Características de las funciones

Creo que está mal redactado, las funciones impares son simétricas al eje de coordenadas, no sólo al eje X.

Si tenemos una función f(x) y podemos sacarle segunda derivada, si se cumple:

• f(x0)’’ > 0, la función f(x) es convexa en el punto (x0,f(x0))

• f(x0)’’ < 0, la función f(x) es concava en el punto (x0, f(x0))

Ejemplo:

24y = x^3 - 6x^2 - 36x + 16

Donde y = f(x), a esto se le conoce como función implícita porque no esta despejada la y.
Sacamos la primera derivada:

24y' = 3x^2 - 12x - 36

Sacamos segunda derivada:

24y'' = 6x - 12

Despejamos:

y'' = (6/24)*(x-2)

Con esto podemos hacer las siguientes observaciones

• para x > 2 tenemos y’’ > 0 (convexa)

• para x = 2 tenemos y’’ = 0 (en el punto (2,-3) se separan la porción cóncava y convexa)

• para x < 2 tenemos y’’ < 0 (concava)
  Y bueno, así queda la gráfica de f(x):
  

  

Reto aceptado!:

(

Si quedaron con algunas dudas del concepto de las funciones pares e impares acá les dejo un video explicativo muy útil.

En Cálculo Diferencial también a las funciones se les clasifica como cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo. Esa parte de convexa es más un concepto de lentes ópticas.

<N = 1000
def f(x):
  return x**2
x = np.linspace(-10,10,num=N)
y = f(x)
z = np.gradient(np.gradient(y,x), x[1]-x[0])
fig, (ax1,ax2) = plt.subplots(2,1)
ax1.plot(x, y)
ax1.set_ylabel('f(x)')
ax2.plot(x, z)
ax2.set_xlabel('x')
ax2.set_ylabel('Segunda derivada')
plt.show()> 

Cóncova

Relice una función para validar si una función es par, impar o no par ni impar:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

N = 1000
x = np.linspace(-10,10, num=N)

def f_even(x): 
  return x**2

def f_odd(x):
  return x**3

def f_und(x):
    return x**2 + 3*x + 1

y_even = f_even(x*4)
y_odd = f_odd(x)
y_und = f_und(x)*6

fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(x, y_even, color = "r")
ax.plot(x, y_odd, color = "b")
ax.plot(x, y_und, color = "g")

Función:

def test_f(f, x):
  y1 = f(x)
  y2 = f(-x)
  if np.array_equal(y1, y2) == True:
    print("Even function")
  elif np.array_equal(y1, -y2) == True:
    print("Odd function")
  else: print("Undefined function")
  
test_f(f_even, x)
test_f(f_odd, x)
test_f(f_und, x)

Even function
Odd function
Undefined function

#Función que detecta si f(x) es par o impar
def f(x):
  return (x**3)

N = 100

x = np.linspace(-10,10, num=N)
y = f(x)
plt.plot(x,y)

def par_o_impar(f):
    if np.allclose(f(-x), f(x)):
        return "par"
    elif np.allclose(f(-x), -f(x)):
        return "impar"
    else:
        return "ni par ni impar"


resultado = par_o_impar(f)

print("La función es", resultado)

El parrafo 5 tiene un error gramatical:
“Si lo notaste, esta relación nos dice que una función es par si es simétrica al eje vertical (eje Y). Por ejemplo, una parábola es una función es par.”

Información resumida de esta clase
#EstudiantesDePlatzi

• Codomino = Rango = Imagen

• Las funciones reales se conocen así por qué su dominio pertenece al conjunto de los números reales

• Cuando tenemos esta condición F (-x) = F (x) podemos decir que una función es par

• Cuando se cumple esta condición F (-x) = -F (x) podemos decir que una función es impar

• Cuando tenemos una acotación entre el dominio de una función, es decir, -m < F (x) > m podemos decir que tenemos una función acotada

• Dentro de las funciones monótonas, la cual significa que no tiene variaciones encontramos estas demás funciones: Función monótona creciente, función monótona decreciente, función monótona y estrictamente creciente, por último, función monótona y estrictamente decreciente

• Cuando una función se repite cada cierto periodo de tiempo, estamos frente a una función periódica

• La función convexa abre hacia arriba como una U

• La función cóncava abre hacia abajo como una n

• Para poder identificar si una función es cóncava o convexa, lo que hacemos es analizar la segunda derivada de esta función

OBTENCIÓN DEL DOMINIO DE DEFINICIÓN A PARTIR DE LA GRÁFICA

Cuando una función se presenta a través de su gráfica, con
proyectar sobre el eje de abscisas (eje OX) dicha gráfica
conseguimos su dominio de definición. Esto es así porque
cualquier valor “x” del dominio tiene una imagen “ y = f x)( ”,
y, por lo tanto, le corresponde un punto x y),( de la gráfica. Este
punto es el que, al proyectar dicha imagen sobre el eje OX, nos
incluye ese valor dentro del dominio.
En el ejemplo vemos coloreado de azul el dominio (está
dibujado un poco más abajo para que sea bien visible la escala
del eje de abscisas). En este caso tenemos que
Dom( f ) = (−∞ )4, ∪ ]8,4(
.
De una manera no formal, podríamos decir que si aplastamos la gráfica sobre el eje OX y ésta estuviese
manchada de tinta, quedaría manchado sobre el eje justo el dominio de definición de la función f.

increíble como el calculo del buen Isac Newton sirve para todo esto. Gran Newton donde sea que estés gracias.

Estas dos serían, ejemplos de comprobación de funciones impares o hay algo que no estoy entendiendo:

def f(x):
  return -x**3

N = 1000

x = np.linspace(-10,10,N)

y = f(x)

plt.plot(x,y)
plt.grid()

def f(x):
  return x**3

N = 1000

x = np.linspace(-10,10,N)

y = - f(x)

plt.plot(x,y)
plt.grid()