Desigualdades: símbolos, intervalos y operaciones básicas

Las desigualdades, también conocidas como inecuaciones, son comparaciones matemáticas que utilizan símbolos como mayor que (>), menor que (<), mayor o igual que (≥) y menor o igual que (≤). A diferencia de las ecuaciones donde se igualan cantidades, las desigualdades permiten comparar cantidades que no necesariamente son iguales.

¿Qué son las desigualdades simples?

Las desigualdades simples comparan solo dos cantidades utilizando uno de estos símbolos de comparación. Veamos los cuatro tipos base:

• ( x > a ): Representa todos los valores mayores que "a", sin incluirlo. Su intervalo se representa como (a, ∞) y gráficamente con un círculo vacío en "a" que apunta hacia la derecha.
• ( x < a ): Valores menores que "a", intervalos desde (−∞, a), y visualmente con círculo vacío en "a" que apunta hacia la izquierda.
• ( x ≥ a ): Todos los valores mayores o iguales a "a", intervalo [a, ∞); gráficamente el círculo está relleno en "a".
• ( x ≤ a ): Menores o iguales a "a", intervalo (−∞, a], círculo relleno en "a".

¿Cómo manejar desigualdades múltiples?

Las desigualdades múltiples o encadenadas involucran dos o más comparaciones simultáneamente. Estas delimitan un rango entre dos valores:

Sin intervalos incluidos

• Expresión: ( a < x < b ).
• Intervalo: (a, b).
• Visual: círculos vacíos en ambos extremos.

Todos los intervalos incluidos

• Expresión: ( a ≤ x ≤ b ).
• Intervalo: [a, b].
• Visual: círculos rellenos en ambos extremos.

Intervalos mixtos

• Expresión: ( a < x ≤ b ) o ( a ≤ x < b ).
• Intervalos: (a, b] o [a, b).
• Visual: círculo vacío en un extremo y relleno en el otro.

¿Cómo realizar operaciones con desigualdades?

Resolver desigualdades tiene similitudes con las ecuaciones, especialmente en suma y resta:

• Suma y resta: se operan igual que las ecuaciones; lo que pasa de un lado también pasa del otro sin cambiar su signo.

Multiplicación y división con valores positivos

• Si multiplicas o divides con números positivos, operas normalmente:

Ejemplo: [ \frac{x}{2} ≤ 5 \quad \Rightarrow \quad x ≤ 10 ]

Multiplicación y división con valores negativos

• Con signos negativos, debes invertir la orientación de la desigualdad al pasar al otro lado:

Ejemplo: [ \frac{x}{-2} ≤ -8 \quad \Rightarrow \quad x ≥ 16 ]

¿Cómo trabajar con desigualdades múltiples?

En desigualdades encadenadas aplicamos la misma acción en cada sección:

Ejemplo con tres partes:

• Original: ( -10 ≤ 2x - 4 < 6 ).
• Sumar 4 a toda la inecuación: ( -6 ≤ 2x < 10 ).
• Dividir todo entre 2: ( -3 ≤ x < 5 ).

Esto nos permite aislar la variable en el intervalo correcto fácilmente.

Te invitamos a practicar e indagar más sobre desigualdades, especialmente la operación con signos negativos.