Características de las funciones

Para determinar si una función es cóncava o convexa a partir de su segunda derivada, se iguala la segunda derivada a 0. Al despejar x sabremos que en ese x determinado hay un punto de inflexión o un punto crítico (puede ser un punto o varios). Evaluamos la derivada en puntos de x anteriores y posteriores a los puntos críticos: Si el resultado es un número negativo, quiere decir que la función cóncava hacia abajo en ese rango, si el resultado es un número positivo quiere decir que la función en ese rango es convexa hacia arriba.

Ejemplo:

f(x) = x**3

1. la primera derivada de la función es:
   f’(x) = 3x**2

2. la segunda derivada es:
   f’’(x) = 6x

3. igualamos a 0 para hallar puntos críticos:

f’’(x) = 6x = 0
x = 0

1. Evaluamos la segunda derivada en un punto anterior y un punto posterior 0:

f’’(-1) = 6*(-1) = -6
Quiere decir que la función es cóncava hacia abajo de (-ထ, 0)

f’’(1) = 6*1 = 6
Quiere decir que la función es convexa hacia arriba de (0, ထ)

verificamos con la gráfica

Tienen al reves lo de las funciones cóncavas y convexas.

Las funciones senos y cosenos tiene la particularidad de ser periódicas, con periodo 2π, es decir se repite cada 2π.
también la función coseno es par en cambio la función seno es impar.
![](

Función cóncava y convexa
https://www.youtube.com/watch?v=I2T9322j-c4

En el apartado de funciones monotanas esta escrito “nos permiten si una función crece o decrece” creo que falto “saber”

Buenas tardes,
Una función será cóncava si al unir dos puntos cualesquiera del intervalo I de su dominio, el segmento de unión queda por debajo de la gráfica, es decir que la misma tiene un máximo (similitud a una montaña por analogía)
Por otra parte, la función será convexa si el segmento que une dos puntos cualesquiera en el intervalo de su dominio, queda por encima de su gráfica; es decir, la gráfica tendrá un mínimo (un valle por analogía).

Corrección: La función es impar si es simétrica al origen (0,0), no al eje horizontal.

✔ Funciones monótonas explicadas super fácil: https://www.youtube.com/watch?v=5GY_bikduhU&ab_channel=DanielBrunoPesantesAnchundia

Lo de las funciones cóncavas y convexas está al revés

¿Cómo saber si una función es cóncava o convexa a través de su derivada?
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Primero me gustaría que recuerdes que la derivada es la razón de cambio entre los valores del eje Y y el eje X de una función, o sea, entre el rango y el dominio. Entonces, estamos hablando de la tangente de la curva en un punto cualquera.

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Ahora, ¿cómo determinar si una función es cóncava o convexa?
Supongamos que tenemos la función f, luego obtenemos su derivada f’. Después obtenemos la segunda derivada (la derivada de la derivada) f’’.
.
El siguiente paso es evaluar la segunda derivada en un punto a en el que tanto f como f’ son derivables.

• Si f’’(a) < 0, la función es cóncava.
• Si f’’(a) > 0, la función es convexa.

Para los mas curiosos algunas preguntas que nos podemos hacer son las siguientes:

sea f(x) una función par y g(x) una función impar entonces f(g(x)) es función par?

solución:

si f(x) es par —> f(x)=f(-x)
si g(x) es impar —> g(-x)=-g(x)
de donde:

f(g(x))=f(-g(-x))=f(g(-x))=f(-g(x))=f(g(x))

de donde concluimos que si componemos una función par con una función impar el resultado siempre será una función par.

ahora queda para ustedes comprobar, que pasa si componemos un función impar con una función par.

Quiero aclarar que una función f es concava cuando también abre hacia abajo en un intervalo I por lo que -f es concava hacia arriba o convexa. Comparto este enlace para mayor claridad.
función concava

Me perdí un poco en los términos CONDOMINIO y CO-DOMINIO, ambas están correctas o hubo un error al escribir?

Cómo saber si una función es cóncava o convexa ? (Spoiler)
Cóncava => Si f’’(a)< 0
Convexa => Si f’’(a)> 0

Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x_{1} y x_{2}, el segmento que une los puntos (x_{1},f(x_{1})) y (x_{2},f(x_{2})) siempre queda por debajo de la gráfica.

Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x_{1} y x_{2}, el segmento que une los puntos (x_{1},f(x_{1})) y (x_{2},f(x_{2})) siempre queda por encima de la gráfica.

Correción sobre la funcion impar:
Incorrecto:
Esta relación nos indica que una función es impar si es simétrica al eje horizontal (eje X)
.
Correcto
Esta relación nos indica que una función es impar si es simétrica respecto al origen ( es decir despues de hacer un reflejo respecto al eje X y al eje Y)

### funciones monotonas

##### Que algo sea monótono significa que no tiene variaciones

1. La función es monótona y estrictamente creciente:

$$ x_{1}, x_{2} \in I : x_{1} < x_{2} \iff f(x_{1}) < f(x_{2}) $$

2. La función es monótona y estrictamente decreciente:

$$ x_{1}, x_{2} \in I : x_{1} < x_{2} \iff f(x_{1}) > f(x_{2}) $$

3. La función es monótona y creciente:

$$ x_{1}, x_{2} \in I : x_{1} < x_{2} \iff f(x_{1}) \leq f(x_{2}) $$

4. La función es monótona y decreciente:

$$ x_{1}, x_{2} \in I : x_{1} < x_{2} \iff f(x_{1}) \geq f(x_{2}) $$

Veo que hay una gran variedad de funciones,

Si derivamos una función (derivada = pendiente de la recta tangente a la curva de la función en ese punto) y la igualamos a cero (pendiente cero) y despejamos sabemos que en ese punto la función tiene un máximo o un mínimo. Si calculamos el valor de la derivada para un punto cualquiera en el intervalo definido por ese máximo o mínimo; si el valor es > 0 es creciente en ese intervalo y si < 0 es decreciente.
f(x)
f’(x) = 0 máximo o mínimo
f’(x) > 0 creciente
f’(x) < 0 decreciente
Función cóncava: decreciente -> mínimo -> creciente
Función convexa: creciente -> máximo -> decreciente

EL spoiler de final creo que me abrio los ojos. exelente.

Hice un código para verificar si una función era par o impar, donde el usuario ingresa las características de la ecuación y el programa le dice que función es y la plotea

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
N = 100
def f(x):
    return a*x**e + b

x = np.linspace(-10,10, num=N)


while True:
  print(""" Tenemos la función de la sigueinte manera a * x^e + b
  """)
  while True:
    try:
      a= float(input("Ingresa a: "))
      if a == 0:
        print("Ingresa un valor diferente a cero") 
      else:
        e= float(input("INgresa e: "))  
        b= float(input("INgresa b: "))
        break 
    except ValueError:
        print("Debes ingresar un número diferente a cero")

  y  = f(x)
  y1 = -f(x)
  y2 = f(-x)
  if (sum(y2) == sum(y)):
    print("Es una función par")
    break
  elif (sum(y2) == sum(y1)):
    print("Es impar")
    break
  else:
    print("Ninguna")
    break



fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(x,y)
ax.plot(x,y2)
ax.grid()
ax.axhline(y=0, color='r')
ax.axvline(x=0, color='r')

Numeros Reales
https://www.youtube.com/watch?v=xOjQ3u7jSLQ

Gracias por los Spoilers gente hahhahaha