Optimizando nuestro primer problema

Optimizando un modelo

¿por qué optimizar?

Es necesario tener en cuenta la optimización buscando una función objetivo, esto significa que, con ayuda de las derivadas y los límites podrémos encontrar el área más óptima para el desarrollo de las “oficinas”

para esto se hace lo siguiente:

Paso 01. entender el área y perimetro del espacio:

A = x * y
P = x + y + x = 2x + y

Paso 02: Tener un área, en este caso de muro, como restricción (50ml de perimetro en este caso)

2x + y = 50

Paso 03: Buscar la función objetivo, en este caso y (es la función que queremos optimizar)

y = 50-2x

Paso 04: Reescribir en terminos de la dependiente

área en terminos de x

A(x) = x(50-2x)
A(x) = -2x² + 50x

Paso 05: optimizar buscando su derivada e igualar a 0 (se iguala porque queremos saber en qué punto la x está en el punto más alto o más bajo)

A’(x) = -4x + 50 = 0

-4x + 50 = 0

x = -50/ -4 = 25/2 (mínima expresión)

Paso 06: Buscar datos a la izquierda y a la derecha

A(x) = -2x² + 50x

a la izquierda:

A(12.45) = -2(12.45)² + 50(12.45) = 1/5 (pendiente positiva)

a la derecha

A(12.55) = -2(12.55)² + 50(12.55) = -1/5 (pendiente negativa)

Conclusión: 12.50 es igual a 0 como punto más alto (máximo)

total

A = 12.5 * 25 = 312.5 mt2 (área más optimizada)
P = 12.5² + 25 = 50

A(x) = -2x^2 + 50x
A’(x) = -4x + 50

Se busca el valor para el cual la derivada es igual a 0
-4x + 50 = 0
x = 12,5

Luego se evalúa si ese valor (punto crítico) corresponde a un máximo o mínimo con la segunda derivada

A’’(x) = -4

• Como la segunda derivada es < 0 para cualquier valor de x, todos los puntos críticos que hallemos (en este caso solo hay uno: x= 12,5) van a ser máximos.

Estimado Enrique, tienes un error en el calculo final. Tú calculas 12.45 y 12.55 sobre f(x) cuando deberías hacerlo sobre la derivada primera: f’(x). Así, A(12.45) ≠ 1/5 pero, A’(12.45)=1/5. Saludos, Adrian.

Companeres tengan cuidado ya que hay un error, cuando obtenemos el valor de la pendiente iguala 0, que es donde tenemos un punto máximo o mínimo en el eje de las “x’s”, volvemos a hacer la evaluación,con valores antes y después del valor x dado, OJO aquí, esta evaluación se hace en la PRIMER derivada, no en la función original.

Dependiendo si nos da un negativo y un positivo o al revés, sabremos si es un punto mínimo o máximo.
Para saber a que altura de las ejes de las “y’s” tenemos ese punto max o min, ahora si, sustituimos el valor de x, en la ecuación original.

partiendo en pedazos el problema de optimizacion vemos lo siguiente:

1. Sistema de ecuaciones:
   "1-) 2x + y = 50
   2-) x * y "
   Utilizamos el metodo de sustitucion con la primera ecuacion para satisfacer la 2da ecuacion (Area) que es la que tratamos de maximizar
2. Sustitucion:
   "1-) y = 50 - 2x ==> sustituimos la Y en la 2da ecuacion (x * y)
   2-) x * (2x -50) == -2x^2 + 50x"
   Decimos que la funcion Area es igual a:
   A(x) = -2x^2 + 50x
3. Derivar:
   Derivamos para poder encontrar el maximo o minimo de la funcion Area
   "A(x) = -2x^2 + 50x
   A’(x) = -4x + 50"
4. Igualamos a 0
   "-4x + 50 = 0 ==> Despejamos la X para hallar el max o min
   x = 12.5 ==> max o min"
5. Identificar si es max o min :
   Para esto simplemente debemos usar la ecuacion ANTES de derivar (A(x) = -2x^2 + 50x) y sustituir las X por los limites del maximo o minimo que acabamos de encontrar (12.5) de tal manera que:
   por izquierda = A(12.45) = -2(12.45)^2 + 50(12.45) == 1/5
   por derecha = A(12.55) = -2(12.55)^2 + 50(12.55) == -1/5
   izquierda = 1/5 (positivo) | derecha = -1/5 (negativo)
   Entonces x = 12.5 es un MAXIMO
6. Encontrar la Y:
   Sustituimos las X con el valor maximo encontrado(12.5) en la ecuacion que despejamos en el paso de sustitucion (y = 50 - 2x )
   y = 50 - 2(12.5)
   y = 25
   x = 12.5

Recordemos que la primera derivada de una funcion nos dira donde se encuentra el maximo o minimo cuando esta interceda en X