Teorema de Bayes

Si no les quedo claro, a mi me re sirvio para reforzar conocimentos el video de Monitor fantasma donde tambien explica el teorema de Bayes
https://youtu.be/nod4kJW-Zas

El TEOREMA DE BAYES → Nos indica cómo obtener la probabilidad condicional de un evento sabiendo las probabilidades individuales de los eventos y la probabilidad condicional del otro.
FÓRMULA:

P(A|B) = (P(B|A)*P(A))/P(B)
Según el teorema, en el ejemplo tenemos:
P (cargado|6) ?
P (6|cargado) = 50% = 1/2
P (cargado) = 1/2
P (6) = 1/3

Sustituimos en la fórmula

A= cargado

B=6

P(A|B) = (1/2*1/2)/1/3

P(Ca|6) = 3/4 = 75%

No entendía por qué es necesario equilibrar ambos lados, entonces decidí investigar arduamente (preguntarle a chatgpt).
No recuerdo si en las clases anteriores ya habían hablado de esto, pero por si a alguien le puede servir.
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Según Chatgpt, cuando trabajamos con probabilidad condicional, es necesario equilibrar las dos probabilidades para garantizar que la información sea coherente y refleje adecuadamente la relación entre los eventos.
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Él dice (y yo elijo creer) que el equilibrio de probabilidades es esencial para obtener resultados precisos y evitar errores de razonamiento. Al calcular la probabilidad condicional, debemos asegurarnos de que las probabilidades de los eventos relacionados sean consistentes entre sí. De lo contrario, podríamos obtener resultados incorrectos o contradictorios.
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Btw, a la primera se me hizo un poco complejo entender los conceptos de la clase, pero si la repiten 1 o 2 veces más y van haciendo el ejercicio con la profe puede que se comience a entender mejor la lógica, al menos a mí me funciono.

Ejercicio

Recomiendo el libro llamado, La teoría que nunca murió de Sharon Bertsch McGrayne

Este pedacito parece que se cortó, en este muestra porque P(6) es 1/3, esto es porque toma primero las posibilidades de que sea 6 tanto en el justo como en el cargado y las suma.

P(cargado y 6) = la probabilidad de que saque el dado cargado x la probabilidad de que salga 6 en ese dado cargado
P(justo y 6) = probabilidad de sacar el dado justo x la probabilidad de que salga 6 en dado justo.

Por ende P(6) es Probabilidad(cargado y 6) + Probabilidad(justo y 6)

Es importante saber que en programación y la lógica computacional o algebra booleana:

AND = multiplicar
OR = sumar

Tras varios minutos buscando, encontré una explicación simple de cómo plantear el escenario para usar el teorema de Bayes:

https://www.youtube.com/watch?v=Fi6G48j0IZ4

También recomiendo pasar por este para repasar sobre eventos dependientes e independientes:

https://www.youtube.com/watch?v=wOwwPD-O5sY

EJERCICIO 1

🍀Por si no les quedó claro

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Primeramente, recomiendo este video sobre Teorema de Bayes para entenderlo.
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Para resolver este problema, podemos utilizar el teorema de Bayes. Primero, definamos algunos eventos (yo los nombraré diferente para evitar confusiones):

A: Elegimos el dado justo.
B: Elegimos el dado cargado.
C: Obtenemos seis en el lanzamiento.
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Queremos calcular la probabilidad condicional de que hayamos elegido el dado cargado (B) dado que obtenemos seis (C ), es decir, P(B|C).

Sabemos lo siguiente:

1. La probabilidad de elegir el dado justo es 1/2 (ya que estamos eligiendo al azar entre dos dados).
2. La probabilidad de elegir el dado cargado es también 1/2.
3. La probabilidad de obtener seis cuando se lanza el dado justo es 1/6 (ya que es un dado justo).
4. La probabilidad de obtener seis cuando se lanza el dado cargado es 1/2 (ya que está arreglado para caer en seis la mitad de las veces).

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Usando el teorema de Bayes, podemos calcular P(B|C) de la siguiente manera:

P(B|C) = (P(C|B) * P(B)) / P( C)

Donde:

• P(C|B) es la probabilidad de obtener seis dado que hemos elegido el dado cargado, que es 1/2.
• P(B) es la probabilidad de elegir el dado cargado, que es 1/2.
• P(C ) es la probabilidad de obtener seis en general, que es la probabilidad ponderada de obtener seis con cada dado, este valor nos falta por lo que lo calcularemos de la siguiente manera:

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P(C ) = P(C|A) * P(A) + P(C|B) * P(B)
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P(C|A) es la probabilidad de obtener seis dado que hemos elegido el dado justo, que es 1/6.
P(A) es la probabilidad de elegir el dado justo, que es 1/2.
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Entonces, calculamos P(C ) como:

P(C ) = (1/6 * 1/2) + (1/2 * 1/2) = 1/12 + 1/4 = 1/3
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Esta es la mejor manera de representar el problema, pero también se lo puede representar como P(C ) = P(6) = P(justo y 6) + P(cargado y 6), ya que P( A y B ) = P (A | B) P(B), en otras palabras P(6 y justo) = P(justo) * P(6 dado justo) y P(6 y cargado) = P(cargado) * P(6 dado cargado). Es lo confuso de este ejercicio y de ahí la confusión con lo que escribió la profesora. En conclusión, estamos buscando la probabilidad de sacar 6 dado que sea justo y cargado, extendiendose hasta n eventos, por lo que comprende el teorema.
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Ahora, podemos calcular P(B|C) o P (cargado dado seis) con el teorema de Bayes:

P(B|C) = (1/2 * 1/2) / (1/3) = (1/4) / (1/3) = 3/4
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Entonces, la probabilidad de que hayamos elegido el dado cargado, dado que obtenemos seis en el lanzamiento, es 3/4 o 0.75, lo que equivale al 75%.

https://www.youtube.com/watch?v=D7KKlC0LOyw&ab_channel=Veritasiumenespañol

Para clarificar conceptos del teoema de Bayes

P(AIB)=(P(BlA))*P(A)/P(B)

La probabilidad condicional es un concepto en estadística y probabilidad que se refiere a la probabilidad de que ocurra un evento A, dado que otro evento B ya ha ocurrido. Se denota como P(A|B), que se lee como “la probabilidad de A dado B”. En otras palabras, la probabilidad condicional nos ayuda a calcular la posibilidad de que algo suceda, teniendo en cuenta cierta información adicional.

Para calcular la probabilidad condicional, se utiliza la siguiente fórmula: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), donde P(A ∩ B) representa la probabilidad de que ocurran simultáneamente los eventos A y B, y P(B) es la probabilidad de que ocurra el evento B.

Un ejemplo sencillo de probabilidad condicional es el siguiente: Supongamos que tienes una baraja de cartas y se extrae una carta al azar. Si te digo que la carta extraída es un as (evento B), la probabilidad condicional de que sea un corazón (evento A) sería P(A|B). Para calcularlo, debemos considerar cuántos ases son corazones (hay uno) y cuántos ases en total hay en la baraja (hay cuatro). Por lo tanto, P(A|B) sería 1/4, es decir, hay un 25% de probabilidad de que el as extraído sea un corazón.

En resumen, la probabilidad condicional nos ayuda a ajustar nuestras estimaciones de probabilidad basadas en la información adicional que tenemos sobre otros eventos que ya han ocurrido.