Métodos de solución de ecuaciones lineales básico

Clase 16 de 21 • Curso de Álgebra y Funciones

Resumen

La resolución de sistemas de ecuaciones lineales es una habilidad matemática esencial que nos permite resolver problemas complejos de manera estructurada. Dominar diferentes métodos para resolver estos sistemas no solo mejora nuestra comprensión matemática, sino que también nos proporciona herramientas versátiles para abordar problemas desde distintos ángulos. Aprender estos métodos es como tener un juego completo de llaves: el método adecuado puede abrir la puerta correcta con menos esfuerzo.

¿Cuáles son los principales métodos para resolver sistemas de ecuaciones?

Después de comprender los tipos de soluciones posibles en sistemas de ecuaciones, es importante conocer los diferentes métodos para resolverlos. Aunque todos nos llevan al mismo resultado, algunos son más eficientes dependiendo del tipo de ecuaciones que enfrentemos.

¿Cómo resolver sistemas usando el método de sustitución?

El método de sustitución es quizás el más intuitivo y consiste en despejar una variable de una ecuación para sustituirla en la otra. Veamos un ejemplo:

Sistema:

x + 3y = 6      (ecuación 1)
5x - 2y = 13    (ecuación 2)

El proceso es el siguiente:

Despejamos una variable de alguna ecuación. En este caso, despejamos y de la ecuación 2:
```
-2y = 13 - 5x
y = (5x - 13)/2    (ecuación 3)
```
Sustituimos este valor de y en la ecuación 1:
```
x + 3((5x - 13)/2) = 6
```

Multiplicamos por 2 para eliminar el denominador:

2x + 3(5x - 13) = 12
2x + 15x - 39 = 12
17x - 39 = 12
17x = 51
x = 3

Sustituimos el valor de x en la ecuación 3 para encontrar y:
```
y = (5(3) - 13)/2 = (15 - 13)/2 = 2/2 = 1
```

La solución del sistema es (3,1), lo que significa que x = 3 y y = 1.

¿En qué consiste el método de igualación?

Para el método de igualación, debemos despejar la misma variable en todas las ecuaciones e igualar las expresiones resultantes:

Sistema:

6y - x = 27     
-3y + 7x = 9

Procedemos así:

Despejamos y en ambas ecuaciones:

y = (27 + x)/6         (de la primera ecuación)
y = (9 - 7x)/(-3)      (de la segunda ecuación)

Igualamos ambas expresiones para y:
```
(27 + x)/6 = (9 - 7x)/(-3)
```

Multiplicamos cruzado para eliminar denominadores:

(27 + x)(-3) = (9 - 7x)(6)
-81 + 3x = 54 - 42x
-81 + 3x + 42x = 54
-81 + 45x = 54
45x = 135
x = 3

Sustituimos el valor de x para encontrar y:
```
y = (27 + 3)/6 = 30/6 = 5
```

Pero aquí hay un error en el cálulo. Si recalculamos:

y = (27 + 3)/6 = 30/6 = 5

o comprobando con la otra ecuación:

y = (9 - 7(3))/(-3) = (9 - 21)/(-3) = -12/(-3) = 4

El valor correcto de y es 4, por lo que la solución del sistema es (3,4).

¿Cómo funciona el método de reducción?

El método de reducción busca eliminar una variable mediante operaciones algebraicas:

Sistema:

7x - 15y = 1
-x - 6y = 8

El proceso es:

Multiplicamos la segunda ecuación por 7 para que los coeficientes de x sean iguales en valor absoluto pero con signos opuestos:
```
7x - 15y = 1
-7x - 42y = 56
```

Sumamos las ecuaciones para eliminar x:

7x - 15y = 1
-7x - 42y = 56
-------------
-57y = 57
y = -1

Sustituimos el valor de y en cualquiera de las ecuaciones originales:
```
-x - 6(-1) = 8
-x + 6 = 8
-x = 2
x = -2
```

La solución es (-2,-1).

¿Para qué sirve el método gráfico?

El método gráfico nos permite visualizar la solución como el punto de intersección de dos rectas:

Sistema:

y = 2x + 1
y = -x + 4

Procedimiento:

Tabulamos puntos para cada función:
- Para y = 2x + 1:
  - Si x = -1, entonces y = -1
  - Si x = 0, entonces y = 1
  - Si x = 1, entonces y = 3
- Para y = -x + 4:
  - Si x = 0, entonces y = 4
  - Si x = 1, entonces y = 3
  - Si x = 2, entonces y = 2
Graficamos ambas rectas en un sistema de coordenadas.
El punto de intersección es (1,3), nuestra solución.

¿Cómo elegir el método más adecuado?

La elección del método depende de las características del sistema:

Método de sustitución: útil cuando se puede despejar fácilmente una variable.
Método de igualación: práctico cuando es sencillo despejar la misma variable en todas las ecuaciones.
Método de reducción: eficiente cuando queremos eliminar una variable mediante operaciones con las ecuaciones.
Método gráfico: proporciona una visualización clara del sistema y su solución.

Lo más importante es analizar el sistema para determinar qué método resultará más sencillo y eficiente para obtener la solución.

Conocer estos cuatro métodos diferentes te brinda flexibilidad para afrontar diversos tipos de sistemas de ecuaciones. Cada método tiene sus ventajas dependiendo del contexto del problema, y dominarlos todos te permitirá elegir la herramienta más adecuada para cada situación matemática que enfrentes. ¿Qué método te ha parecido más intuitivo? ¡Comparte tu experiencia resolviendo sistemas de ecuaciones!