Combinaciones y permutaciones

Combinaciones y permutaciones

Las PERMUTACIONES → Combinaciones que podemos realizar de un conjunto de elementos, conservando el orden entre ellos

La fórmula nos indica → cantidad de elementos k, que pueden ser ordenados dentro de un conjunto de tamaño n. Para calcular la permutación de k elementos en n, tenemos que calcular el factorial de n y dividir entre el factorial de n-k

EJEMPLO: Tenemos los 4 reyes de un maso K♥ K♦ K♣ K♠. Estos serán nuestros elementos.

¿Cuáles son las permutaciones de elegir 3 reyes de estos 4 elementos?

Tenemos lo siguiente:

1. Primera permutación: K♠ K♦ K♣

2. Segunda permutación: K♦ K♠ K♣

3. Tercera permutación: K♦ K♣ K♠

LAS PERMUTACIONES SON COMBINACIONES, EN LAS CUALES EL ORDEN DE LOS ELEMENTOS IMPORTA.

COMBINACIÓN → Combinanción de ciertos elementos dentro de un conjunto de otros

Fórmula de combinación → cómo combinar k elementos dentro de un grupo de n elementos. Se calcula obteniendo el factorial de n dividido entre k factorial multiplicado por la diferencia n-k factorial.

La diferencia entre la combinación y la permutación es que el orden no importa en la combinación, por lo que éstas serán menores a las permutaciones.

Ejemplo con los reyes: Tenemos n elementos de reyes

Combinación 1: K♦ K♣ K♥

Combinación 2: K♣ K♦ K♥

Combinación 3: K♣ K♥ K♦

Combinación 1 = Combinación 2 = Combinación 3

RETO: Calcular la permutación y la combinación de escoger 3 reyes dentro ded nuestro conjunto de 4 reyes.

Combinación = 4

C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)

C = 4 * 3 * 2/3 * 2 * 1 = 4

1. Combinación1 = ♥ ♦ ♣

2. Combinación2 = ♥ ♦ ♠

3. Combinación3 = ♥ ♣ ♠

4. Combinación4 = ♦ ♣ ♠

Permutación

P(n, k) = n! / (n-k)!
P = 4/1 = 2 * 3 * 4 = 24

Diferencia entre combinación y permutación

La diferencia principal entre combinación y permutación es que la combinación se refiere al número de formas en que se pueden elegir grupos de objetos sin importar el orden en que se eligen, mientras que la permutación se refiere al número de formas en que se pueden ordenar los objetos en grupos.

En una combinación, el orden en que se eligen los elementos no importa. Por ejemplo, si tenemos 4 letras A, B, C y D, las combinaciones de elegir 2 letras son AB, AC, AD, BC, BD, y CD. Observe que AB y BA se consideran la misma combinación. En una combinación, no hay repeticiones de elementos en el grupo.

Por otro lado, en una permutación, el orden en que se eligen los elementos es importante. Por ejemplo, si tenemos 4 letras A, B, C y D, las permutaciones de elegir 2 letras son AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, y DC. Observe que AB y BA se consideran permutaciones diferentes. En una permutación, no hay repetición de elementos en el grupo.

En resumen, la combinación se refiere al número de formas de elegir objetos sin importar el orden, mientras que la permutación se refiere al número de formas de ordenar objetos en grupos. La fórmula de la combinación es C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!), mientras que la fórmula de la permutación es P(n, r) = n! / (n - r)!.

Con el permiso de Ilse me permito mencionar que cuando el valor de k es igual a n, estamos hallando las permutaciones de elementos de manera individual. (en la siguiente imagen r reemplaza a k):
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Cuando k es diferente de n estamos hablando de variaciones. (en la siguiente imagen r reemplaza a k):
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Por lo tanto, podemos decir también que Combinaciones es igual a calcular las variaciones y dividirlas entre las permutaciones.
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¿Cuáles son las aplicaciones prácticas en el mundo real de los conceptos de permutaciones y combinaciones?

