#PlatziMathChallenge Día 2: ¿Todos los números son iguales?

• Naturales: Números usados para contar.
• Negativos: Número cuyo valor es menor que cero.
• Enteros: Conjunto de los números naturales, negativos y el cero.
• Racionales: Números que se representan como el cociente de dos números enteros, con el denominador mayor a cero.
• Irracionales: Número que no puede ser representado como una fracción.
• Complejos: Cualquier número formado por un número real y uno imaginario.
• Imaginarios: Número complejo en la que su parte real es igual a cero.

Investigué un poco. Espero estar en lo correcto.

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS (TIPOS) Los Números Naturales «N» son todos los números mayores de cero* (algunos autores incluyen también el 0) que sirven para contar. No pueden tener parte decimal, fraccionaria, ni imaginaria. N = [1, 2 , 3, 4, 5...]

Los Números Enteros «Z» incluye al conjunto de los números naturales, al cero* y a sus opuestos (los números negativos). Es decir: Z = [...-2, -1, 0, 1, 2...]

Los Números Racionales «Q» son aquellos que pueden expresarse como una fracción de dos números enteros. Por ejemplo: Q = [¼, ¾, etc.]

Los Números Reales «R» se definen como todos los números que pueden expresarse en una línea continua, por tanto incluye a los conjuntos anteriores y además a los números irracionales como el número «∏» y «e».

Los Números Complejos «C» incluye todos los números anteriores más el número imaginario «i». C = [N, Z, Q, R, I].

Referencia: Wikimedia Commons - Dnu72 (2013). Clasificación de los números a través de un esquema de llaves. Disponible aquí

Tipos de Números: Naturales - Son los números que mejor conocemos, desde el 1(UNO) hasta el infinito (∞)

Enteros - Parecidos a los naturales pero se toman en cuenta los negativos y el cero 0, desde el (-∞) menos infinito, hasta el (∞) infinito

Racionales - Pueden ser representados por fracciones o por decimales, por ejemplo, si hablamos de un pastel que dividimos en 4 pedazos y nos comemos uno de ellos podremos decir que comimos ¼ (0,25) del pastel y si nos comimos los cuatro pedazos 4/4 (1) nos habremos comido todo el pastel.

Irracionales - Se llaman así porque no pueden ser representados en forma de razón o fracción (ahora tiene más sentido el punto anterior) entonces aquí entran por ejemplo el famoso número PI π (3.141592...) el número de Euler ( e ) usado en cálculo mayormente, la razón aúrea (Phi Φ) y todas aquellas raíces que no sean exactas.

Reales - Son todo el conjunto de números que vimos anteriormente (Naturales, Enteros, Racionales e Irracionales).

Complejos o imaginarios - El nombre les sienta de maravilla porque se inventaron para poder dar explicación a muchas cosas que de otra forma no tendrían sentido, por ejemplo la siguiente ecuación: x² = -1 que se lee (equis cuadrada es igual a menos uno) la solución para encontrar X sería un número que elevado al cuadrado de menos uno, y esto es imposible ya que cualquier número elevado al cuadrado es positivo.

Para ésto llegan los números imaginarios a salvar el día, la solución quedaría así: i²= -1 (i al cuadrado es igual a menos uno) ó √-1=i *(raíz cuadrada de menos uno es i)

Entonces los números complejos son todos aquellos que su cuadrado es negativo.

Los números complejos son muy utilizados en el álgebra y en el análisis, además de aplicarse en otras especialidades de las matemáticas puras como lo son el cálculo de integrales, ecuaciones diferenciales, en la hidrodinámica, la aerodinámica, entre otras. :)

Números naturales Con los números naturales contamos los elementos de un conjunto (número cardinal). O bien expresamos la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal).

El conjunto de los números naturales está formado por:

N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}

Números enteros Los números enteros son del tipo:

Z = {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}

Nos permiten expresar: el dinero adeudado, la temperatura bajo cero, las profundidades con respecto al nivel del mar, etc.

Números racionales Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero.

Los números decimales (decimal exacto, periódico puro y periódico mixto) son números racionales; pero los números decimales ilimitados no.

Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción.

El número irracional más conocido es PI, que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.

PI = 3.141592653589...

Otros números irracionales son:

El número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos.

e = 2.718281828459...

El número áureo, utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Dalí,..) en las proporciones de sus obras.

Números reales El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales, se designa R

Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando negativo y la división por cero.

La recta real A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número real.

Números imaginarios Un número imaginario se denota por bi, donde : b es un número real i es la unidad imaginaria.

Los números imaginarios permiten calcular raíces con índice par y radicando negativo.

x2 + 9 = 0

Números complejos Un número complejo en forma binómica es a + bi.

El número a es la parte real del número complejo.

El número b es la parte imaginaria del número complejo.

Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real, ya que a + 0i = a.

Si a = 0 el número complejo se reduce a bi, y se dice que es un número imaginario puro.

