Clasificación y operaciones básicas con polinomios y monomios

Clase 7 de 21 • Curso de Álgebra y Funciones

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Resumen

Los polinomios y monomios son conceptos clave en matemáticas, especialmente dentro del álgebra. Entender cómo se componen, clasifican y operan permite manejar ecuaciones con mayor soltura. A continuación, repasamos qué son y cómo realizar operaciones básicas con ellos.

¿Qué define a un polinomio y cómo se clasifica?

Un polinomio está compuesto por términos que se separan mediante sumas o restas. Cada término incluye un coeficiente y una variable elevada a cierta potencia. Existen dos clasificaciones importantes a considerar:

  • Número de términos:
  • Un término: monomio.
  • Dos términos: binomio.
  • Tres términos: trinomio.

  • Cuatro o más: sin un nombre específico.

  • Grado: Es el exponente más alto al que se encuentra elevada la variable. En caso de varias variables en un mismo término, se suman sus exponentes.

Ejemplos prácticos:

  1. Binomio de grado uno: 3x + 2 (dos términos, exponente uno).
  2. Trinomio de grado dos: 5x² - 4x + 1 (tres términos, exponente máximo dos).
  3. Cuatro términos de grado cuatro: Cuatro términos con exponentes variables, predominando el grado cuatro.
  4. Binomio con dos variables de grado seis: Términos con diferentes variables, cuyo grado sumado de exponentes es seis.

¿Cómo sumar y restar polinomios eficazmente?

Al sumar o restar polinomios, simplemente agrupamos términos semejantes (aquellos con igual base y exponente), operando sus coeficientes entre sí.

Suma de polinomios:

  • Agrupamos términos semejantes.
  • Ejemplo: (3x² + 2x + 6) + (5x² - 4x + 1).
  • 3x² + 5x²= 8x²
  • 2x - 4x = -2x
  • 6 +1 = 7
  • Resultado final: 8x² - 2x + 7.

Resta de polinomios:

  • Consideramos signos diferentes.
  • Ejemplo: (6x² + x - 3) - (2x² - 4x + 5).
  • 6x² - 2x² = 4x²
  • x + 4x = 5x
  • (-3) - 5 = -8
  • Resultado final: 4x² + 5x - 8.

¿Qué pasos seguir al multiplicar polinomios?

Multiplicación de polinomio por monomio:

  • Multiplicamos el monomio por cada término del polinomio.
  • Ejemplo: 2x(3x² - 2x + 5).
  • 2x por 3x² = 6x³
  • 2x por -2x = -4x²
  • 2x por 5 = 10x
  • Resultado final: 6x³ - 4x² + 10x.

Multiplicación de polinomio por polinomio:

  • Multiplicamos cada término del primer polinomio por cada término del segundo.
  • Ejemplo: (x + 2)(x² + x + 1).
  • Desarrollamos paso a paso.
  • Agrupamos términos semejantes.
  • Resultado final: x³ + 3x² + 3x + 2.

¿Qué implica dividir polinomios y cómo realizarlo?

La división puede hacerse de dos maneras:

División de polinomio entre monomio:

  • Dividimos cada término por el monomio y simplificamos aplicando reglas de exponentes.
  • Ejemplo: (6x³ - 9x² + 3x) / (3x).
  • 6x³ / 3x = 2x²
  • -9x² / 3x = -3x
  • 3x / 3x = 1
  • Resultado final: 2x² - 3x + 1.

División de polinomio entre polinomio:

  • Realizamos divisiones parciales por cada término, agrupando previamente.
  • Es importante manejar la factorización para simplificar estas operaciones, lo cual facilita los procedimientos algebraicos.