Cálculo de la seudo inversa de Moore-Penrose en Python

Clase 13 de 18 • Curso de Álgebra Lineal Aplicada para Machine Learning

Resumen

La pseudoinversa de Moore Penrose es una aplicación directa de *singular value decomposition (*SVD), que nos permite resolver en determinados momentos sistemas de ecuaciones lineales con múltiples soluciones.

La matriz pseudoinversa es utilizada cuando en un sistema de ecuaciones lineales, representado por Ax = B, x no tiene inversa. Esta operación es única y existe si se verifican 4 condiciones.

Ejemplo de pseudoinversa de una matriz

En el siguiente ejemplo, verás las 4 condiciones para obtener una fórmula Penrose.

Cómo calcular la matriz pseudoinversa de Moore Penrose

Para calcularla se siguen los siguientes pasos:

Calcular las matrices U, D, y V (matrices SVD) de A.
Construir D_pse: una matriz de ceros que tiene igual dimension de A, y que luego se transpone.
Reemplazar la submatriz D_pse[: D.shape[0], : D.shape[0]] por np.linalg.inv(np.diag(D))
Reconstruir pseudoinversa: A_pse = V.T.dot(D_pse).dot(U.T)

Cómo calcular la pseudoinversa de Moore Penrose en Python

Para calcularla automáticamente por Python: np.linalg.pinv(A)Lo que obtenemos con A_pse es una matriz muy cercana a la inversa. Cercano en el sentido de que minimiza la norma dos de estas distancias. O sea, de estos errores que estamos cometiendo.

A_pse no es conmutativa, es decir, A_pse·A ≠ A·A_pse

Aporte de María José Medina.

María José Medina

student•

Resumen

La pseudo inversa de Moore Penrose es utilizada cuando en un sistema de ecuaciones lineales representado por Ax = B, x no tiene inversa.
La pseudo inversa de MP es única y existe si se verifican 4 condiciones.
Para calcularla se siguen los siguientes pasos:

Calcular las matrices U, D, y V (matrices SVD) de A.
Construir D_pse: una matriz de ceros que tiene igual dimension de A, y que luego se transpone.
Reemplazar la submatriz D_pse[: D.shape[0], : D.shape[0]] por np.linalg.inv(np.diag(D))
Reconstruir pseudoinversa: A_pse = V.T.dot(D_pse).dot(U.T)

Notas

Para calcularla automaticamente por Python: np.linalg.pinv(A)
Lo que obtenemos con A_pse es una matriz muy cercana a la inversa. Cercano en el sentido de que minimiza la norma dos de estas distancias. O sea, de estos errores que estamos cometiendo.
A_pse no es conmutativa, es decir, A_pse·A ≠ A·A_pse

Tomas Dale

student•

MIL GRACIAS POR ESTE RESUMEN !!!!

Marcelo Sánchez

student•

El mejor curso por lejos!!!

Wilson Fernando Antury Torres

student•

La forma en que python obtiene la pseudo inversa es con el método SVD.
SVD es mas certera, y computacionalmente más efectiva.

Sara Yaneth Contreras Elías

student•

Kevin Henriquez

student•

Gracias por tus apuntes

Abdiel Guerrero

student•

Por si quieren conocer las condiciones para que exista la pseudo inversa de M-P:

Wilson Fernando Antury Torres

student•

La pseudo inversa de Moore Penrose es una aplicación directa de SVD, que nos permite resolver en determinados momentos sistemas de ecuaciones lineales con múltiples soluciones.

Rodrigo Josue Gonzalez Espinoza

student•

me duele la cabeza :v

Jhon Freddy Tavera Blandon

student•

La pseudoinversa de Moore-Penrose es una generalización de la inversa de una matriz para matrices que no son cuadradas o no tienen una inversa tradicional. Se utiliza para encontrar una solución aproximada de mínimos cuadrados a sistemas lineales inconsistentes o sobredeterminados.

