Funciones Matemáticas: Dominio, Rango y Tipos de Funciones

Las funciones son elementos fundamentales cuando trabajamos con cálculo diferencial; por este motivo, en esta sección vamos a estar revisando algunos conceptos importantes sobre funciones, dominio y rango.

¿Qué es una función?

La función es una regla que relaciona a un conjunto de entradas con un conjunto de posibles salidas, donde a cada elemento en la entrada le corresponde únicamente un elemento de la salida.

En consecuencia, vamos a entender una función como una regla que nos va a permitir combinar dos conjuntos: un conjunto de entrada y un conjunto de salida. Esta regla está constituida por la serie de métodos o condiciones que permiten combinar ambos conjuntos.

Las funciones se expresan mediante la letra y, o con el símbolo f(x) indistintamente:

y = f(x)

Donde:
y representa el resultado de la regla o elemento de salida.

f es el nombre de la función. f no es otra cosa más que abreviar función, pero no es la única letra que podemos utilizar. Por ejemplo, si se desea hablar de aceleración, probablemente se emplearía la letra a. Si se habla de velocidad, probablemente se usaría la letra v.

x es la variable que vamos a alimentar. Es el conjunto de datos de entrada.

En consecuencia, lo que vamos a estar haciendo es alimentar a esta regla con datos de entrada (x) para obtener datos de salida (y). De tal manera, que x representa los valores de la recta numérica en el eje horizontal, mientras que y viene a representar los valores en el eje vertical, tal como se muestra en la siguiente imagen:

¿Qué es una función lineal?

Ahora, vamos a revisar la función lineal, entendida esta función como la familia de todas las líneas que se pueden trazar sobre el plano cartesiano.

f(x) = mx + b

o lo que es igual:

y = mx + b

Si te fijas aquí hay tres elementos: y, mx y b. Donde,

• La y representa los resultados de salida. La y también se representa como f(x)

• La m es la pendiente, es decir, cómo se inclina esta línea

• La x son los datos de entrada

• La b es el lugar donde esa línea va a cruzar el eje vertical o eje de las y. Este punto b lo vamos a llamar la intersección con el eje de las y

¿Qué es el dominio?

El dominio es el conjunto de valores que una función admite para ser procesados (las entradas).

En la imagen de conjuntos anterior, hay que hacer una distinción entre los dos tipos de x: una X mayúscula y una x minúscula.

La X mayúscula son todos los valores que se pueden asignar a la función, mientras que la x minúscula son los valores individuales. la X mayúscula es el conjunto de todos los valores y la x minúscula son elementos seleccionados dentro de ese conjunto para alimentar la función.

Esta x minúscula representa el dominio. El dominio son los valores que se van a ingresar como valores de la función.

Codominio y rango de la función

El codominio son todos los posibles valores que resultan de una función, los cuales se van a representar con Y mayúscula.

Rango son los valores que resultan de forma práctica, ya no estamos hablando de un conjunto total sino de un subconjunto del codominio. Estos valores a los que vamos a llamar valores positivos o prácticos representan el rango y se van a representar con la y minúscula.

Volviendo a la imagen de conjuntos anterior, el dominio (x) se encuentra en el lado izquierdo y el codominio (Y) en el lado derecho. Las flechas representan los valores que están conectando a un conjunto con el otro, y ese pequeño elemento más pequeño que está del lado derecho representado por un pequeño óvalo es el rango. Es decir, el rango es una parte del codominio.

Ejercicio práctico de funciones

Vamos a realizar un ejercicio práctico para visualizar mejor todo lo visto hasta este momento. Supongamos la función siguiente:

f(x) = 2x + 1

Hallar los valores de f(x) para x igual a 1, 2, 3 y 4.

En este caso práctico, se identifican claramente los siguientes elementos:

• La función f(x) = 2x + 1
• Valores de entrada x que conforman el conjunto del dominio
• Un conjunto de 10 posibles salidas conformado por el codominio
• Valores específicos de salida (y) o f(x) que representan el rango, el cual es un subconjunto del codominio

¿Con cuáles funciones vamos a trabajar?

Durante el curso se va a trabajar con dos grandes conjuntos de funciones:

• Las funciones de tipo algebraico
• Las funciones de tipo trascendente

Funciones de tipo algebraico

Las funciones algebraicas se pueden escribir en términos de operaciones algebraicas (potenciación, radicación, suma, resta, multiplicación, división). Por ejemplo:

y = 3x^2 z

Esta expresión algebraica en realidad está representándonos algo que se encuentra simplificado, pues esta expresión lo que nos está indicando es que tenemos repetida tres veces la expresión x^2z, es decir:

y = 3x^2 z = xxz + xxz + xxz

Pues, la x^2 es una simplificación de la multiplicación de x por x. Entonces, nos indica que una función algebraica podemos separarla en otros elementos.

Funciones de tipo trascendente

La función trascendente es una función que no satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes sean a su vez polinomios; esto contrasta con las funciones algebraicas, las cuales satisfacen dicha ecuación.

En las funciones trascendentes la variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.

El siguiente es un ejemplo de una función trascendente:

y = 2^x

Esta función nos muestra un problema, pues, anteriormente decíamos que una x^2 representaba la multiplicación de x por x, pero en 2^x surge la pregunta ¿cuántas veces se va a multiplicar el 2 por sí mismo?

La respuesta es que no lo sabemos; entonces si te fijas la forma de escribir esta función es única, es especial, porque no se puede separar en otros componentes. Por esta razón, no podemos entonces confundir las funciones trascendentes con las funciones algebraicas.

Contribución creada con aportes de: Avilio Muñoz Vilchez.