Introducción
¿Para qué sirve el cálculo?
Funciones, dominio y rango
Tipos de funciones
Cómo identificar dominio y rango de una función
Límites
El concepto de límite
Solución gráfica de los límites
Tipos de límites
Resuelve límites algebraicamente
Continuidad
La derivada
La derivada gráficamente
La definición de derivada
Obtención de derivadas utilizando la definición
Interpretando la derivada gráficamente
Derivadas de funciones algebraicas
Derivadas de una función constante y de una función con un multiplicador constante
Derivada de una función potencia
Derivada de una suma o resta de funciones
Derivada de un producto de funciones
Derivada de cociente de funciones
Derivadas de funciones trascendentes
Derivadas de funciones trigonométricas
Derivada de funciones exponenciales
Derivada de funciones logarítmicas
Bonus
Así usamos cálculo en la vida real
Regla de cadena
Qué son las funciones compuestas
Derivadas de funciones compuestas
Conclusión
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Determinar límites a través de gráficos puede ser un método intuitivo, aunque algunas veces impreciso. Dependemos de cómo esté hecho el gráfico y hay funciones que por su complejidad gráfica no permiten este enfoque. Un ejemplo claro es la función seno de una reciprocidad, donde la oscilación es tan intensa que el gráfico no es distinguible a simple vista.
Para analizar una función seccionada, es primero necesario identificar si la función está definida en el punto de interés o no:
Si analizando un gráfico descubres un punto abierto, como en el caso de ( x \approx -5 ), aunque la función no esté definida allí, el comportamiento alrededor del punto puede determinar el límite.
Para determinar el límite en ( x \approx -5 ), observa el comportamiento a medida que ( x ) se acerca a -5 desde ambos lados. La función se aproxima a un valor en particular, que en este caso se encuentra a la altura de -1. Así que ( \lim_{x \to -5} f(x) = -1 ).
Cuando una función presenta una asíntota vertical, el límite normalmente no existe.
Si observas ( x \approx -4 ), notarás que a medida que los valores de ( x ) se acercan a -4, el gráfico de la función se dirige hacia el infinito negativo desde la izquierda y hacia el infinito positivo desde la derecha. Dado que no se aproxima a un número específico, el límite no existe.
A veces, cuando nos acercamos a un ( x ) donde la función está definida, el límite sí puede existir y ser diferente de la evaluación de la función en ese punto.
El punto en ( x = -2 ) está definido en 4, pero el límite al aproximarse a ( x = -2 ) desde ambos lados es 1, porque la función tiende hacia un punto abierto ubicado en esa altura.
Este es un caso donde la función da un salto. El valor de la función en ( x = 3 ) es -2, pero el límite nuevamente no existe. Desde la izquierda, la gráfica se acerca a un punto abierto, mientras que desde la derecha se aproxima a un punto cerrado distinto. Esta discrepancia indica que no hay un límite definido.
Para ( x = 5 ), la función está definida y su continuidad es evidente en el gráfico, ya que se aproxima desde ambos lados hacia un mismo punto. Entonces, ( \lim_{x \to 5} f(x) = 3 ).
Cuando evaluamos hacia el infinito, buscamos entender el comportamiento de la función en extremos absolutos:
Cuando los límites se aproximan desde un solo lado, el comportamiento puede diferir significativamente del análisis bilateral.
Al aproximarse desde la derecha a ( x \approx -6 ), la función se acerca a cero. Esto muestra cómo el análisis unilateral puede simplificar la comprensión del comportamiento local de una función.
Desde el lado derecho en ( x \approx -4 ), se observa que el gráfico crece sin límites, acercándose a infinito, aunque esto indica que el límite no existe porque la función no converge a un valor específico.
Al aproximarse por la derecha a ( x \approx -2 ), el gráfico de la función claramente apunta hacia la coordenada 1, resaltando nuevamente cómo un análisis unilateral simplifica el proceso.
Finalmente, en ( x \approx 1 ) desde la izquierda, la función apunta a un punto abierto a la altura de 3, destacando la importancia del análisis direccional en límites gráficos.
¡Sigue adelante en tu aprendizaje de cálculo! La práctica constante y el intercambio de conocimiento con otros son claves para dominar estos conceptos. Si encuentras desafíos, recuerda compartir tus dudas y respuestas con tus compañeros para juntos avanzar en el aprendizaje.
Aportes 24
Preguntas 6
Me parece que este vídeo está en la posición equivocada, ya que el profesor comienza diciendo que ya vimos la definición de límite (lo cual hasta esta clase no se ha visto, pero si se ve en la siguiente clase).
Ver la siguiente clase antes de ver esta. Espero que el Team Platzi solucione este error.
Algunos conceptos claves de esta clase:
Determinar límites a través de gráficos no siempre es preciso porque hay funciones con gráficas muy completas, como y=sin(1/x)
Las funciones seccionadas o funciones definidas por trozos, son aquellas que cambian su regla dependiendo del valor que tome la variable independiente. Por ejemplo: y=x+1 si x>=0 & y=-(x+1) sin x<0 (Podemos interpretar que es un función que en su interior tiene un condicional. Jajajaja)
Existen puntos abiertos y puntos cerrados, en los primeros la función no está definida y en los segundos sí está definida. Pueden profundizar sobre esto estudiando Intervalos e inecuaciones en esta Lista hay material al respecto.
