Caracter铆sticas de las funciones

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Lectura

Hola, en esta breve clase te presentar茅 algunas caracter铆sticas de las funciones reales que estoy seguro te ser谩n de utilidad en un futuro. Pero antes que nada, 驴por qu茅 se llaman funciones reales? Esto es muy f谩cil de contestar.

...

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Creo que est谩 mal redactado, las funciones impares son sim茅tricas al eje de coordenadas, no s贸lo al eje X.

Si tenemos una funci贸n f(x) y podemos sacarle segunda derivada, si se cumple:

  • f(x0)鈥欌 > 0, la funci贸n f(x) es convexa en el punto (x0,f(x0))

  • f(x0)鈥欌 < 0, la funci贸n f(x) es concava en el punto (x0, f(x0))

Ejemplo:

24y = x^3 - 6x^2 - 36x + 16

Donde y = f(x), a esto se le conoce como funci贸n impl铆cita porque no esta despejada la y.
Sacamos la primera derivada:

24y' = 3x^2 - 12x - 36

Sacamos segunda derivada:

24y'' = 6x - 12

Despejamos:

y'' = (6/24)*(x-2)

Con esto podemos hacer las siguientes observaciones

  • para x > 2 tenemos y鈥欌 > 0 (convexa)

  • para x = 2 tenemos y鈥欌 = 0 (en el punto (2,-3) se separan la porci贸n c贸ncava y convexa)

  • para x < 2 tenemos y鈥欌 < 0 (concava)
    Y bueno, as铆 queda la gr谩fica de f(x):

Reto aceptado!:

(

Si quedaron con algunas dudas del concepto de las funciones pares e impares ac谩 les dejo un video explicativo muy 煤til.

En C谩lculo Diferencial tambi茅n a las funciones se les clasifica como c贸ncava hacia arriba o c贸ncava hacia abajo. Esa parte de convexa es m谩s un concepto de lentes 贸pticas.

Relice una funci贸n para validar si una funci贸n es par, impar o no par ni impar:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

N = 1000
x = np.linspace(-10,10, num=N)

def f_even(x): 
  return x**2

def f_odd(x):
  return x**3

def f_und(x):
    return x**2 + 3*x + 1

y_even = f_even(x*4)
y_odd = f_odd(x)
y_und = f_und(x)*6

fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(x, y_even, color = "r")
ax.plot(x, y_odd, color = "b")
ax.plot(x, y_und, color = "g")

Funci贸n:

def test_f(f, x):
  y1 = f(x)
  y2 = f(-x)
  if np.array_equal(y1, y2) == True:
    print("Even function")
  elif np.array_equal(y1, -y2) == True:
    print("Odd function")
  else: print("Undefined function")
  
test_f(f_even, x)
test_f(f_odd, x)
test_f(f_und, x)

Even function
Odd function
Undefined function

<N = 1000
def f(x):
  return x**2
x = np.linspace(-10,10,num=N)
y = f(x)
z = np.gradient(np.gradient(y,x), x[1]-x[0])
fig, (ax1,ax2) = plt.subplots(2,1)
ax1.plot(x, y)
ax1.set_ylabel('f(x)')
ax2.plot(x, z)
ax2.set_xlabel('x')
ax2.set_ylabel('Segunda derivada')
plt.show()> 


C贸ncova

#Funci贸n que detecta si f(x) es par o impar
def f(x):
  return (x**3)

N = 100

x = np.linspace(-10,10, num=N)
y = f(x)
plt.plot(x,y)

def par_o_impar(f):
    if np.allclose(f(-x), f(x)):
        return "par"
    elif np.allclose(f(-x), -f(x)):
        return "impar"
    else:
        return "ni par ni impar"


resultado = par_o_impar(f)

print("La funci贸n es", resultado)

El parrafo 5 tiene un error gramatical:
鈥淪i lo notaste, esta relaci贸n nos dice que una funci贸n es par si es sim茅trica al eje vertical (eje Y). Por ejemplo, una par谩bola es una funci贸n es par.鈥

Informaci贸n resumida de esta clase
#EstudiantesDePlatzi

  • Codomino = Rango = Imagen

  • Las funciones reales se conocen as铆 por qu茅 su dominio pertenece al conjunto de los n煤meros reales

  • Cuando tenemos esta condici贸n F (-x) = F (x) podemos decir que una funci贸n es par

  • Cuando se cumple esta condici贸n F (-x) = -F (x) podemos decir que una funci贸n es impar

  • Cuando tenemos una acotaci贸n entre el dominio de una funci贸n, es decir, -m < F (x) > m podemos decir que tenemos una funci贸n acotada

  • Dentro de las funciones mon贸tonas, la cual significa que no tiene variaciones encontramos estas dem谩s funciones: Funci贸n mon贸tona creciente, funci贸n mon贸tona decreciente, funci贸n mon贸tona y estrictamente creciente, por 煤ltimo, funci贸n mon贸tona y estrictamente decreciente

  • Cuando una funci贸n se repite cada cierto periodo de tiempo, estamos frente a una funci贸n peri贸dica

  • La funci贸n convexa abre hacia arriba como una U

  • La funci贸n c贸ncava abre hacia abajo como una n

  • Para poder identificar si una funci贸n es c贸ncava o convexa, lo que hacemos es analizar la segunda derivada de esta funci贸n

OBTENCI脫N DEL DOMINIO DE DEFINICI脫N A PARTIR DE LA GR脕FICA

Cuando una funci贸n se presenta a trav茅s de su gr谩fica, con
proyectar sobre el eje de abscisas (eje OX) dicha gr谩fica
conseguimos su dominio de definici贸n. Esto es as铆 porque
cualquier valor 鈥渪鈥 del dominio tiene una imagen 鈥 y = f x)( 鈥,
y, por lo tanto, le corresponde un punto x y),( de la gr谩fica. Este
punto es el que, al proyectar dicha imagen sobre el eje OX, nos
incluye ese valor dentro del dominio.
En el ejemplo vemos coloreado de azul el dominio (est谩
dibujado un poco m谩s abajo para que sea bien visible la escala
del eje de abscisas). En este caso tenemos que
Dom( f ) = (鈭掆垶 )4, 鈭 ]8,4(
.
De una manera no formal, podr铆amos decir que si aplastamos la gr谩fica sobre el eje OX y 茅sta estuviese
manchada de tinta, quedar铆a manchado sobre el eje justo el dominio de definici贸n de la funci贸n f.

incre铆ble como el calculo del buen Isac Newton sirve para todo esto. Gran Newton donde sea que est茅s gracias.

Estas dos ser铆an, ejemplos de comprobaci贸n de funciones impares o hay algo que no estoy entendiendo:

def f(x):
  return -x**3

N = 1000

x = np.linspace(-10,10,N)

y = f(x)

plt.plot(x,y)
plt.grid()
def f(x):
  return x**3

N = 1000

x = np.linspace(-10,10,N)

y = - f(x)

plt.plot(x,y)
plt.grid()