Matrices: definición y operaciones

La comprensión de matrices es fundamental en matemáticas avanzadas y sus aplicaciones. Estas estructuras matemáticas organizadas en filas y columnas son herramientas poderosas que nos permiten resolver sistemas de ecuaciones, realizar transformaciones lineales y modelar diversos fenómenos. Exploraremos qué son las matrices, cómo realizar operaciones básicas con ellas y aprenderemos a calcular determinantes, sentando las bases para aplicaciones más complejas.

¿Qué son las matrices y cómo se representan?

Una matriz es un arreglo de elementos organizados en forma cuadrada, compuesto por filas y columnas. Los elementos dentro de una matriz se identifican mediante subíndices que indican su posición: el primer número representa la fila y el segundo la columna donde se encuentra el elemento.

El tamaño de una matriz se denota como m×n, donde:

• m = número de filas
• n = número de columnas

Por ejemplo, consideremos la matriz A:

A = [1, 2, 3]
    [4, 5, 6]

Esta es una matriz de tamaño 2×3, ya que cuenta con 2 filas y 3 columnas.

En contraste, una matriz de tamaño 3×2 tendría 3 filas y 2 columnas:

B = [1, 2]
    [3, 4]
    [5, 6]

Las matrices pueden ser tan pequeñas o grandes como se necesite, dependiendo del problema que estemos resolviendo.

¿Cómo realizar operaciones básicas con matrices?

Suma y resta de matrices

Para sumar o restar matrices, es imprescindible que ambas tengan exactamente el mismo tamaño. La operación se realiza elemento a elemento, sumando o restando los valores que ocupan la misma posición.

Veamos un ejemplo con dos matrices de tamaño 3×2:

X = [5, 9]    Y = [3, 4]
    [2, 1]        [0, 7]
    [-6, 0]       [11, 8]

Para calcular X + Y, sumamos los elementos correspondientes:

X + Y = [5+3, 9+4]    = [8, 13]
        [2+0, 1+7]      [2, 8]
        [-6+11, 0+8]    [5, 8]

De manera similar, para X - Y, restamos los elementos correspondientes:

X - Y = [5-3, 9-4]     = [2, 5]
        [2-0, 1-7]       [2, -6]
        [-6-11, 0-8]     [-17, -8]

El resultado en ambos casos es una matriz del mismo tamaño que las originales.

Multiplicación por un escalar

Un escalar es simplemente un número real. Cuando multiplicamos una matriz por un escalar, multiplicamos cada elemento de la matriz por dicho número.

Si tenemos una matriz A = [5] (matriz 1×1) y queremos multiplicarla por el escalar 4:

4 · A = 4 · [5] = [20]

Con una matriz más grande, como B = [0, 2]ᵀ (matriz 2×1), la multiplicación por el escalar 4 sería:

4 · B = 4 · [0]  = [0]
            [2]    [8]

Donde cada elemento se multiplica por 4, dando como resultado otra matriz de igual tamaño.

¿Qué es el determinante de una matriz y cómo calcularlo?

El determinante es un valor escalar que se puede calcular a partir de una matriz cuadrada (mismo número de filas que de columnas). Este valor tiene numerosas aplicaciones, siendo una de las más importantes la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Determinante de una matriz 2×2

Para una matriz A de 2×2:

A = [a₁₁, a₁₂]
    [a₂₁, a₂₂]

El determinante se calcula como:

det(A) = a₁₁·a₂₂ - a₁₂·a₂₁

Visualmente, esto significa multiplicar los elementos de la diagonal principal y restarles la multiplicación de los elementos de la diagonal secundaria.

Por ejemplo, para la matriz B:

B = [4, 2]
    [7, 0]

El determinante sería:

det(B) = 4·0 - 2·7 = 0 - 14 = -14

Determinante de una matriz 3×3

Para matrices 3×3, existen varios métodos para calcular el determinante. Un método práctico es la "regla de Sarrus", que podemos visualizar así:

Para una matriz X:

X = [4, 2, 3]
    [-7, 5, 6]
    [9, 0, 1]

Copiamos las primeras dos columnas al lado derecho:

[4, 2, 3 | 4, 2]
[-7, 5, 6 | -7, 5]
[9, 0, 1 | 9, 0]

Y calculamos:

det(X) = (4·5·1 + (-7)·0·3 + 2·6·9) - (3·5·9 + 6·0·4 + 1·(-7)·2)
       = 24 + 0 + 90 - 36 - 0 - (-35)
       = 113

Las diagonales que bajan hacia la derecha se multiplican y suman; las diagonales que bajan hacia la izquierda se multiplican, y ese resultado se resta del primero.

El cálculo de determinantes es especialmente útil para determinar si una matriz tiene inversa (cuando el determinante es distinto de cero), realizar transformaciones entre sistemas de coordenadas, y resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante métodos como Cramer o Gauss-Jordan.

Las matrices y sus operaciones constituyen una herramienta matemática poderosa que encontramos en numerosas aplicaciones, desde la física y la ingeniería hasta la economía y la informática. En la próxima clase, exploraremos cómo utilizar estas herramientas para resolver sistemas de ecuaciones mediante el método de Gauss-Jordan. ¿Qué aplicaciones de las matrices te resultan más interesantes? Comparte tus pensamientos en los comentarios.