Tipos de sistemas de ecuaciones lineales y sus soluciones

Resolver sistemas de ecuaciones lineales se vuelve crucial al intentar encontrar valores específicos para múltiples variables como x, y, z, que cumplan simultáneamente con diversas ecuaciones. Las soluciones pueden visualizarse geométricamente como puntos, rectas o planos, dependiendo del número de variables involucradas y sus relaciones.

¿Qué son los sistemas de ecuaciones lineales?

Un sistema de ecuaciones lineales está formado por más de una ecuación, cada una representando variables multiplicadas por constantes e igualadas a un resultado numérico. Su estructura básica incluye variables elevadas exclusivamente a la primera potencia y sin multiplicaciones entre ellas o funciones trigonométricas.

Ejemplos de ecuaciones lineales son:

• 3x + 2y = 1
• 2x - y = 0
• x - y + z = 1

No serían ecuaciones lineales:

• 4x² + y = 1 (variables elevadas a potencia diferente de uno).
• 2xy + z = 2 (variables multiplicadas entre sí).
• x + tan(x) = 1 (inclusión de funciones trigonométricas).

¿Cómo visualizar soluciones según número de variables?

Dependiendo del número de incógnitas, puedes imaginar la solución gráficamente de esta manera:

• Una variable: solución representada como un punto en una recta.
• Dos variables: la solución será una línea recta.
• Tres variables: se representará como un plano en tres dimensiones.
• Cuatro o más variables: las soluciones son algebraicas debido a la complejidad de representarlas visualmente.

¿Cuáles tipos de sistemas existen?

Existen tres tipos importantes para considerar:

¿Qué significa un sistema incompatible?

Son aquellos sistemas donde las líneas representadas por sus ecuaciones nunca se interceptan (paralelas). Estos no tienen solución alguna.

¿En qué consiste un sistema compatible determinado?

Se trata de sistemas cuyas ecuaciones representan rectas que se cruzan en un único punto, indicando una única solución.

¿Y un sistema compatible indeterminado?

En estos sistemas, las líneas están completamente superpuestas, creando infinitas soluciones ya que cada punto en común es solución del sistema.

¿Cómo resolver algebraicamente estos sistemas?

Veamos ejemplos prácticos:

Sistema compatible determinado

Considera el siguiente sistema:

3x - 2y = 4
2x + y = 5

Al despejar "y" en la segunda ecuación (y = 5 - 2x) y sustituirla en la primera, resolviendo algebraicamente, el valor único de solución es x = 2 y y = 1.

Sistema compatible indeterminado

En este caso, analiza este sistema:

2x + 4y = 6
x + 2y = 3

Al sustituir un valor en la otra ecuación, obtienes la identidad 6 = 6, lo que indica que hay infinitas soluciones debido a que ambas ecuaciones representan la misma línea.

Sistema incompatible

Finalmente observa:

2x + 4y = 10
x + 2y = 4

Tras las sustituciones apropiadas, aparece una contradicción (como 8 = 10), mostrando que no existe solución posible para el sistema.

Estos ejemplos prácticos te aclaran cómo abordar cualquier sistema de ecuaciones lineales que encuentres. ¿Listo para practicar con el tuyo?