Aritmética modular en Criptotografía Asimétrica

`Aplicaciones en criptografía asimétrica:` * **RSA:** El algoritmo RSA, uno de los más utilizados en la actualidad, se basa en la dificultad de calcular el producto de dos números primos grandes. * **Elliptic Curve Cryptography (ECC):** ECC ofrece mayor seguridad que RSA con claves más pequeñas, lo que lo hace ideal para dispositivos móviles y aplicaciones de IoT.

Mi caso de uso favorito para la aritmética modular es en encripción homomórfica, que es un tipo de encripción donde los valores conservan propiedades aritméticas. Utilizando aritmética modular, es posible sumar, restar y multiplicar valores encriptados (la divisón es otro asunto, je!)

***<u>La aritmética modular</u>*** juega un papel fundamental en la criptografía asimétrica, también conocida como criptografía de clave pública. En este tipo de criptografía, se utilizan dos claves diferentes: una pública que puede ser compartida con cualquier persona y una privada que se mantiene en secreto. La seguridad de estos sistemas se basa en la dificultad de factorizar números grandes y en las propiedades de las operaciones matemáticas modulares. **Conceptos clave:** * **Módulo:** Un número entero positivo (por ejemplo, 101) que define el rango de las operaciones matemáticas modulares. * **Residuo:** El resultado de la operación módulo. Por ejemplo, 15 módulo 4 es 3 porque 15 dividido por 4 da un cociente de 3 y un residuo de 3. * **Exponenciación modular:** Elevar un número a una potencia y luego calcular el residuo de la operación módulo. Se representa como a^b mod m. * **Función Euler:** Determina la cantidad de números enterores positivos menores que un número entero n y coprimos con él. Se representa como φ(n). **Aplicaciones en criptografía asimétrica:** * **Algoritmo RSA:** El algoritmo de criptografía asimétrica más conocido se basa en la dificultad de factorizar grandes números enteros compuestos (producto de dos números primos grandes). La clave pública se genera a partir de estos dos números primos (n) y la función Euler (φ(n)). La clave privada se calcula utilizando la inversa modular de la función Euler módulo n. * **Criptografía de curva elíptica:** Este tipo de criptografía utiliza las propiedades de las curvas elípticas para definir las operaciones matemáticas modulares. Las claves pública y privada se derivan de puntos específicos en la curva elíptica. **Ventajas de la aritmética modular en criptografía asimétrica:** * **Seguridad:** Las operaciones matemáticas modulares son computacionalmente difíciles de revertir, especialmente cuando se utilizan números grandes. Esto dificulta que un atacante rompa el cifrado y obtenga el mensaje original. * **Eficiencia:** Los cálculos modulares son relativamente eficientes, lo que permite implementar criptografía asimétrica en una amplia gama de dispositivos. **Ejemplos de uso:** * **Firmas digitales:** La aritmética modular se utiliza para crear firmas digitales que garantizan la autenticidad e integridad de un mensaje o documento. * **Comunicación segura:** Los protocolos como HTTPS utilizan criptografía asimétrica para establecer canales de comunicación seguros entre un cliente y un servidor web. * **Autenticación de usuarios:** Algunos sistemas de autenticación utilizan criptografía asimétrica para verificar la identidad de los usuarios. **Es importante destacar que la aritmética modular es solo una de las herramientas matemáticas que se utilizan en la criptografía asimétrica. La seguridad de estos sistemas también depende de la elección de parámetros adecuados y de la implementación correcta de los algoritmos.** Si te interesa profundizar en el tema, te recomiendo buscar recursos sobre criptografía asimétrica, aritmética modular y algoritmos específicos como RSA y criptografía de curva elíptica.

El cifrado cesar y vigenere sale muy bonito usando aritmetica modular. ```js def cifrado_cesar_encriptar(texto, clave): texto_cifrado = '' for caracter in texto: if caracter.isalpha(): # Calcula el desplazamiento de acuerdo a la clave desplazamiento = ord('A') if caracter.isupper() else ord('a') # Aplica el cifrado César texto_cifrado += chr((ord(caracter) - desplazamiento + clave) % 26 + desplazamiento) else: texto_cifrado += caracter return texto_cifrado def cifrado_cesar_desencriptar(texto_cifrado, clave): texto_original = '' for caracter in texto_cifrado: if caracter.isalpha(): # Calcula el desplazamiento de acuerdo a la clave desplazamiento = ord('A') if caracter.isupper() else ord('a') # Aplica la operación inversa del cifrado César para desencriptar texto_original += chr((ord(caracter) - desplazamiento - clave) % 26 + desplazamiento) else: texto_original += caracter return texto_original ````def cifrado_cesar_encriptar(texto, clave`): ` texto_cifrado = ''` ` for caracter in` texto: ` if` caracter.isalpha(): ` # Calcula el desplazamiento de acuerdo a la clave` ` desplazamiento = ord('A') if caracter.isupper() else ord('a'`) ` # Aplica el cifrado César` ` texto_cifrado += chr((ord(caracter) - desplazamiento + clave) % 26` + desplazamiento) ` else`: texto\_cifrado += caracter ` return` texto\_cifrado `def cifrado_cesar_desencriptar(texto_cifrado, clave`): ` texto_original = ''` ` for caracter in` texto\_cifrado: ` if` caracter.isalpha(): ` # Calcula el desplazamiento de acuerdo a la clave` ` desplazamiento = ord('A') if caracter.isupper() else ord('a'`) ` # Aplica la operación inversa del cifrado César para desencriptar` ` texto_original += chr((ord(caracter) - desplazamiento - clave) % 26` + desplazamiento) ` else`: texto\_original += caracter ` return texto_original`

## **Aritmética modular en Criptografía Asimétrica** Es un tópico importante para entender firma digital y curvas elípticas, nos ayuda a entender también la criptografía de clave publica. La aritmética modular viene de la operación de modulo, el cual es el sobrante luego de una división. A la aritmética modular también se le conoce como aritmética de reloj, utilizando una figura que representa un reloj, es como si utilizáramos el espacio de modulo 12, Que pasaría si enrollamos una cuerda de 15 unidades en ese reloj de 12 unidades? de esta operación sobran 3 unidades, y las posiciones se repetirán, 0/12 , 1/13, 2/14, 3/15… esto crearia unas cajas en las que se repite del 0-11, la segunda caja del 12-23 repetiria los numeros del 0-11 y asi consecutivamente. ***Formalmente*** definimos al conjunto de enteros positivos monóculo P como Zp, donde Z es referente a los numero naturales. En el caso anterior seria 12. ***Grupos:*** En matemáticas, es un conjunto de números y una operación que cumple con características definidas. ***Reglas de grupos:*** * Clouser: Para todo par (x,y), x\*y=a, donde z es parte del conjunto. * Asociatividad: Para todo (x,y,z) es lo mismo (x\*y)*z que x*(y\*z) * Identidad: Existe algún e tal que e\*x=x * Inverso: Para todo x existe un y tal que x\*y=e La aritmética modular encapsula valores, lo que es útil para múltiples operaciones en la criptografía moderna.