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¿Qué es un máximo y un mínimo?

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Recursos

Obteniendo máximos y mínimos con la derivada

Imagínate que la siguiente curva es una montaña rusa, y que la recta tangente a esta curva en cualquier punto es el carrito de la montaña rusa. Cuando el carrito va subiendo, este tiene cierta inclinación. Cuando va bajando, tiene una inclinación opuesta. Esta inclinación nos la da la derivada. Como sabrás, si la derivada es positiva, la curva incrementa, y al contrario si la derivada es negativa.
Curva con máximos y mínimos
Ahora, ¿qué pasa si la derivada es cero? Cuando la derivada vale cero en algún punto, a esto se le conoce como punto crítico. En este caso, la recta tangente a dicho punto es completamente horizontal. Es en este momento que nos encontramos un posible máximo o mínimo. ¿Cómo determinamos si este punto corresponde a un máximo o un mínimo? Responde en los comentarios antes de seguir leyendo…

Si respondiste que estudiando la derivada en puntos a la izquierda y a la derecha del punto crítico, estás en lo correcto. Se determina que hay un punto máximo LOCAL si la derivada cambia de positivo a negativo y viceversa si es un punto mínimo. A esto se le conoce como el criterio de la primera derivada.

También existe el criterio de la segunda derivada, que consiste en estudiar que pasa cuando derivamos por segunda vez la función en un punto crítico. Te invito a investigarlo (ya que está fuera del alcance de este curso).

Contribución creada por Ciro Villafraz con los aportes de Joan Blanco.

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Usando sympy para hallar los maximos y minimos

Esta sera la expresion utilizada para este ejemplo:

La cual se ve algo asi:

from sympy import *
init_printing( use_latex='mathjax' )
x = Symbol('x')
expr = x**4 - 3*x**2
# ^^ esta es nuestra expresion
expr_d = Derivative(expr, x, evaluate=True)
# ^^ esta es la derivada de nuestra expresion
Eq(expr_d, 0)


Hallando los ceros de la función derivada:

solve(Eq(expr_d, 0))

Puedes utilizar un jupyter notebook para verificar este proceso 😉.

otra forma de saber si los puntos criticos son maximos o minimos es mediante el estudio de la segunda derivada. en muchos casos este metodo es mas rápido.

Estas son las bases para entender el descenso del gradiente, ahora hay que resolver el problema de los máximos locales y mínimos locales.

Por cierto, el descenso del gradiente tiene buen uso en machine learning 😄

Esta clase es muy importante para entender como funciona el descenso del gradiente

Acá un video que profundiza un poco más para saber si el punto es un máximo o un mínimo.

con la segunda derivada determinas los máximos y mínimos; con la primera derivada f’(X1) = 0 entonces sabemos que hay un máximo o un mínimo en x1, con la segunda deriva f’’ (x1) = valor (-) (+).
si es (-) es un máximo; si es (+) es un mínimo.

Solución al Reto

En matemáticas, un máximo y un mínimo son valores extremos de una función que representan los puntos más altos y más bajos, respectivamente. Estos extremos son importantes en el análisis de funciones, ya que brindan información sobre los puntos críticos y las características de la función. A continuación, se describen con más detalle cada uno de ellos:

Máximo:

  • Un máximo de una función es el valor más alto que la función alcanza en un determinado intervalo o en todo su dominio. Formalmente, sea f una función definida en un conjunto D, se dice que f tiene un máximo en el punto c si f© es mayor o igual que f(x) para todo x en D cercano a c. Un máximo absoluto es aquel que es el valor más alto de la función en todo su dominio, mientras que un máximo relativo es aquel que es el valor más alto en un intervalo específico.

Mínimo:

  • Un mínimo de una función es el valor más bajo que la función alcanza en un determinado intervalo o en todo su dominio. Formalmente, sea f una función definida en un conjunto D, se dice que f tiene un mínimo en el punto c si f© es menor o igual que f(x) para todo x en D cercano a c. Un mínimo absoluto es aquel que es el valor más bajo de la función en todo su dominio, mientras que un mínimo relativo es aquel que es el valor más bajo en un intervalo específico.