Si los límites por la izquierda y por la derecha de un punto cualquiera “a” son diferentes, entonces el límite de la función en el punto “a” no existe. Esto puede ocurrir así la función esté definida. También puede ocurrir que la función NO esté definida pero que el límite sí existe. Más adelante estos análisis son muy importantes para definir la continuidad de una función.
Cuando existen asíntotas verticales, la función no está definida. Si la asíntota apunta hacia abajo, el límite tiende a menos infinito y si apunta hacia arriba, el límite tiene a infinito. ¡Pilas! Recuerden que para que el límite bilateral exista, la tendencia por la izquierda y por la derecha debe ser la misma.
Puede ocurrir que al evaluar una función en punto “a” cualquiera, el valor de f(a) sea diferente al límite de la función en el punto “a”. En estos casos NO hay continuidad en ese punto de la función.
Cuando una función tiene comportamiento asintótico horizontal, si la asíntota apunta hacia a la izquierda, el valor del límite cuando x tiende a menos infinito, es igual al valor de la asíntota. Lo mismo ocurre cuando la asíntota apunta hacia a la derecha, en este caso el límite cuando x tiende a infinito, es igual al valor de la asíntota.
No hemos visto la definición de límites 😦
Parte 1:
Parte 2:
9. 𝑙í𝑚𝑥→−7 𝑓(𝑥) = 0,5 Lim. General
10. 𝑙í𝑚𝑥→−5 𝑓(𝑥) = no definida Lim. General
11. 𝑙í𝑚𝑥→−4 𝑓(𝑥) = 1 Lim. General
12. 𝑙í𝑚 𝑥→−3.5 𝑓(𝑥) = no definida Lim. General
13. 𝑙í𝑚 𝑥→−2.5 𝑓(𝑥) = 1 Lim. General
14. 𝑙í𝑚 𝑥→−1.5 𝑓(𝑥) = 2 Lim. General
15. 𝑙í𝑚 𝑥→−1⁄2 𝑓(𝑥) = no definida Lim. General
16. 𝑙í𝑚 𝑥→0.5 𝑓(𝑥) = 0 Lim. General
17. 𝑙í𝑚 𝑥→1.5 𝑓(𝑥) = 1 Lim. General
18. 𝑙í𝑚 𝑥→4 𝑓(𝑥) = no definida Lim. General
19. 𝑙í𝑚 𝑥→4.5 𝑓(𝑥) = -1 Lim. General
20. 𝑙í𝑚 𝑥→5 𝑓(𝑥) = no definida Lim. General
21. 𝑙í𝑚 𝑥→−5+ 𝑓(𝑥) = inf+ Lim. Unilateral Infinito
22. 𝑙í𝑚 𝑥→−3.5− 𝑓(𝑥) = -1 Lim Unilateral
23. 𝑙í𝑚 𝑥→−0.5+ 𝑓(𝑥) = -1 Lim Unilateral
24. 𝑙í𝑚 𝑥→4− 𝑓(𝑥) = 1,5 Lim Unilateral
25. 𝑙í𝑚 𝑥→4+ 𝑓(𝑥) = -1 Lim Unilateral
26. 𝑙í𝑚 𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = 1 Lim. al Infinito
27. 𝑙í𝑚 𝑥→5+ 𝑓(𝑥) = inf+ Lim. Unilateral Infinito
28. 𝑙í𝑚 𝑥→5.5− 𝑓(𝑥) = 3 Lim. Unilateral
El límite bilateral en un punto puede ser diferente a los límites laterales.
El límite en un punto puede ser diferente al valor de la función en dicho punto.
La secuencia del curso está equivocada en este punto. Primero va la clase 6 y luego la 5. Es necesario primero presentar el concepto de límite L en forma intuitiva y luego formalizada como lo hace en esta clase el profe.
Muy interesante la conceptualización de esta clase. La generación intuitiva del conocimiento del alumno, antes de pasar a la elaboración algebraica es crucial.
Empecé con un poco de complicaciones, pero con forme vas haciendo los ejerciciós vas agarrando la onda 😄
Parte 1:
1. 𝑓(−7) = no existe
2. 𝑓(−5.5) = -1
3. 𝑓(−5) = no existe
4. 𝑓(−3.5) = no existe
5. 𝑓(−1.5) = 3
6. 𝑓(−0.5) = -2
7. 𝑓(4) = 1.5
8. 𝑓(5) = no existe
Parte 2:
9. 0.5
10. no existe
11. 1
12. no existe
13. 1
14. 2
15. no existe
16. 0
17. 1
18. no existe
19. -1
20. no existe
21. +inf
22. -1
23. -1
24. 1.5
25. -1
26. 1
27. +inf
28. 3
Excelente profesor
Aún se me complica un poco erntender algunas cosas, algo mínimas, pero aquí están mis resolución al reto 😃
Mis respuestas apoyadas con el video:
Parte Uno
Parte Dos
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