Creo que la solución más fácil que pude encontrar es simplemente ejecutar la función getLikedMovies() en el listener, literalmente solo agregue esa linea y por el momento funciona en todas las paginas que se agrega la película sin necesidad de recargar
movieBtn.addEventListener('click', ()=>{
movieBtn.classList.toggle('btnMovie--liked')
likeMovie(movie);
getLikedMovies() //única linea agregada
})
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