Yo soy físico matemático actualmente terminando la maestría y pese a que conocía las definiciones formales de los criterios de máximos, mínimos, puntos de inflexión, concavidad etc., realmente me impresionó este cambio de paradigma que el profesor Martín ha expuesto.
¡Es increíblemente maravilloso! Estoy muy agradecido.
Introducción
Cálculo Diferencial: Conceptos Básicos y Aplicaciones Prácticas
Funciones Matemáticas: Dominio, Rango y Tipos de Funciones
Tipos de funciones
Dominio y rango de funciones a partir de gráficos
Límites
Concepto y Aplicación de Límites en Cálculo Matemático
Determinación de Límites Usando Gráficos
Tipos de límites en cálculo: generales, unilaterales e infinitos
Límites Algebraicos: Evaluación y Simplificación Paso a Paso
Análisis de Continuidad de Funciones en un Punto
La derivada
Visualización de la Derivada: Análisis Gráfico y Cálculo de Pendientes
Definición matemática de la derivada y sus notaciones
Cálculo de Derivadas usando la Definición Formal
Análisis de Derivadas: Relación con Función y Concavidad
Derivadas de funciones algebraicas
Derivadas de Funciones Constantes y con Múltiplos Constantes
Regla de la Potencia en Derivadas: Concepto y Aplicaciones
Derivación: Regla de Suma y Resta de Funciones
Derivada del Producto de Funciones: Regla y Ejemplos Prácticos
Derivación de Cocientes de Funciones: Regla del Cociente
Derivadas de funciones trascendentes
Derivadas de Funciones Trigonométricas Básicas
Derivadas de Funciones Exponenciales y Trigonométricas
Derivadas de Funciones Logarítmicas: Reglas y Ejemplos Prácticos
Bonus
Maximización de Volumen de Cajas Usando Cálculo y Wolfram Alpha
Regla de cadena
Funciones Compuestas: Evaluación y Ejemplos Prácticos
Derivadas de Funciones Compuestas: Regla de la Cadena
Conclusión
Aplicaciones del Cálculo Diferencial en la Vida Real
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Análisis de Derivadas: Relación con Función y Concavidad
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¿Qué implica derivar una función?
La derivación de una función va mucho más allá de simplemente aplicar un procedimiento matemático. En esencia, una función es una regla que transforma un conjunto de datos en otro conjunto. Al cambiar esta regla mediante la derivación, el comportamiento del conjunto de datos resultante también puede transformarse significativamente. Este fenómeno ha fascinado a matemáticos desde tiempos antiguos y continúa siendo una herramienta vital en múltiples campos, incluyendo la astronomía y la física.
¿Qué son las derivadas de orden superior?
Cuando tratamos con derivadas, no nos limitamos solo a la primera. Es posible derivar una función repetidamente: la derivada de la primera derivada nos da la segunda derivada, y así sucesivamente. Este proceso da lugar a las llamadas derivadas de orden superior, siendo común trabajar hasta la tercera derivada en aplicaciones prácticas.
Ejemplo en física
En el análisis del movimiento de un objeto, derivamos la función de posición para obtener la función de velocidad. Al derivar la función de velocidad, obtenemos la función de aceleración. Este proceso ayuda a comprender dinámicas complejas en física, como el movimiento de un proyectil bajo la influencia de la gravedad.
Aplicaciones en economía
En otros campos, como los negocios, la derivación se aplica de manera diferente. Por ejemplo, derivar la función de costo marginal podría no ser útil en ciertos contextos. Así, la utilidad de las derivadas de orden superior depende del campo y la naturaleza del problema.
Interpretemos derivadas gráficamente: ejemplos prácticos
Primera y segunda derivada en funciones cuadráticas
Consideremos la función cuadrática ( y = 2 - x^2 ):
- Primera derivada: (-2x)
- Segunda derivada: (-2)
En este caso, la gráfica de la función es una parábola invertida (cóncava hacia abajo), y la concavidad se refleja en que su segunda derivada tiene un valor constante y negativo. La primera derivada nos indica la pendiente de las tangentes a la curva: donde es positiva, la función asciende, y donde es negativa, la función desciende.