La pseudoinversa de Moore-Penrose se denota como A⁺ y tiene las siguientes propiedades:
Si A es una matriz cuadrada invertible, entonces su pseudoinversa A⁺ es igual a su inversa A⁻¹.
Si A es una matriz rectangular m x n, entonces A⁺ es única y cumple las siguientes ```

propiedades:
A⁺AA⁺ = A⁺ (idempotencia)
AA⁺A = A (idempotencia)
(AA⁺)ᵀ = AA⁺
(A⁺A)ᵀ = A⁺A

Existen diferentes métodos para calcular la pseudoinversa de Moore-Penrose, y uno de los más comunes es la descomposición en valores singulares (SVD). Si A tiene la descomposición SVD como A = UΣVᵀ, entonces la pseudoinversa de Moore-Penrose se calcula como:

A⁺ = VΣ⁺Uᵀ

Donde Σ⁺ es la pseudoinversa de Σ, que se obtiene tomando el inverso de cada valor singular distinto de cero en Σ y luego transponiendo la matriz resultante.

Roger Christian Cansaya Olazabal

student•

Un poco densa, la clase pasa con bastante agua. jaja

Gilberto Pérez Garrido

student•

Y en qué momento al remplazar el sistema de ecuaciones por y = 1x + 4, y = 2x + 5, y = -3 + 6 da el vector solución si al reemplazar no concuerda con las posibles respuestas de examen

Miguel Torres

student•

Hola, @perezgarridogilb. :D

¿Podrías decirme en qué pregunta del examen no te da la solución que dices? Me gustaría ayudarte.

Carlos Ernesto Alvarez Rosales

student•

Porque al definir en el pizarrón a A_pse, lo define con el producto de V normal con D_pse y U.T pero cuando lo calcula en python lo calcula con la transpuesta, es decir el producto V.T y lo demás igual.

Benjamín Antonio Velasco Guzmán

student•

Lo que pasa es que matemáticamente SVD es A = U D V^T, y numpy lo que regresa es U, D, L = np.linalg.svd(A) donde L = V^T, así V = L^T.

Para aclararlo mejor, hagamos un cambio de variable

U, D, L = np.linalg.inv(A)
V = L.T
A_pse = V.dot(np.diag(D)).dot(U.T)

Eso es equivalente a tener

U, D, V = np.linalg.inv(A)
A_pse = V.T.dot(np.diag(D)).dot(U.T)

Roger Christian Cansaya Olazabal

student•

Ahora si esta mas claro.

Antonio Demarco Bonino

student•

Imagina que Caperucita Roja quiere encontrar el mejor camino para llegar a casa de su abuela, pero algunos de los caminos están bloqueados y no puede seguir la ruta directa. La pseudoinversa de Moore-Penrose sería como un mapa que le muestra el mejor camino alternativo o la mejor aproximación para llegar a su destino, incluso si no puede tomar el camino directo. Aunque no es la ruta perfecta, le permite llegar de manera óptima, minimizando el tiempo o la distancia.

Patricio Zavala

student•

tengo una confusión (luego de haber pasado un rato buscando el teorema por internet)... por que python entrega un U de m,m?... no debería ser de m,n para que la propiedad de A = UDV.T ... sino no se podría multiplicar

Yonatan Efraín Jara Boza

student•

Si te refieres a la documentación de svd: Que 'U' y 'V' sean matrices cuadradas va de acuerdo a la teoría, para que el producto punto tenga el shape de la matriz A, entonces la matriz diagonal D debe tener también el shape de A (se debe dar la forma con código extra); esto tiene interpretación geométrica haciendo que aplane el espacio o lo extienda. Puedes ver esta serie de Enlace, son de Visual Kernel, una buena extensión de las clases visuales de 3blue1brown

Mario Alexander Vargas Celis

student•

La seudoinversa de Moore-Penrose es una generalización de la inversa de una matriz que puede aplicarse incluso si la matriz no es cuadrada o no es invertible. En Python, puedes calcularla fácilmente con NumPy.

📌 ¿Qué es la seudo inversa?