El conjunto de los números complejos se designa por C

Fuente: https://www.superprof.es/diccionario/matematicas/aritmetica/clasificacion-numeros.html

Números naturales (N) es el conjunto de los números naturales. Sus elementos son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., n, ...

• La suma de números naturales es un número natural.

• La adición de números naturales satisface las propiedades conmutativa, asociativa y tiene un elemento neutro que es el 0.

• El producto de números naturales satisface las propiedades conmutativa, asociativa, distributiva respecto a la adición y tiene un elemento neutro que es el 1.

• La sustracción y la división de números naturales no siempre resulta un número natural.

Números enteros (Z) es el conjunto de los números enteros. Sus elementos son: ..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4,...

• Luego N ⊆ Z.

• La suma de números enteros es un número entero.

• La adición de números enteros es conmutativa, asociativa, tiene un elemento neutro que es el 0.

• Todo número entero tiene su opuesto o simétrico aditivo: el opuesto de x es −x.

• El producto de números enteros es un número entero.

• La multiplicación de números enteros es conmutativa, asociativa, tiene un elemento neutro que es el 1, se cumple la propiedad distributiva con respecto a la adición.

• La división de números enteros no siempre resulta un número entero. Así, al dividir −14 ÷ 3, el cociente no es un número entero.

++Subconjunto++ de Número primo es un número natural mayor que 1 que tiene únicamente dos divisores positivos distintos: él mismo y el 1

Números racionales (Q) es el conjunto de los números racionales o de las fracciones. Un número racional es el cociente de dos números enteros a/b con b diferente de 0.

• Luego Z ⊆ Q.

• Todas las operaciones de suma, resta, multiplicación y división (la división por cero no tiene sentido) son cerradas en Q (siempre se obtiene un número racional).

• La adición de números racionales es conmutativa, asociativa, tiene un elemento neutro que es el 0 y todo número tiene su opuesto o simétrico aditivo.

• La multiplicación de números racionales es conmutativa, asociativa, tiene un elemento neutro que es el 1 y todo número diferente de cero tiene su inverso o simétrico multiplicativo: El inverso de a/b es b/a, con a y b diferentes de 0.

Números irracionales (I) es el conjunto de los números irracionales. Sus elementos son los números con desarrollos decimales ilimitados y no periódicos. Por ejemplo: π = 3,1415926535... e = 2,71... √(2) = 1,4142135623... , √(3) = 1,73205080...

Números reales ('R) es el conjunto de los números reales. R es la unión del conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales.

• R = Q ∪ I.

• Se verifica que N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R.

Números complejos ('C) Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i

• R ⊆ C

• i ⊆ C

Números naturales: Son números que no necesitan representarse como fracciones o decimales. También, los números naturales no pueden ser negativos. En otras palabras, los números naturales son los números con los que contamos y junto con el cero. Ejemplos: 4, 952, 0, 73, etc.

Números enteros: Son los números naturales y sus opuestos. Por lo tanto, los enteros pueden ser negativos. Ejemplos: 2, 0, −9, −810, etc.

Números racionales: Son aquellos números que pueden expresarse como una fracción de dos enteros. Ejemplos: 44, 0.122... , -18/5, etc.

Números irracionales: Son aquellos que no pueden expresarse como una fracción de dos enteros. Ejemplos: -4π, √3 , etc.

Números imaginarios: Son aquellos números complejos cuya parte real es igual a cero. Ejemplo: √-1

Aquí una imagen para que se entienda mejor.

0 ϵ N ¿sí o no?

En matemáticas tenemos los grupos de los números Naturales, Enteros, Racionales, Reales y Complejos.

• Reales: Se denotan con la letra R y los números reales están conformados por los Racionales, Enteros, Irracionales y otra forma de clasificarlos sería en trascendentes y algebraicos.

• Enteros: son aquellos que corresponden tanto números negativos como positivo sin tener ningún carácter decimal

• Racionales: son aquellos que poseen un valor decimal repetitivo o que sea periódico. Ej: 2,23232323 o 5/7=071428507142850714285

• Irracionales: son aquellos que su valor decimal no es periódico ni repetitivo

• Algebraicos: un número es algebraico si tiene una solución a una ecuación cuyos números sean Racionales. Muchos números Irracionales también pueden ser algebraicos como (Raíz de 2) o (raíz cúbica de 3). Todos los números Racionales son algebraicos pero no todos los algebraicos son Racionales.

• Trascendentes: es un número que no es solución a ninguna ecuación polinomica de coeficientes Racionales. Todos los números trascendentes son irracionales pero no todos los Irracionales son trascendentes. Un ejemplo de trascendentes son PI y el número e

• Complejos: son números reales sumados a números Imaginarios

• Imaginarios: corresponde a las raíces cuadradas cuyo su valor interno es negativo. Este suele venir acompañado de un número real. Pero propiamente el número imaginario son las raíces negativas que se expresan con i