Análisis de concavidad en una parábola ascendente
Otra función cuadrática, ( y = x^2 + 3x ), presenta la situación opuesta:
- Primera derivada: (2x + 3)
- Segunda derivada: (2)
Aquí la parábola es cóncava hacia arriba. La transición de pendientes negativas a positivas ocurre en el mínimo de la función, donde la primera derivada cruza el eje x.
Cómo cambian las derivadas para funciones cúbicas
Presentación de la función cúbica
Consideramos ( y = x^3 + 2x^2 ):
- Primera derivada: (3x^2 + 4x)
- Segunda derivada: (6x + 4)
Comportamiento al derivar
Cuando la función tiene un máximo o mínimo, la primera derivada tocando el eje x nos indica estos puntos críticos. Un elemento adicional es el “punto de inflexión”, donde cambia la concavidad de la curva; matemáticamente, se manifiesta en un valor extremo de la segunda derivada.
Resumen y aplicaciones prácticas
- Max y min: La primera derivada intersecta el eje x.
- Pendientes tangentes: Positivas cuando la función asciende y negativas al descender, se reflejan en la posición relativa de la primera derivada respecto al eje x.
- Concavidad: Determina la zona (positiva o negativa) de la segunda derivada.
Este conocimiento fortaleció los cimientos para aplicaciones en diversas áreas de ciencia y tecnología, permitiendo a los estudiantes trazar estas nociones a problemas situados en la física y más allá.
Aportes 15
Preguntas 1
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Una clase que al principio se torna enredada, pero que luego agarra mucho sentido. Me encanta este profesor!!! 😃
Notas importantes:
- En los lugares donde yo tenga un máximo o un mínimo en mi función, mi derivada debe de estar tocando el eje de las equis.
- Si las tangentes de mi función original son negativas, la derivada estará por debajo del eje de las equis, y si es positiva la tangente, la derivada estará por encima del eje de las equis.
- Cuando mi función tenga concavidad hacia abajo la segunda derivada se en encontrara por debajo del eje de las equis y cuando su concavidad sea positiva la segunda derivada se encontrara por encima del eje de las equis.
Punto de inflexión: Es aquel lugar donde la función cambia su concavidad.
La derivada segunda es la pendiente de la primera derivada y esta a su vez es la pendiente de la función. Y así con el resto de derivadas de orden superior.
Me exploto la cabeza! recomiendo verlo dos o tres veces para entenderlo
esta clase la tuve que ver 3 veces, pero por fin la entendí 😄.
normalmente estudio matemáticas en libros porque no me va bien en videos pero a este maestro le entiendo todo, increíble
Les dejo aquí mis apuntes de la clase, por si a alguien le puede servir 😃
Gracias
Me la he pasado derivando media vida y hasta ahora veo como se relacionan en una gráfica. La explicación para relacionar los conceptos en esta clase es excelente.
Excelente profesor
Me llevo esto si tenemos una función f(x) y su primera derivada se cumplirá que:
1.- que su f ’ (x) será positiva, mientras la función original tenga pendiente positiva y viceversa.
2.- que su f ’ ’ (x) marca el punto de inflexión de la función original y a su vez se corresponde con el punto mínimo de la primera derivada.
3.- la segunda derivada empieza a tomar valores positivos mientras la primera derivada (función cuadrática), asume un cambio de pendiente positiva.
3.- la segunda derivada empieza a tomar valores positivos mientras la primera derivada (función cuadrática), asume un cambio de pendiente positiva. pero surge una pregunta
¿si observan detenidamente la segunda derivada función lineal, asume valores positivos un poco antes que la primera, muy cerca de su punto mínimo, cortando al eje X, un poco antes, entonces se podría decir que la segunda derivada nos sirve como predictor de lo que va a suceder a continuación ?
Lo dije antes y lo vuelvo a decir… Este profesor es SUBLIME
El profe hace que los términos complicados, se vuelvan fáciles de comprender, excelente profesor
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