Para una matriz A∈Rm×nA \in \mathbb{R}^{m \times n}, su seudoinversa A+A^+ satisface ciertas propiedades algebraicas. Se define mediante la descomposición en valores singulares (SVD):

A=UΣVT⇒A+=VΣ+UTA = U \Sigma V^T \quad \Rightarrow \quad A^+ = V \Sigma^+ U^T

Donde:

Σ+\Sigma^+ se obtiene invirtiendo los valores singulares distintos de cero y transponiendo la matriz.

💻 Cálculo con NumPy

✅ Usando np.linalg.pinv

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]]) # Matriz no cuadrada A_pseudo = np.linalg.pinv(A)

print("Matriz original A:") print(A) print("\nSeudo inversa de A (Moore-Penrose):") print(A_pseudo)

🧠 ¿Qué hace NumPy internamente?

np.linalg.pinv utiliza la SVD para calcular la seudo inversa:

U, S, Vt = np.linalg.svd(A, full_matrices=False)

# Invertimos los valores singulares (evitando dividir por cero) S_inv = np.diag(1 / S)

# Calculamos la seudoinversa manualmente A_pseudo_manual = Vt.T @ S_inv @ U.T

📘 Aplicación: resolver sistemas sobredeterminados

Para sistemas Ax=bAx = b donde AA no es cuadrada:

x = np.linalg.pinv(A) @ b

Esto da la solución de mínimos cuadrados: la mejor aproximación posible.

✅ Ventajas

Funciona con matrices rectangulares o singulares.
Muy útil en regresión lineal, ML, ajuste de curvas, y optimización.

Mauricio Combariza

student•

Me gustaría saber por que se usa :D.shape[0], para que sirve usar los :

Axel Yaguana

Team Platzi•

¡Hola, Mauricio!

Dado que estamos trabajando con arreglos matriciales, estos tienen una dimensión. Para acceder a esa dimensión usamos .shape(), lo que nos devuelve una tupla con filas y columnas. Estp sería (filas, columnas).

Para el caso de la clase, queremos acceder a las filas de aquel arreglo matricial. Por eso usamos shape[0]. Los dos puntos : hacen referencia a todo un conjunto.

Te recomiendo tomar el Curso Básico de Manipulación y Transformación de Datos con Pandas y NumPy en donde aprenderás todo esto con más detalle. :D

Sebastián Andrade

student•

La verdad no entendí nada de esta clase. Alguien conoce algun recurso para entender este tema?

Eloy Chávez Dev

student•

¡Hola! :D

¿En qué se te hizo complicado este tema?

Sebastián Andrade

student•

Entendí qué es una pseudoinversa, pero no entiendo por qué se calcula asi, y unas cuantas clases anteriores a esta no he entendido el punto de ellas ni la explicacion que da el profesor.

Jhon Jairo Bazurto Quintero

student•

La formula correcta para hallar la identidad es: Apse*A aproximadamente igual a la identidad ya que existe ese error en la formula que se da en el tablero de la clase

Mauro Benito Montoya Arenas

student•

El recíproco de una matriz se refiere al inverso multiplicativo de la matriz. Si A es una matriz cuadrada, su recíproco A^-1 es otra matriz tal que AA^-1 = A^-1A = I, donde I es la matriz identidad.

Asahi Cantu Moreno

student•

La matriz de penrose existe y es unica

Yonatan Efraín Jara Boza

student•

Si es que su rango es lo máximo posible para la forma de la matriz. O sea si A es 3x2, entonces si su rango fuese 2... tendría inversa; la identidad siempre tiene que ser la menor (I 2x2)

Romel Manrique

student•

Si el resultado del reemplazo, no les sale igual que al profesor.

D_pse = np.zeros_like(A).T
D_pse[:D.shape[0],:D.shape[0]] = np.linalg.inv(np.diag(D))
print(D_pse)

[[0 0 0]
 [0 1 0]]

Intenten especificando el tipo de dato.

D_pse = np.zeros_like(A, dtype=np.float_).T # <- aqui esta
D_pse[:D.shape[0],:D.shape[0]] = np.linalg.inv(np.diag(D))
print(D_pse)

[[0.0515 0.     0.    ]
 [0.     1.3931 0.    ]]