(-x)
  if (sum(y2) == sum(y)):
    print("Es una función par")
    break
  elif (sum(y2) == sum(y1)):
    print("Es impar")
    break
  else:
    print("Ninguna")
    break



fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(x,y)
ax.plot(x,y2)
ax.grid()
ax.axhline(y=0, color='r')
ax.axvline(x=0, color='r')

Gracias por los Spoilers gente hahhahaha