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Optimizando nuestro primer problema

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Optimizando un modelo

¬Ņpor qu√© optimizar?

Es necesario tener en cuenta la optimizaci√≥n buscando una funci√≥n objetivo, esto significa que, con ayuda de las derivadas y los l√≠mites podr√©mos encontrar el √°rea m√°s √≥ptima para el desarrollo de las ‚Äúoficinas‚ÄĚ

para esto se hace lo siguiente:

Paso 01. entender el √°rea y perimetro del espacio:

A = x * y
P = x + y + x = 2x + y

Paso 02: Tener un área, en este caso de muro, como restricción (50ml de perimetro en este caso)

2x + y = 50

Paso 03: Buscar la función objetivo, en este caso y (es la función que queremos optimizar)

y = 50-2x

Paso 04: Reescribir en terminos de la dependiente

√°rea en terminos de x

A(x) = x(50-2x)
A(x) = -2x² + 50x

Paso 05: optimizar buscando su derivada e igualar a 0 (se iguala porque queremos saber en qué punto la x está en el punto más alto o más bajo)

A’(x) = -4x + 50 = 0

-4x + 50 = 0

x = -50/ -4 = 25/2 (mínima expresión)

Paso 06: Buscar datos a la izquierda y a la derecha

A(x) = -2x² + 50x

a la izquierda:

A(12.45) = -2(12.45)² + 50(12.45) = 1/5 (pendiente positiva)

a la derecha

A(12.55) = -2(12.55)² + 50(12.55) = -1/5 (pendiente negativa)

Conclusión: 12.50 es igual a 0 como punto más alto (máximo)

total

A = 12.5 * 25 = 312.5 mt2 (√°rea m√°s optimizada)
P = 12.5² + 25 = 50

A(x) = -2x^2 + 50x
A’(x) = -4x + 50

Se busca el valor para el cual la derivada es igual a 0
-4x + 50 = 0
x = 12,5

Luego se eval√ļa si ese valor (punto cr√≠tico) corresponde a un m√°ximo o m√≠nimo con la segunda derivada

A’’(x) = -4

  • Como la segunda derivada es < 0 para cualquier valor de x, todos los puntos cr√≠ticos que hallemos (en este caso solo hay uno: x= 12,5) van a ser m√°ximos.

Estimado Enrique, tienes un error en el calculo final. T√ļ calculas 12.45 y 12.55 sobre f(x) cuando deber√≠as hacerlo sobre la derivada primera: f‚Äô(x). As√≠, A(12.45) ‚Ȇ 1/5 pero, A‚Äô(12.45)=1/5. Saludos, Adrian.

Companeres tengan cuidado ya que hay un error, cuando obtenemos el valor de la pendiente iguala 0, que es donde tenemos un punto m√°ximo o m√≠nimo en el eje de las ‚Äúx‚Äôs‚ÄĚ, volvemos a hacer la evaluaci√≥n,con valores antes y despu√©s del valor x dado, OJO aqu√≠, esta evaluaci√≥n se hace en la PRIMER derivada, no en la funci√≥n original.

Dependiendo si nos da un negativo y un positivo o al revés, sabremos si es un punto mínimo o máximo.
Para saber a que altura de las ejes de las ‚Äúy‚Äôs‚ÄĚ tenemos ese punto max o min, ahora si, sustituimos el valor de x, en la ecuaci√≥n original.

partiendo en pedazos el problema de optimizacion vemos lo siguiente:

  1. Sistema de ecuaciones:
    "1-) 2x + y = 50
    2-) x * y "
    Utilizamos el metodo de sustitucion con la primera ecuacion para satisfacer la 2da ecuacion (Area) que es la que tratamos de maximizar
  2. Sustitucion:
    "1-) y = 50 - 2x ==> sustituimos la Y en la 2da ecuacion (x * y)
    2-) x * (2x -50) == -2x^2 + 50x"
    Decimos que la funcion Area es igual a:
    A(x) = -2x^2 + 50x
  3. Derivar:
    Derivamos para poder encontrar el maximo o minimo de la funcion Area
    "A(x) = -2x^2 + 50x
    A’(x) = -4x + 50"
  4. Igualamos a 0
    "-4x + 50 = 0 ==> Despejamos la X para hallar el max o min
    x = 12.5 ==> max o min"
  5. Identificar si es max o min :
    Para esto simplemente debemos usar la ecuacion ANTES de derivar (A(x) = -2x^2 + 50x) y sustituir las X por los limites del maximo o minimo que acabamos de encontrar (12.5) de tal manera que:
    por izquierda = A(12.45) = -2(12.45)^2 + 50(12.45) == 1/5
    por derecha = A(12.55) = -2(12.55)^2 + 50(12.55) == -1/5
    izquierda = 1/5 (positivo) | derecha = -1/5 (negativo)
    Entonces x = 12.5 es un MAXIMO
  6. Encontrar la Y:
    Sustituimos las X con el valor maximo encontrado(12.5) en la ecuacion que despejamos en el paso de sustitucion (y = 50 - 2x )
    y = 50 - 2(12.5)
    y = 25
    x = 12.5

Recordemos que la primera derivada de una funcion nos dira donde se encuentra el maximo o minimo cuando esta interceda en X