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Resolución de sistemas de ecuaciones con la regla de Cramer

Clase 19 de 21 • Curso de Álgebra y Funciones

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Resumen

Comprender cómo aplicar la regla de Kramer te permitirá resolver sistemas de ecuaciones lineales usando determinantes de manera sencilla y efectiva. Este método se basa en calcular determinantes de matrices cuadradas, por lo cual es fundamental asegurarte de que tu matriz cumpla con esta condición.

¿Qué es la regla de Kramer y cuándo se puede usar?

La regla de Kramer es un método algebraico para encontrar soluciones en sistemas de ecuaciones que cuentan con el mismo número de variables y ecuaciones. La clave está en calcular determinantes específicos para cada variable.

Es importante recordar:

  • Solo las matrices cuadradas tienen determinantes.
  • La determinante general del sistema no puede ser cero.
  • Si la determinante es cero, el sistema podría tener múltiples soluciones o ser inconsistente.

¿Cómo calcular la determinante general del sistema?

Para calcular la determinante inicial debes:

  1. Formar una matriz con los coeficientes de las variables.
  2. Copiar las dos primeras columnas fuera de la matriz.
  3. Realizar las operaciones cruzadas correspondientes, primero sumando y luego restando.

Ejemplo con el ejercicio realizado:

  • Multiplicas cruzado con sumas: (2x5x-2) + (4x6x3) + (6x4x1).
  • Realizas restas en sentido inverso: -(3x5x6) - (1x6x2) - (-2x4x4).

Tras simplificar estos cálculos, obtendrás el valor de la determinante general.

¿Cómo encontrar las variables mediante determinantes específicas?

A continuación, calculas una determinante específica para cada variable que quieres encontrar.

¿Cómo calcular la variable x?

Para la determinante específica de la variable x debes:

  • Cambiar la columna correspondiente a la variable x por una columna de resultados.
  • Mantener las columnas de y y z intactas.
  • Repetir el proceso de cálculo de determinantes general mencionado anteriormente.

El valor obtenido se divide entre la determinante general.

Ejemplo:

  • Determinante específica de x: 24.
  • Determinante general: 6.
  • Resultado de x: 24/6 = 4.

¿Cómo encontrar el valor de la variable y?

El proceso para la variable y es similar:

  • Sustituye la columna de coeficientes de la variable y por la columna de resultados.
  • Calcula nuevamente usando el método de determinantes.

Siguiendo este método, el valor para la variable y en el ejercicio es:

  • Determinante específica de y: -12.
  • Determinante general: 6.
  • Resultado de y: -12/6 = -2.

¿Cómo determinar el valor de la variable z?

Para la variable z, se reemplaza la columna correspondiente a esta variable por la columna de resultados. Realiza los mismos pasos anteriores para hallar su valor correspondiente.

Te animo a realizar este último paso y compartir tu respuesta para la variable z en la sección de comentarios. Así practicas y consolidas tus conocimientos en la regla de Kramer.