PlatziMathChallenge Día 7: La suma más larga de tu vida

La suma de los cuadrados de n números naturales:

0²+1²+2²+3²+4²+5²+6²+...+n² = ?

Cuando n vale 1 la suma total es 1 Cuando n vale 2 la suma total es 5 Cuando n vale 3 la suma total es 14 Cuando n vale 4 la suma total es 30 Cuando n vale 5 la suma total es 55

Haciendo una sucesión: 1 ; 5 ; 14 ; 30 ; 55 _ +4 +9 +16 +25 ___ +5 +7 +9 _____+2 +2

Esto nos dice que nuestra función debe ser cúbica: An³+Bn²+Cn+D=1²+2²+3²...n² Sustituyendo:

Cuando n vale 0 la suma es 0 Entonces D=0

Cuando n vale 1: A1³+B1²+C1=1; Lo cual es A+B+C=1

Cuando n vale 2: A2³+B2²+2C=5; Lo cual es A8+B4+C2=5

Cuando n vale 3: A3³+B3²+C3=14; Lo cual es A27+B9+C3=14

Despejando variables:

Multiplicamos la primera ecuación por -2 A+B+C=1 (*-2); lo cual es: -2A-2B-2C=-2 y la sumamos con la segunda 8A+4B+2C=5 Entonces: a)6A+2B=3

Multiplicamos la primera ecuación por -3 A+B+C=1 (*-3); lo cual es: -3A-3B-3C=-3 y la sumamos con la tercera A27+B9+C3=14 Entonces: b)24A+6B=11

Luego esta sumamos nuestras ecuaciones: Para ello multiplicamos la ecuacion a) por -3 Quedando así:-18A-6B=-9 y le sumamos la ecuación b)24A+6B=11 Entonces: A=1/3 Sustituyendo A en la ecuación a) ó b) Tenemos: B=1/2

Sustituyendo a la ecuación cuando n vale 1: 1/3+1/2+C=1 Entonces: C=1/6

Con esto quedaría: 1/3n³+1/2n²+1/6n = 0²+1²+2²+3²+4²+5²+6²+...+n² Siendo 1/3n³+1/2n²+1/6n La fórmula para la suma de n² números.

La fórmula para sumar números naturales es:

n * (n + 1) / 2

De esta forma, si queremos saber la suma de los números naturales hasta el 10, sería: 10 * 11 / 2 = 55.

En el caso del 100: 100 * 101 / 2 = 5050

Bueno la formula es:

n (n+1) / 2

1000 (1000 +1) / 2 = 500500

Reto básico: [n(n+1)/2=x] [1000(1000+1)/2=x] [1000(1001)/2=x] [500,500] . Reto Intermedio: [n(n+1)/2=x] [(n^2+n)/2=x] [(n^2+n)=2x] . Reto avanzado: [n(n+1)(2n+1)/6] [1000(1001)(2001)/6] [100100*2001/6] = [333,833,500]

n→∞
         n(n+1)
 ∑  k = ————————   
           2
n=0

++Reto Básico++ La fórmula para la suma de los números naturales es:

									n ( n + 1 ) / 2

Reemplazando los valores:

							= 10 ( 10 + 1 ) / 2
							= 10 ( 11 ) / 2
							= 110 / 2
							= 55

Reto Básico : Se llama suma de gauss (1000 * 1001 )/ 2 = 500500

Intermedio: (++N * N + 1++ ) / 2

Reto básico e intermedio: La fórmula más general para la suma aritmética de 1 al n es n(n+1)/2

Reto básico:

Reto intermedio:

La suma (ecuación 1):

Como se observa, la diferencia entre cada término es de 1, eso significa que es una suma de una diferencia constante, por lo que podemos determinar que para cada término lo podemos obtener a partir de un valor inferior, solo conociendo la diferencia, mediante (ecuación 2):

Donde n>m.

Sustituyendo los términos de la ecuación 1 con la ecuación 2, donde m = 1:

aplicando la misma ecuación, pero despejando para a sub m, se sustituye en la ecuación 1 y se obtiene:

Sumando ambas ecuaciones, todo termino multiplicado por d se cancela:

De ahí se obtiene:

Reto avanzado:

La suma del cuadrado de n números naturales:

Consideremos estos polinomios a la potencia:

Si nos fijamos en el binomios al cuadrado, su solución, podemos notar que si realizamos la suma para todos los valores de n, donde n es elemento de {0, 1, 2,3, 4, 5, ... }, obtenemos en uno de sus coeficiente la suma de todos los números naturales:

Procedemos a sumar las ecuaciones:

Sumando y restando, obtenemos:

Resolviendo:

Lo que obtenemos es la suma de todos los números naturales, entonces podemos realizar el mismo proceso para obtener la suma del cuadrado de n números naturales.

Para simplificar el proceso, analizaremos la ecuación, observamos que para n + 1 a la potencia de m, siendo m elemento de los números naturales, en el valor siguiente de n, donde uno de los terminos es n a la potencia de m, se anulan y que los términos restantes será de un coeficiente multiplicado por la suma de la potencia, menos 1 de m, de los números naturales y así sucesivamente. Para la suma de todos los 1 el valor es n + 1. Por último , la ecuación esta igualado a n + 1 a la potencia de m.

Aplicando lo anterior para m = 3, obtenemos que:

Resolviendo:

S = n * (a1 + an)
	     -----------
		         2

n = Número de téminos a1 = Primer término an = Último término