1. Estadística y Probabilidad:
   • En estadística, las combinaciones se utilizan para calcular el número de formas en que un conjunto de elementos puede ser seleccionado sin tener en cuenta el orden. Esto es esencial para cálculos de probabilidades y análisis de datos.
2. Teoría de Juegos:
   • En juegos y estrategias, las permutaciones y combinaciones son fundamentales para calcular el número de posibles resultados y estrategias.
3. Genética:
   • En genética, las combinaciones son utilizadas para calcular la probabilidad de obtener ciertos rasgos genéticos en la descendencia.
4. Optimización y Logística:
   • En problemas de optimización y logística, las permutaciones pueden utilizarse para evaluar diferentes arreglos y encontrar el más eficiente.
5. Cadenas de Suministro:
   • En la gestión de cadenas de suministro, las combinaciones pueden utilizarse para calcular el número de formas en que se pueden organizar los productos en un almacén para maximizar el espacio y la eficiencia.
6. Criptografía:
   • En criptografía, las permutaciones se utilizan en algoritmos de cifrado para generar claves seguras.
7. Investigación de Operaciones:
   • En investigación de operaciones, las permutaciones y combinaciones son herramientas clave para modelar y resolver problemas de programación lineal y no lineal.
8. Diseño Experimental:
   • En diseño experimental, especialmente en la planificación de experimentos, se utilizan combinaciones para organizar diferentes tratamientos y condiciones de manera eficiente.

Ejercicio 1

Ejercicio 2

23. Combinaciones y permutaciones

• Permutaciones: combinaciones que podemos realizar de un conjunto de elementos conservando su orden.
• Combinaciones: combinación de ciertos elementos dentro de un conjunto.

Reto

• n = 4
• k = 3

Permutación

• P = 4!/(4-3)!
• P = 24/1 = 24
• Hay 24 formas diferentes de escoger 3 reyes dentro del conjunto de 4 reyes de una baraja.

Combinación

• C = 4!/(3!*(4-3)!)
• C = 24/6 = 4
• Hay 4 combinaciones diferentes de escoger 3 reyes dentro del conjunto de 4 reyes de una baraja.

😵‍💫 Saber esa sutil diferencia me hubiera ahorrado más de un dolor de cabeza

Para el ejercicio de combinacion y permutacion. Es importante conocer las formulas para aplicarlas en nuestro dia dia y como nos permitiran realizar la cantidad de combinaciones.
RETO:
Calcular la permutación y la combinación de escoger 3 reyes dentro ded nuestro conjunto de 4 reyes.
n=4
k=3

Combinaciones:
n!/k!(n-k)!
(4 x 3 x 2 x 1)/(3 x 2 x 1)(4-3)!
24/6(1)!
24/6
4.
Se pueden realizar 4 combinaciones
Combinación_1 = ♥ ♦ ♣
Combinación_2 = ♥ ♦ ♠
Combinación_3 = ♥ ♣ ♠
Combinación_4 = ♦ ♣ ♠

Permutacion
n!/(n-k)!
(4 x 3 x 2 x 1)/(4-3)!
24/(1)!
24/1
24.

Permutación= 24.
Combinación= 4.

Reto: Obtener la permutación y combinación de escoger 3 cartas dentro de un conjunto de 4.

n = 4
k = 3

Permutación:
P = 4!/(4-3)! = 4!/1! = 24
Existen 24 permutaciones entre los elementos.

Combinación:
C = 4!/(3!(4-3)!) = 4!/3! = 4
Hay solo 4 combinaciones.

Reglas de conteo:

• Regla de mn
• Permutaciones: n ! / ( n - r) !
• Combinaciones: Permutaciones / r!

C 4
P 24

permutació 4!/(4-3)! = 24
combinación 4!/3!(4-3)! = 4